Maitriser les sommes de sous espaces vectoriels - Exercice 2

20 min
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On note par E\mathcal{E} le R\mathbb{R}-espace vectoriel des fonctions numériques, de R\mathbb{R} dans R\mathbb{R}, qui sont infiniment dérivables sur R\mathbb{R}.
Soit φ\varphi l'application de E\mathcal{E} dans E\mathcal{E}, définie par :
∀f∈E,   φ(f)=f+f′\forall f \in \mathcal{E}, \,\,\, \varphi(f) = f + f'
Question 1

Démontrez que l'application φ\varphi est en endomorphisme de E\mathcal{E}.

Correction
L'application φ\varphi va de E\mathcal{E} dans E\mathcal{E}. Il nous reste à vérifier que φ\varphi est bien une application linéaire. On a déjà :
φ(0)=0+0′=0+0=0\varphi(0) = 0 + 0' = 0 + 0 = 0
Soit (f ; g)∈E2(f\,;\,g) \in \mathcal{E}^2 et λ∈R\lambda \in \mathbb{R}.
On a alors la combinaison linéaire f+λg∈Ef + \lambda g \in \mathcal{E}. Ce qui nous permet d'écrire :
φ(f+λg)=(f+λg)+(f+λg)′=f+λg+f′+λg′=f+f′+λ(g+g′)\varphi(f + \lambda g) = (f + \lambda g) + (f + \lambda g)' = f + \lambda g + f' + \lambda g' = f+f' + \lambda (g+g')
Soit :
φ(f+λg)=φ(f)+λφ(g)\varphi(f + \lambda g) = \varphi(f) + \lambda \varphi(g)
Donc φ\varphi est une application linéaire, et de fait φ\varphi est un endomorphisme de E\mathcal{E}.
Question 2

Déterminez ker⁡φ\ker \varphi.

Correction
On a :
ker⁡φ={f∈E,  f+f′=0}\ker \varphi = \left\lbrace f \in \mathcal{E}, \,\, f+f'=0 \right\rbrace. Ce qui nous donne f(x)=C e−xf(x) = C \, e^{-x}. Ainsi :
ker⁡φ={f∈E,  x∈R,  f(x)=VectR(e−x)}\ker \varphi =\left\lbrace f \in \mathcal{E}, \,\, x\in\mathbb{R}, \,\, f(x) = \mathrm{Vect}_\mathbb{R}(e^{-x}) \right\rbrace
Question 3

Déterminez Im φ\mathrm{Im} \,\varphi.

Correction
Soit f∈Ef \in \mathcal{E}, tel que g=Im φg = \mathrm{Im} \,\varphi. Dans ce cas, il existe f∈Ef \in \mathcal{E} qui vérifie f′+f=gf' + f = g. Utilisons la méthode de la variation de la constante\textit{la variation de la constante}. On obtient alors :
∀x∈R,  f(x)=C e−x+e−x∫0xg(t) et dt      avec :C∈R\forall x \in \mathbb{R}, \,\, f(x) = C\, e^{-x} + e^{-x} \int_0^x g(t) \, e^t \, dt \,\,\,\,\,\, \mathrm{avec} \, : C \in \mathbb{R}
On constate que quelque soit g∈Eg \in \mathcal{E}, l'antécédent ff existe bien dans E\mathcal{E}. Ainsi, on a :
Im φ=E\mathrm{Im} \, \varphi = \mathcal{E}
Question 4

Ces deux sous-espaces vectoriels sont-ils supplémentaires dans E\mathcal{E} ? Justifiez clairement votre réponse.

Correction
On rappelle que :
deux sous-espaces vectoriels d’un meˆme espace vectoriel sont suppleˊmentaires dans cet espace si tout vecteur \textit{deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel sont supplémentaires dans cet espace si tout vecteur }
de l’espace se deˊcompose de façon unique en une somme de vecteurs de chacun des deux sous-espaces.\textit{de l'espace se décompose \textbf{de façon unique} en une somme de vecteurs de chacun des deux sous-espaces.}
Or, on a :
{ker⁡φ=VectR(e−x)Im φ=E \left\lbrace \begin{array}{rcl} \ker \varphi & = & \mathrm{Vect}_\mathbb{R}(e^{-x}) \\ \mathrm{Im} \, \varphi & = & \mathcal{E} \end{array} \right.
Il n'est donc pas possible d'écrire que ker⁡φ⊕Im φ=E\ker \varphi \oplus \mathrm{Im} \, \varphi = \mathcal{E}. Donc ces deux sous-espaces propres ne sont pas supplémentaires l'un de l'autre dans E\mathcal{E} car la deˊcomposition n’est pas unique\textbf{la décomposition n'est pas unique}.

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