Exercice 3 - Exercice 1

Adoptons une présentation matricielle de la situation. Nous allons ranger les quatre vecteurs par lignes. On a :
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & -3 & -5 \end{pmatrix} \begin{array}{l} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\u_4 \end{array}$$
Effectuons les transformations suivantes : $$L_2 \longleftarrow L_2 - 2L_1$$ et $$L_4 \longleftarrow L_4 - L_1$$. On a alors :
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & -2 & -2 & -8 \end{pmatrix} \begin{array}{c} u_1 \\ -2 u_1 + u_2 \\ u_3 \\ -u_1 + u_4 \end{array}$$
Effectuons maintenant les transformations suivantes : $$L_3 \longleftarrow L_3 + L_2$$ et $$L_4 \longleftarrow L_4 - 2 L_2$$. On a alors :
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{array}{c} u_1 \\ -2 u_1 + u_2 \\ -2 u_1 + u_2 + u_3 \\ - 3 u_1 -2 u_2 + u_4 \end{array}$$
On constate alors l'existence de deux relations linéaires, à savoir :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} -2 u_1 + u_2 + u_3 & = & 0_{\mathbb{R}^4} \\ - 3 u_1 -2 u_2 + u_4 & = & 0_{\mathbb{R}^4} \end{array}\right.$$
Ainsi les deux vecteurs
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} u_1 & = & (1 \,;\, 2 \,;\, -1 \,;\, 3) \\ -2 u_1 + u_2 & = & (0 \,;\, -1 \,;\, -1 \,;\, -4)\end{array}\right.$$
engendrent $$\mathrm{Vect}(\mathcal{U})$$. Ces deux vecteurs forment donc une famille génératrice de $$\mathrm{Vect}(\mathcal{U})$$.
Ainsi :
$$\mathrm{Rang}(\mathcal{U}) = \mathrm{Rang}(u_1 \,;\, u_2 \,;\, u_3 \,;\, u_4) = \mathrm{Rang}(u_1 \,;\, -2u_1 + u_2 ) = 2$$

On sait que les deux vecteurs
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} u_1 & = & (1 \,;\, 2 \,;\, -1 \,;\, 3) \\ -2 u_1 + u_2 & = & (0 \,;\, -1 \,;\, -1 \,;\, -4)\end{array}\right.$$
engendrent $$\mathrm{Vect}(\mathcal{U})$$. Ces deux vecteurs forment donc une famille génératrice de $$\mathrm{Vect}(\mathcal{U})$$. Vérifions si ces deux vecteurs sont libres dans $$\mathbb{R}^4$$.
On désigne par $$\lambda_1$$ et $$\lambda_2$$ deux nombres réels. On a alors :
$$\lambda_1 u_1 + \lambda_2 (-2 u_1 + u_2) = 0_{\mathbb{R}^4} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \lambda_1 (1 \,;\, 2 \,;\, -1 \,;\, 3) + \lambda_2 (0 \,;\, -1 \,;\, -1 \,;\, -4) = (0 \,;\, 0 \,;\, 0 \,;\, 0)$$
Soit :
$$\lambda_1 u_1 + \lambda_2 (-2 u_1 + u_2) = 0_{\mathbb{R}^4} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, (\lambda_1 \,;\, 2\lambda_1 \,;\, -\lambda_1 \,;\, 3\lambda_1) + (0 \,;\, -\lambda_2 \,;\, -\lambda_2 \,;\, -4\lambda_2) = (0 \,;\, 0 \,;\, 0 \,;\, 0)$$
Soit encore :
Soit :
$$\lambda_1 u_1 + \lambda_2 (-2 u_1 + u_2) = 0_{\mathbb{R}^4} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, (\lambda_1 \,;\, 2\lambda_1 - \lambda_2 \,;\, -\lambda_1 -\lambda_2 \,;\, 3\lambda_1 -4\lambda_2) = (0 \,;\, 0 \,;\, 0 \,;\, 0)$$
On en tire immédiatement que $$\lambda_1 = 0$$ et de fait $$\lambda_2 = 0$$. Donc :
$$\lambda_1 u_1 + \lambda_2 (-2 u_1 + u_2) = 0_{\mathbb{R}^4} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \lambda_1 = \lambda_2 = 0$$
Donc les deux vecteurs $$u_1$$ et $$-2 u_1 + u_2$$ sont libres dans $$\mathbb{R}^4$$ et générateurs de $$\mathrm{Vect}(\mathcal{U})$$. Ces deux vecteurs forment donc une base de $$\mathrm{Vect}(\mathcal{U})$$.