Généralités sur les espaces vectoriels

$${\color{red}{\bf{\clubsuit \,\, 1 - Lois \,\, de \,\, composition \,\, interne}}}$$
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, Définition}}}$$
Une loi de composition interne, notée $$\boxplus$$ sur l'ensemble $$V$$ est une application de $$V \times V$$ dans $$V$$ :
$$\boxplus : \begin{array}{rcl} V \times V & \longrightarrow & V \\ (x \,;\, y) & \longmapsto & x \boxplus y \end{array}$$
Ainsi pour montrer que l'opération $$\boxplus$$ est une opération interne pour $$V$$, il faut montrer que pour tous les éléments $$x$$ et $$y$$ de $$V$$, on a $$x \boxplus y \in V$$.
$${\color{red}{\bf{\clubsuit \,\, 2 - Lois \,\, de \,\, composition \,\, externe}}}$$
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, Définition}}}$$
Une loi de composition externe, notée $$\star$$ entre les ensembles $$V$$ et $$\mathbb{K}$$, est une application de $$\mathbb{K} \times V$$ dans $$V$$ :
$$\star : \begin{array}{rcl} \mathbb{K} \times V & \longrightarrow & V \\ (\lambda \,;\, x) & \longmapsto & x \star y \end{array}$$
Ainsi pour montrer que l'opération $$\star$$ est une opération externe entre $$V$$ et $$\mathbb{K}$$, il faut montrer que pour tous scalaire $$\lambda$$ de $$\mathbb{K}$$ et pour tous les éléments $$x$$ de $$V$$, on a $$\lambda \star x \in V$$.
$${\color{red}{\bf{\clubsuit \,\, 3 - Espace \,\, vectoriel }}}$$
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, Définition}}}$$
Soit $$V$$ un ensemble muni
$$- \,\,$$ d'une loi de composition interne notée $$\boxplus$$ : $$\forall(u\,;\,v) \in V^2, \,\, u \boxplus v \in V$$.
$$- \,\,$$ d'une loi de composition externe entre $$V$$ et $$\mathbb{K}$$, notée $$\star$$ : $$\forall(\lambda \,;\, u) \in (\mathbb{K} \times V), \,\, \lambda \star u \in V$$.
On dit que $$V$$ est un espace vectoriel sur $$\mathbb{K}$$, on dit aussi un $$\mathbb{K}$$-espace vectoriel (ou $$\mathbb{K}$$-ev), si les $$8$$ axiomes suivants sont vérifiés.
$$\bullet \,\,$$ Axiome $$(A1)$$
L'opération interne $$\boxplus$$ est commutative : $$\forall(u\,;\,v) \in V^2, \,\, u \boxplus v = v \boxplus u$$.
$$\bullet \,\,$$ Axiome $$(A2)$$
L'opération interne $$\boxplus$$ est assiciative : $$\forall(u\,;\,v\,;\,w) \in V^3, \,\, u \boxplus (v \boxplus w) = (u \boxplus v) \boxplus w$$.
La valeur commune est notée $$u \boxplus v \boxplus w$$.
$$\bullet \,\,$$ Axiome $$(A3)$$
Il existe un unique élément de $$V$$, notée $$0_V$$ et appelé élément neutre de $$V$$ tel que : $$\forall u \in V, \,\, u \boxplus 0_V = 0_V \boxplus u = u$$.
$$\bullet \,\,$$ Axiome $$(A4)$$
pour tout élément $$u$$ de $$V$$, il existe un unique élément $$u'$$ de $$V$$, appelé le symétrique de $$u$$ suivant l'opération interne \boxplus tel que l'on ait : $$\forall u \in V, \, \exist ! \,u' \in V, \,\, u \boxplus u' = u' \boxplus u = 0_V$$.
$$\bullet \,\,$$ Axiome $$(A5)$$ :
On a : $$\forall \lambda \in \mathbb{K}, \,\, \forall(u\,;\,v) \in V^2, \,\, \lambda \star (u \boxplus v) = (\lambda \star u) \boxplus (\lambda \star v)$$.
