Exercice 7 - Exercice 1

Un élément quelconque $$P \in \mathcal{E}$$, à la forme suivante :
$$\forall t \in \mathbb{R}, \forall (\alpha\,;\,\beta\,;\,\gamma) \in \mathbb{R}^3, \,\,\, P(t) = \alpha t^2 + \beta t + \gamma$$
Ainsi, on a :
$$\varphi(P)(x) = \int_{0}^{+\infty} (ax^2 + bxt + ct^2) \, e^{-t} \, (\alpha t^2 + \beta t + \gamma) \, dt$$
L'intégrale $$\varphi(P)$$ est impropre de première espèce. Notons par $$Q$$ le polynôme de degré $$4$$, donc $$Q \in \mathbb{R}_4[X]$$, suivant :
$$Q(t) = (ax^2 + bxt + ct^2)\times (\alpha t^2 + \beta t + \gamma) \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \varphi(P)(x) = \int_{0}^{+\infty} Q(t) \, e^{-t} \, dt$$
Or, on a la limite suivante :
$$\lim_{t \longrightarrow + \infty} t^2 Q(t) \, e^{-t} = 0$$
Ce qui implique, d'après le critère de comparaison avec une puissance $$2>1$$, que l'intégrale impropre $$\varphi(P)$$ converge, donc est bien définie.

Soient $$P_1$$ et $$P_2$$ deux éléments distincts de $$\mathcal{E}$$. Désignons par $$\lambda$$ un réel. On a alors :
$$\varphi (P_1 + \lambda P_2)(x) = \int_{0}^{+\infty} (ax^2 + bxt + ct^2) \, e^{-t} \, (P_1 + \lambda P_2)(t) \, dt$$
Soit :
$$\varphi (P_1 + \lambda P_2)(x) = \int_{0}^{+\infty} (ax^2 + bxt + ct^2) \, e^{-t} \, (P_1(t) + \lambda P_2(t)) \, dt$$
Ce qui nous donne, par linéarité de l'intégrale, le résultat suivant :
$$\varphi (P_1 + \lambda P_2)(x) = \int_{0}^{+\infty} (ax^2 + bxt + ct^2) \, e^{-t} \, P_1(t) \, dt + \lambda \int_{0}^{+\infty} (ax^2 + bxt + ct^2) \, e^{-t} \, P_2(t) \, dt$$
Dès lors, on obtient :
$$\varphi (P_1 + \lambda P_2)(x) = \varphi (P_1)(x) + \lambda \varphi (P_2)(x)$$
Finalement :
$$\varphi (P_1 + \lambda P_2) = \varphi (P_1) + \lambda \varphi (P_2)$$
On peut donc affirmer que $$\varphi$$ est une application linéaire ; à savoir $$\varphi \in \mathcal{L}(\mathcal{E}\,;\,\mathcal{F})$$.

