Exercice 5 - Exercice 1

La base canonique $$\mathcal{C}$$ de $$\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$$ est constituée des quatre matrices suivantes :
$$E_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \,\,\, ; \,\,\, E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \,\,\, ; \,\,\, E_{21} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \,\,\, ; \,\,\, E_{22} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Démontrons que la famille $$\mathcal{U} = (M_1 \,;\, M_2 \,;\, M_3 \,;\, M_4)$$ est libre dans $$\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$$. On désigne par $$\lambda_1$$, $$\lambda_2$$, $$\lambda_3$$ et $$\lambda_4$$ quatre nombres réels. On a alors :
$$\lambda_1 M_1 + \lambda_2 M_2 + \lambda_3 M_3 + \lambda_4 M_4 = 0_{\mathcal{M}_2(\mathbb{R})} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \lambda_4 \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Donc :
$$\lambda_1 M_1 + \lambda_2 M_2 + \lambda_3 M_3 + \lambda_4 M_4 = 0_{\mathcal{M}_2(\mathbb{R})} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \begin{pmatrix} \lambda_1 & \lambda_1 \\ \lambda_1 & \lambda_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & \lambda_2 \\ \lambda_2 & \lambda_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \lambda_3 & \lambda_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \lambda_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Soit encore :
$$\lambda_1 M_1 + \lambda_2 M_2 + \lambda_3 M_3 + \lambda_4 M_4 = 0_{\mathcal{M}_2(\mathbb{R})} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \begin{pmatrix} \lambda_1 & \lambda_1 + \lambda_2 \\ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 & \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 + \lambda_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Ce qui nous permet d'obtenir le système suivant :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \lambda_1 & = & 0 \\ \lambda_1 + \lambda_2 & = & 0 \\ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 & = & 0 \\ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 + \lambda_4 & = & 0 \\\end{array} \right. \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = \lambda_4 = 0$$
De fait :
$$\lambda_1 M_1 + \lambda_2 M_2 + \lambda_3 M_3 + \lambda_4 M_4 = 0_{\mathcal{M}_2(\mathbb{R})} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = \lambda_4 = 0$$
Ainsi la famille $$\mathcal{U} = (M_1 \,;\, M_2 \,;\, M_3 \,;\, M_4)$$ est libre dans $$\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$$. De plus cette famille est constitué de $$4$$ éléments, ce qui est exactement identique à $$\dim(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})) = 4$$. Ainsi la famille $$\mathcal{U} = (M_1 \,;\, M_2 \,;\, M_3 \,;\, M_4)$$ est libre maximale dans $$\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$$.
En conclusion, la famille $$\mathcal{U} = (M_1 \,;\, M_2 \,;\, M_3 \,;\, M_4)$$ est une base de $$\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$$.

On a :
$$\bullet \,\, M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 1 E_{11} + 1 E_{12} + 1 E_{21} + 1 E_{22} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, (1 \,;\, 1 \,;\, 1 \,;\, 1)$$
$$\bullet \bullet \,\, M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 0 E_{11} + 1 E_{12} + 1 E_{21} + 1 E_{22} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, (0 \,;\, 1 \,;\, 1 \,;\, 1)$$
$$\bullet \bullet \bullet \,\, M_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 0 E_{11} + 0 E_{12} + 1 E_{21} + 1 E_{22} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, (0 \,;\, 0 \,;\, 1 \,;\, 1)$$
$$\bullet \bullet \bullet \bullet \,\, M_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 0 E_{11} + 0 E_{12} + 0 E_{21} + 1 E_{22} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, (0 \,;\, 0 \,;\, 0 \,;\, 1)$$
En rangeant par colonne les différentes composantes de $$M_1$$,$$M_2$$, $$M_3$$ et $$M_4$$ (de $$\mathcal{U}$$ dans $$\mathcal{C}$$) par colonnes, on obtient alors $$P_{\mathcal{C} \, \longrightarrow \, \mathcal{U}}$$ :
$$P_{\mathcal{C} \, \longrightarrow \, \mathcal{U}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
Des quatre relations précédentes, on en déduit sans aucune difficultés que :
$$\star \,\, E_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 1 M_1 - 1 M_2 + 0 M_3 + 0 M_4 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, (1 \,;\, -1 \,;\, 0 \,;\, 0)$$
$$\star \star \,\, E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0 M_1 + 1 M_2 - 1 M_3 + 0 M_4 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, (0 \,;\, 1 \,;\, -1 \,;\, 0)$$
$$\star \star \star \,\, E_{21} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 1 M_1 + 1 M_2 + 1 M_3 + 1 M_4 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, (0 \,;\, 0 \,;\, 1 \,;\, 1)$$
$$\star \star \star \star \,\, E_{22} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 0 M_1 + 0 M_2 + 1 M_3 - 1 M_4 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, (0 \,;\, 0 \,;\, 1 \,;\, -1)$$
En rangeant par colonne les différentes composantes de $$E_{11}$$,$$E_{12}$$, $$E_{21}$$ et $$E_{22}$$ (de $$\mathcal{C}$$ dans $$\mathcal{U}$$) par colonnes, on obtient alors l'expression de $$P_{\mathcal{U} \, \longrightarrow \, \mathcal{C}}$$ :
$$P_{\mathcal{U} \, \longrightarrow \, \mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} = P_{\mathcal{C} \, \longrightarrow \, \mathcal{U}}^{-1}$$

Notons par $$M_\mathcal{C} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}$$ la matrice colonne qui exprime les composantes de la matrice $$M$$ dans la base canonique $$\mathcal{C}$$.
Dans ce cas on désigne par $$M_\mathcal{U}$$ la matrice colonne qui exprime les composantes de la matrice $$M$$ dans la base $$\mathcal{U}$$.
On a alors :
$$M_\mathcal{U} = P_{\mathcal{U} \, \longrightarrow \, \mathcal{C}} M_\mathcal{C}$$
Soit :
$$M_\mathcal{U} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix}$$
Soit encore :
$$M_\mathcal{U} = \begin{pmatrix} a \\ -a+b \\ -b+c \\ -c+d \end{pmatrix}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$M_\mathcal{U} = a M_1 + (b-a) M_2 + (c-b) M_3 + (d-c) M_4$$
Finalement :
$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + (b-a) \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + (c-b) \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + (d-c) \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$