$$\bullet \,\,$$ Axiome $$(A6)$$ :
On a : $$\forall (\lambda \,;\, \mu) \in \mathbb{K}^2, \,\, \forall u \in V, \,\, \lambda \star (\mu \star u) = (\lambda \mu) \star u$$.
$$\bullet \,\,$$ Axiome $$(A7)$$ :
On a : $$\forall (\lambda \,;\, \mu) \in \mathbb{K}^2, \,\, \forall u \in V, \,\, (\lambda + \mu) \star u = (\lambda \star u) \boxplus (\mu \star u)$$.
$$\bullet \,\,$$ Axiome $$(A8)$$ :
On a : $$\forall u \in V, \,\, 1 \star u = u$$.
On dit que les éléments de $$V$$ sont les $${\color{red}{\bf{vecteurs}}}$$ de $$V$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, Remarques}}}$$
On adopte en général les notations et terminologies suivantes :
$$\looparrowright \,\,$$ L'opération interne $$\boxplus$$ est notée $$+$$ et est appelée l'addition vectorielle.
$$\looparrowright \,\,$$ L'opération externe $$\star$$ est notée $$\,.\,$$ et est appelée la multiplication scalaire.
$$\looparrowright \,\,$$ Pour tout $$(u\,;\,v) \in V^2$$, le vecteur $$u+v$$ s'appelle la somme des vecteurs $$u$$ et $$v$$.
$$\looparrowright \,\,$$ Pour tout $$u \in V$$, le vecteur symétrique $$u'$$ suivant $$+$$ s'appelle le vecteur opposé de $$u$$ et se note $$-u$$. Ainsi $$u' = -u$$.
$$\looparrowright \,\,$$ L'élément neutre $$0_V$$ s'appelle le vecteur nul.
$$\looparrowright \,\,$$ Pour tout $$(\lambda \,;\,u) \in \mathbb{K} \times V$$, le vecteur $$\lambda.u$$ s'appelle le produit de $$u$$ par $$\lambda$$ et se note simplement $$\lambda u$$.
$$\looparrowright \,\,$$ On peut alors définir la soustraction vectorielle sur $$V$$ en posant : $$u-v = u + (-v)$$.
Donc pour montrer qu'un ensemble non vide $$V$$ est un espace vectoriel sur $$\mathbb{K}$$, il faut que $$V$$ est muni d'une opération interne et d'une opération externe satisfaisant aux fuit axiomes $$A1 \,;\, \cdots \,;\, A8$$. Ceci amène à vérifier dix conditions au total !
Soit $$V$$ un espace vectoriel sur $$\mathbb{K}$$. Alors pour tout scalaire $$\lambda$$ et pour tou $$u$$ de $$V$$ on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 0.u & = & 0_V \\ \lambda.0_V & = & 0_V \\ -u & = & (-1).u\end{array} \right.$$
$${\color{red}{\bf{\clubsuit \,\, 4 - Exemples \,\, à \,\, connaître }}}$$
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, Premier \,\, exemple}}}$$
L'ensemble $$\mathbb{R}$$ est un espace vectoriel sur $$\mathbb{R}$$ pour les opérations usuelles que sont l'addition et la multiplication.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, Deuxième \,\, exemple}}}$$
L'ensemble $$\mathbb{C}$$ est un espace vectoriel sur $$\mathbb{C}$$ pour les opérations usuelles que sont l'addition et la multiplication.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, Troisième \,\, exemple}}}$$
L'ensemble $$\mathbb{C}$$ est un espace vectoriel sur $$\mathbb{R}$$ pour l'addition dans $$\mathbb{C}$$ et la multiplication des nombres complexes par des nombres réels.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, Quatrième \,\, exemple}}}$$
Soit $$A$$ un ensemble non vide et $$V$$ un espace vectoriel sur $$\mathbb{K}$$. L'ensemble, noté $$V^A$$, des applications de $$A$$ vers $$V$$ est un espace vectoriel sur $$\mathbb{K}$$ pour les opérations suivantes :
Pour tout $$\lambda \in \mathbb{K}$$ et pour toutes les applications $$f : A \longrightarrow V$$ et $$g : A \longrightarrow V$$, on note $$f + g$$ et $$\lambda f$$ les applications définies par :