Pour démontrer que $$\varphi$$ est un endomorphisme de $$\mathcal{E}$$ il nous faut montrer que $$\mathcal{F} = \mathcal{E} = \mathbb{R}_2[X]$$. Dès lors, il nous faut prouver que si $$P \in \mathcal{E}$$ alors $$\varphi (P) \in \mathcal{E}$$.
Soit un élément quelconque $$P \in \mathcal{E}$$, qui à la forme suivante :
$$\forall t \in \mathbb{R}, \forall (\alpha\,;\,\beta\,;\,\gamma) \in \mathbb{R}^3, \,\,\, P(t) = \alpha t^2 + \beta t + \gamma$$
Ainsi, on a :
$$\varphi(P)(x) = \int_{0}^{+\infty} (ax^2 + bxt + ct^2) \, e^{-t} \, (\alpha t^2 + \beta t + \gamma) \, dt$$
Soit encore :
$$\begin{array}{rcl} \varphi(P)(x) & = & \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}} ax^2 \, e^{-t} \, (\alpha t^2 + \beta t + \gamma) \, dt \\ & + & \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}} bxt \, e^{-t} \, (\alpha t^2 + \beta t + \gamma) \, dt \\ & + & \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}} ct^2 \, e^{-t} \, (\alpha t^2 + \beta t + \gamma) \, dt\end{array}$$
D'où :
$$\begin{array}{rcl} \varphi(P)(x) & = & ax^2 \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}} \, e^{-t} \, (\alpha t^2 + \beta t + \gamma) \, dt \\ & + & bx \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}} \, e^{-t} \, (\alpha t^3 + \beta t^2 + \gamma t) \, dt \\ & + & c \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}} \, e^{-t} \, (\alpha t^4 + \beta t^3 + \gamma t^2) \, dt \end{array}$$
Or, les trois intégrales impropres de première espèce suivantes
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \mathcal{I}_1 & = & \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}} \, e^{-t} \, (\alpha t^2 + \beta t + \gamma) \, dt \\ \mathcal{I}_2 & = & \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}} \, e^{-t} \, (\alpha t^3 + \beta t^2 + \gamma t) \, dt \\ \mathcal{I}_3 & = & \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}} \, e^{-t} \, (\alpha t^4 + \beta t^3 + \gamma t^2) \, dt<br />\end{array} \right.$$
sont convergentes (même raisonnement que pour la première question). Donc, on obtient :
$$\varphi(P)(x) = ax^2 \mathcal{I}_1 + bx \mathcal{I}_2 + c \mathcal{I}_3$$
Soit encore :
$$\varphi(P)(x) = \underbrace{\left[ a \mathcal{I}_1 \right]}_{\in \mathbb{R}} x^2 + \underbrace{\left[ b <br /> \mathcal{I}_2 \right]}_{\in \mathbb{R}} x + \underbrace{\left[ c \mathcal{I}_3 \right]}_{\in \mathbb{R}}$$
Donc, on peut affirmer que :
$$P \in \mathcal{E} \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, \varphi (P) \in \mathcal{E}$$
On peut donc en conclure que $$\varphi$$ est un endomorphisme de $$\mathcal{E}$$ ; à savoir $$\varphi \in \mathcal{L}(\mathcal{E})$$.

L'intégrale $$G$$ est une intégrale impropre de première espèce car sa borne supérieure est infinie et que son intégrande $$t \longmapsto t^k \, e^{-t}$$ (avec $$k \in \mathbb{N}$$) ne présente pas de singularité.

On a, $$\forall k \in \mathbb{N}$$, la limite suivante :
$$\lim_{t \longrightarrow + \infty} t^2 t^k \, e^{-t} = \lim_{t \longrightarrow + \infty} t^{2+k} \, e^{-t} = 0$$
Ce qui implique, d'après le critère de comparaison avec une puissance $$2>1$$, que l'intégrale impropre $$G$$ converge.

Posons la propriété $$\mathcal{P}_k$$, suivante :
$$\mathcal{P}_k : \forall k \in \mathbb{N}, \, G(k) = k!$$
$$\,\,\,\, \blacktriangledown \,\, \bf{Première \,\, étape : Initialisation}$$
Si $$k=0$$ on a :
$$G(0) = \int_{0}^{+\infty} t^0 \, e^{-t} \, dt = \int_{0}^{+\infty} e^{-t} \, dt = \lim_{B \longrightarrow + \infty} \left[ - e^{-t} \right]_{0}^{B} = \lim_{B \longrightarrow + \infty} \left[ e^{-t} \right]_{B}^{0}$$
Soit :
$$G(0) = \lim_{B \longrightarrow + \infty} e^{-B} - e^{-0} = 0 - e^0 = e^0 = 1 = 0!$$
Ainsi $$\mathcal{P}_0$$ est vérifiée.
$$\,\,\,\, \blacktriangledown \blacktriangledown \,\, \bf{Deuxième \,\, étape : Transmission}$$
Soit $$k \in \mathbb{N}$$. On suppose que $$\mathcal{P}_k$$ est vraie. Vérifions si, sous cette hypothèse, que $$\mathcal{P}_{k+1}$$ est également vraie.
On a :
$$G(k+1) = \int_{0}^{+\infty} t^{k+1} \, e^{-t} \, dt$$
Une intégration par partie nous permet d'écrire que :
$$G(k+1) = \lim_{B \longrightarrow + \infty} \left[ - t^{k+1} e^{-t} \right]_{0}^{B} - \int_{0}^{+\infty} (k+1) t^{k} \, \left(- e^{-t} \right) \, dt$$
Soit :
$$G(k+1) = - \lim_{B \longrightarrow + \infty} \left[ t^{k+1} e^{-t} \right]_{0}^{B} + (k+1) \int_{0}^{+\infty} t^{k} \, e^{-t} \, dt$$
Ce qui nous donne :
$$G(k+1) = - \lim_{B \longrightarrow + \infty} B^{k+1} e^{-B} + 0^{k+1} e^{-0} + (k+1) G(k)$$
D'où :
$$G(k+1) = -0 + 0 + (k+1) G(k)$$
Comme pat hypothèse, $$\mathcal{P}_k$$ est vraie, alors on a $$G(k) = k !$$, ce qui implique que :
$$G(k+1) = -0 + 0 + (k+1) k !$$
Et finalement :
$$G(k+1) = (k+1) !$$
Et de ce fait, on vient de démontrer que $$\mathcal{P}_k$$ est également vraie. La propriété est bien transmise au rang suivant.
$$\,\,\,\, \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \,\, \bf{Troisième \,\, étape : Conclusion}$$
En vertu des axiomes de la récurrence, la propriété $$\mathcal{P}_k$$ est vraie $$\forall k \in \mathbb{N}$$, et on peut alors conclure que :
$$\forall k \in \mathbb{N}, \, G(k) = k!$$