$$f + g : \left\lbrace \begin{array}{rcl} A & \longrightarrow & V \\ a & \longmapsto & (f+g)(a) = f(a) + g(a) \end{array} \right.$$
et
$$\lambda f : \left\lbrace \begin{array}{rcl} A & \longrightarrow & V \\ a & \longmapsto & (\lambda f)(a) = \lambda f(a) \end{array} \right.$$
L'ensemble $$\mathbb{R}^\mathbb{R}$$ des applications $$f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$$ est souvent rencontré en exercices.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, Cinquième \,\, exemple}}}$$
L'ensemble des suites d'éléments de $$V$$ est un espace vectoriel sur $$\mathbb{R}$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, Sixième \,\, exemple}}}$$
On note par $$\mathbb{K}[x]$$ l'ensemble des fonctions polynomiales $$f : \mathbb{K} \longrightarrow \mathbb{K}$$ d'une seule variable $$x$$ et à coefficient dans $$\mathbb{K}$$, c'est-à-dire l'ensemble des fonctions $$f$$ définies sur $$\mathbb{K}$$ par $$f(x) = \alpha_0 + \alpha_1 x + \cdots + \alpha_p t^p$$. le nombre $$d$$ est un entier naturel et les $$\alpha_{i\in \{1 \,;\, \cdots \,;\, p \}}$$ sont des élements de $$\mathbb{K}$$. L'ensemble $$\mathbb{K}[x]$$ est un espace vectoriel sur $$\mathbb{K}$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, Septième \,\, exemple}}}$$
L'ensemble $$\mathcal{M}_{(n\,;\,p)}(\mathbb{K})$$ est celui des matrices à $$n$$ lignes et $$p$$ colonnes, à coefficients dans $$\mathbb{K}$$. Cet ensemble, muni de la somme et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel sur $$\mathbb{K}$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, Huitième \,\, exemple}}}$$
Soient $$V_1$$ et $$V_2$$ deux espaces vectoriels sur $$\mathbb{K}$$. Le produit cartésien $$V = V_1 \times V_2$$ est un espace vectoriel sur $$\mathbb{K}$$ pour les opérations suivantes : pour tout $$\lambda \in \mathbb{K}$$ et pour tous les éléments $$u = (x_1 \,;\, x_2)$$ et $$u' = (x'_1 \,;\, x'_2)$$ de $$V = V_1 \times V_2$$, on pose $$u+u'= (x_1 + x'_1 \,;\, x_2 + x'_2)$$ et $$\lambda u = (\lambda x_1 \,;\, \lambda x_2)$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, Neuvième \,\, exemple}}}$$
Pour $$n \in \mathbb{N}^\star$$ on peut généraliser l'exemple précédent (le huitième), au cas de $$n$$ espaces vectoriels $$V_1 \,;\, \cdots \,;\, V_n$$ sur $$\mathbb{K}$$. C'est pourquoi $$\mathbb{R}^n$$ est un espace vectoriel sur $$\mathbb{K}$$. Les cas les plus utilisés sont le plan habituel $$n=2$$ et l'espace habituel $$n=3$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, Dixième \,\, exemple}}}$$
De même, l'ensemble $$\mathbb{K}^n$$ est un espace vectoriel sur $$\mathbb{K}$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, Cas \,\, particulier}}}$$
On considère le demi-plan supérieur $${\color{red}{P = \mathbb{R} \times \mathbb{R}^+}}$$ muni des opérations
$$\forall \lambda \in \mathbb{R}, \,\, \forall u = (x_1 \,;\, x_2) \in P, \,\, \forall u' = (x'_1 \,;\, x'_2) \in P, \,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} u+u' & = & (x_1 + x'_1 \,;\, x_2 + x'_2) \\ \lambda u & = & ( \lambda x_1 \,;\, \lambda x_2 )\end{array} \right.$$
$${\color{red}{\bf{n'est \,\, pas \,\, un \,\, espace \,\, vectoriel}}}$$ sur $$\mathbb{R}$$, pour les opérations précédentes, car : en choisissant $$\lambda = -1$$ et $$u = (0 \,;\, 1) \in P$$ alors $$\lambda u = ( 0 \,;\, -1 ) \notin P$$.