La base canonique, notée $$\mathfrak{B}_{\mathcal{E}}$$, de $$\mathcal{E} = \mathbb{R}_2[X]$$ est :
$$\mathfrak{B}_{\mathcal{E}} = \{1\,;\,X\,;\,X^2\}$$

Soit $$\mathcal{M}_{\mathfrak{B}_{\mathcal{E}}}(\varphi)$$ la matrice représentative de l'endomorphisme $$\varphi$$ relativement à la base canonique $$\mathfrak{B}_{\mathcal{E}}$$.
Notons par :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} P(x) & = & \alpha \, x^2 + \beta \, x + \gamma \,\,\,\,\, \mathrm{dans } \,\, \mathfrak{B}_{\mathcal{E}} \\ \varphi(P)(x) & = & \mathcal{A} \, x^2 + \mathcal{B} \, x + \mathcal{C} \,\,\, \mathrm{dans } \,\, \mathfrak{B}_{\mathcal{E}} \\ \end{array} \right.$$
Dans ce cas, d'après la question $$3.$$, on sait que :
$$\varphi(P)(x) = ax^2 \mathcal{I}_1 + bx \mathcal{I}_2 + c \mathcal{I}_3$$
avec :
$$\left\lbrace \begin{array}{rclcl} \mathcal{I}_1 & = & \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}} \, e^{-t} \, (\alpha t^2 + \beta t + \gamma) \, dt & = & \alpha G(2)+ \beta G(1) + \gamma G(0) \\ \mathcal{I}_2 & = & \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}} \, e^{-t} \, (\alpha t^3 + \beta t^2 + \gamma t) \, dt & = & \alpha G(3)+ \beta G(2) + \gamma G(1) \\ \mathcal{I}_3 & = & \displaystyle{\int_{0}^{+\infty}} \, e^{-t} \, (\alpha t^4 + \beta t^3 + \gamma t^2) \, dt & = & \alpha G(4)+ \beta G(3) + \gamma G(2) \end{array} \right.$$
Donc, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \mathcal{I}_1 & = & 2 \alpha + 1 \beta + 1 \gamma \\ \mathcal{I}_2 & = & 6 \alpha + 2 \beta + 1 \gamma \\ \mathcal{I}_3 & = & 24 \alpha + 6 \beta + 2 \gamma \\ \end{array} \right.$$
Ainsi, on a :
$$\varphi(P)(x) = ax^2 (2 \alpha + 1 \beta + 1 \gamma) + bx (6 \alpha + 2 \beta + 1 \gamma) + c (24 \alpha + 6 \beta + 2 \gamma)$$
Soit encore :
$$\varphi(P)(x) = x^2 (2a \alpha + 1a \beta + 1a \gamma) + x (6b \alpha + 2b \beta + 1b \gamma) + (24c \alpha + 6c \beta + 2c \gamma)$$
Il est alors possible d'écrire que :
$$\mathcal{A} \, x^2 + \mathcal{B} \, x + \mathcal{C} = (2a \alpha + 1a \beta + 1a \gamma) x^2 + (6b \alpha + 2b \beta + 1b \gamma) x + (24c \alpha + 6c \beta + 2c \gamma)$$
Par identification, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \mathcal{A} & = & 2a \alpha + 1a \beta + 1a \gamma \\ \mathcal{B} & = & 6b \alpha + 2b \beta + 1b \gamma \\ \mathcal{C} & = & 24c \alpha + 6c \beta + 2c \gamma \\ \end{array} \right.$$
En notation matricielle, ceci s'écrit comme :
$$\begin{pmatrix} \mathcal{A} \\ \mathcal{B} \\ \mathcal{C} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a & 1a & 1a \\ 6b & 2b & 1b \\ 24c& 6c & 2c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \varphi(P)_{\mathfrak{B}_{\mathcal{E}}} = \mathcal{M}_{\mathfrak{B}_{\mathcal{E}}}(\varphi) \times P_{\mathfrak{B}_{\mathcal{E}}}$$
Finalement, on obtient la matrice suivante :
$$\mathcal{M}_{\mathfrak{B}_{\mathcal{E}}}(\varphi) = \begin{pmatrix} 2a & a & a \\ 6b & 2b & b \\ 24c& 6c & 2c \end{pmatrix}$$

Notons par $$w$$ le nombre des éléments nuls parmi les trois coefficients réels $$\{a\,;\,b\,;\,c \}$$. Ainsi :
$$\bullet \,\, w=0$$ si les trois réels sont non nuls, à savoir $$(a\,;\,b\,;\,c) \in \mathbb{R}^\star$$ ;
$$\bullet \bullet \,\, w=1$$ si l'un des trois réels est nul ;
$$\bullet \bullet \bullet \,\, w=2$$ si deux des trois réels sont nuls ;
$$\bullet \bullet \bullet \bullet \,\, w=3$$ si les trois réels sont nuls, à savoir $$a = b = c = 0$$.
D'après la technique dite de "la réduite de $$Gauss$$", le rang $$\mathrm{Rang}\left( \mathcal{M}_{\mathfrak{B}_{\mathcal{E}}}(\varphi) \right)$$ est donné par la formule :
$$\mathrm{Rang}\left( \mathcal{M}_{\mathfrak{B}_{\mathcal{E}}}(\varphi) \right) = 3 - w$$

Pour que l'endomorphisme $$\varphi$$ soit un automorphisme de $$\mathcal{E}$$, il faut que $$\varphi$$ soit bijectif ; autrement dit que l'endomorphisme $$\varphi$$ soit à la fois injectif et surjectif.
On a alors les conditions suivantes :
$$\bullet \,\, {\bf{condition \,\, d'injectivité :}} \,\, \mathrm{Rang}(\varphi) = \dim {\mathcal{E}}$$ ;
$$\bullet \bullet \,\, \bf{condition \,\, de \,\, surjectivité :} \,\, \mathrm{Rang}(\varphi) = \dim {\mathcal{F}}$$ ;
Mais on sait que $$\mathcal{E} = \mathcal{F} = \mathbb{R}_2[X]$$, ce qui implique que :
$$\dim {\mathcal{E}} = \dim {\mathcal{F}} = \dim {\mathbb{R}_2[X]} = 3$$
Ainsi, pour que l'endomorphisme $$\varphi$$ soit à la fois injectif et surjectif, il faut nécessairement que l'on ait :
$$\mathrm{Rang}(\varphi) = 3$$
Or, on sait que :
$$\mathrm{Rang}(\varphi) = \mathrm{Rang}\left( \mathcal{M}_{\mathfrak{B}_{\mathcal{E}}}(\varphi) \right)$$
Ainsi, on peut écrire que :
$$3 = 3 - w \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, w = 0$$
Finalement, la condition recherchée est que, les trois réels $$a$$, $$b$$, et $$c$$ soient $$\bf{tous \,\, non \,\, nuls}$$. En conclusion, on a :
$$\varphi \in GL_{\mathbb{R}}(\mathcal{E}) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, abc \neq 0$$