$${\color{red}{\bf{\clubsuit \,\, 5 - Sous-espaces \,\, vectoriels }}}$$
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, Définition}}}$$
Soit $$V$$ un espace vectoriel sur $$\mathbb{K}$$. On dit qu'un ensemble $$E$$ est un sous-espace vectoriel de $$V$$ si les quatre conditions suivantes sont satisfaites :
$$C1 : \, E \subset V$$
$$C2 : \, E \neq \emptyset$$
$$C3 : \, \forall (u \,;\, v) \in E^2, \,\, u+v \in E$$
$$C4 : \, \forall (\lambda \,;\, v) \in \mathbb{K} \times E, \,\, \lambda u \in E$$
De façon plus condensée, on a aussi :
$$C1 : \, E \subset V$$
$$C2 : \, E \neq \emptyset$$
$$C3 : \, \forall \lambda \in \mathbb{K}, \,\, \forall (u \,;\, v) \in E^2, \,\, u+\lambda v \in E$$
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, Théorème}}}$$
Un sous-espace vectoriel d'un $$\mathbb{K}$$-espace vectoriel $$V$$ est lui même un $$\mathbb{K}$$-espace vectoriel pour les mêmes opérations interne et externe sur $$V$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, Exemples}}}$$
$$\bullet \,\,$$ Les seuls sous-espaces vectoriel de $$\mathbb{R}^2$$ sont $$\{0\}$$, $$\mathbb{R}^2$$ et les droites qui passent par l'origine.
$$\bullet \bullet \,\,$$ Les seuls sous-espaces vectoriel de $$\mathbb{R}^3$$ sont $$\{0\}$$, $$\mathbb{R}^3$$, les droites qui passent par l'origine et les plans qui contiennent l'origine.
$$\bullet \bullet \bullet \,\,$$ Pour tout entier naturel $$n$$, l'ensemble $$\mathbb{K}_n[x]$$ des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à $$n$$ et à coefficients dans $$\mathbb{K}$$ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel $$\mathbb{K}[x]$$.
$$\bullet \bullet \bullet \bullet \,\,$$ Si $$I$$ est un intervalle de $$\mathbb{R}$$. L'ensemble notée $$\mathcal{C}(I\,;\, \mathbb{R})$$ des fonctions réelles et continues sur est un sous espace vectoriel de l'espace vectoriel $$\mathbb{R}^I$$ des fonctions réelles définies sur $$I$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, Intersection \,\, de \,\, sous- espaces \,\, vectoriels}}}$$
$$Théorème :$$ Soit $$V$$ un espace vectoriel sur $$\mathbb{K}$$. Toute intersection de sous-espaces vectoriels de $$V$$ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel $$V$$.
Par exemple, les deux plans $$P$$ et $$P'$$ passant par l'origine $$O$$ de $$\mathbb{R}^3$$ sont deux sous-espaces vectoriels de $$\mathbb{R}^3$$. Leur intersection est également un sous-espace vectoriel de de $$\mathbb{R}^3$$ : il s'agit de $${\color{red}{la \,\, droite \,\, (d)}}$$ qui passe aussi par l'origine $$O$$.
$$\looparrowright \,\,$$ En revanche, en général, la réunion de sous-espaces vectoriels n'est pas un sous-espaces vectoriel. L'addition vectorielle affine est un exemple illustrant ceci.