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Espaces Vectoriels

Exercice 3 - Exercice 1

20 min
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On désigne par U\mathcal{U} une famille vectorielle de R4\mathbb{R}^4 formée des quatre vecteurs suivants :
u1=(1 ; 2 ; −1 ; 3)     ;     u2=(2 ; 3 ; −3 ; 2)     ;     u3=(0 ; 1 ; 1 ; 4)     ;     u4=(1 ; 0 ; −3 ; −5)u_1 = (1 \,;\, 2 \,;\, -1 \,;\, 3) \,\,\,\,\, ; \,\,\,\,\, u_2 = (2 \,;\, 3 \,;\, -3 \,;\, 2) \,\,\,\,\, ; \,\,\,\,\, u_3 = (0 \,;\, 1 \,;\, 1 \,;\, 4) \,\,\,\,\, ; \,\,\,\,\, u_4 = (1 \,;\, 0 \,;\, -3 \,;\, -5)
Question 1

Donner les relations de dépendances existantes entre les vecteurs de la famille U\mathcal{U}. Déterminer le rang de la famille U\mathcal{U}.

Correction
Adoptons une présentation matricielle de la situation. Nous allons ranger les quatre vecteurs par lignes. On a :
(12−1323−32011410−3−5)u1u2u3u4\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & -3 & -5 \end{pmatrix} \begin{array}{l} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\u_4 \end{array}
Effectuons les transformations suivantes : L2⟵L2−2L1L_2 \longleftarrow L_2 - 2L_1 et L4⟵L4−L1L_4 \longleftarrow L_4 - L_1. On a alors :
(12−130−1−1−401140−2−2−8)u1−2u1+u2u3−u1+u4\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & -2 & -2 & -8 \end{pmatrix} \begin{array}{c} u_1 \\ -2 u_1 + u_2 \\ u_3 \\ -u_1 + u_4 \end{array}
Effectuons maintenant les transformations suivantes : L3⟵L3+L2L_3 \longleftarrow L_3 + L_2 et L4⟵L4−2L2L_4 \longleftarrow L_4 - 2 L_2. On a alors :
(12−130−1−1−400000000)u1−2u1+u2−2u1+u2+u3−3u1−2u2+u4\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{array}{c} u_1 \\ -2 u_1 + u_2 \\ -2 u_1 + u_2 + u_3 \\ - 3 u_1 -2 u_2 + u_4 \end{array}
On constate alors l'existence de deux relations linéaires, à savoir :
{−2u1+u2+u3=0R4−3u1−2u2+u4=0R4\left\lbrace \begin{array}{rcl} -2 u_1 + u_2 + u_3 & = & 0_{\mathbb{R}^4} \\ - 3 u_1 -2 u_2 + u_4 & = & 0_{\mathbb{R}^4} \end{array}\right.
Ainsi les deux vecteurs
{u1=(1 ; 2 ; −1 ; 3)−2u1+u2=(0 ; −1 ; −1 ; −4)\left\lbrace \begin{array}{rcl} u_1 & = & (1 \,;\, 2 \,;\, -1 \,;\, 3) \\ -2 u_1 + u_2 & = & (0 \,;\, -1 \,;\, -1 \,;\, -4)\end{array}\right.
engendrent Vect(U)\mathrm{Vect}(\mathcal{U}). Ces deux vecteurs forment donc une famille génératrice de Vect(U)\mathrm{Vect}(\mathcal{U}).
Ainsi :
Rang(U)=Rang(u1 ; u2 ; u3 ; u4)=Rang(u1 ; −2u1+u2)=2\mathrm{Rang}(\mathcal{U}) = \mathrm{Rang}(u_1 \,;\, u_2 \,;\, u_3 \,;\, u_4) = \mathrm{Rang}(u_1 \,;\, -2u_1 + u_2 ) = 2
Question 2

Déterminer une base du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs de la famille U\mathcal{U}.

Correction
On sait que les deux vecteurs
{u1=(1 ; 2 ; −1 ; 3)−2u1+u2=(0 ; −1 ; −1 ; −4)\left\lbrace \begin{array}{rcl} u_1 & = & (1 \,;\, 2 \,;\, -1 \,;\, 3) \\ -2 u_1 + u_2 & = & (0 \,;\, -1 \,;\, -1 \,;\, -4)\end{array}\right.
engendrent Vect(U)\mathrm{Vect}(\mathcal{U}). Ces deux vecteurs forment donc une famille génératrice de Vect(U)\mathrm{Vect}(\mathcal{U}). Vérifions si ces deux vecteurs sont libres dans R4\mathbb{R}^4.
On désigne par λ1\lambda_1 et λ2\lambda_2 deux nombres réels. On a alors :
λ1u1+λ2(−2u1+u2)=0R4   ⟹   λ1(1 ; 2 ; −1 ; 3)+λ2(0 ; −1 ; −1 ; −4)=(0 ; 0 ; 0 ; 0)\lambda_1 u_1 + \lambda_2 (-2 u_1 + u_2) = 0_{\mathbb{R}^4} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \lambda_1 (1 \,;\, 2 \,;\, -1 \,;\, 3) + \lambda_2 (0 \,;\, -1 \,;\, -1 \,;\, -4) = (0 \,;\, 0 \,;\, 0 \,;\, 0)
Soit :
λ1u1+λ2(−2u1+u2)=0R4   ⟹   (λ1 ; 2λ1 ; −λ1 ; 3λ1)+(0 ; −λ2 ; −λ2 ; −4λ2)=(0 ; 0 ; 0 ; 0)\lambda_1 u_1 + \lambda_2 (-2 u_1 + u_2) = 0_{\mathbb{R}^4} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, (\lambda_1 \,;\, 2\lambda_1 \,;\, -\lambda_1 \,;\, 3\lambda_1) + (0 \,;\, -\lambda_2 \,;\, -\lambda_2 \,;\, -4\lambda_2) = (0 \,;\, 0 \,;\, 0 \,;\, 0)
Soit encore :
Soit :
λ1u1+λ2(−2u1+u2)=0R4   ⟹   (λ1 ; 2λ1−λ2 ; −λ1−λ2 ; 3λ1−4λ2)=(0 ; 0 ; 0 ; 0)\lambda_1 u_1 + \lambda_2 (-2 u_1 + u_2) = 0_{\mathbb{R}^4} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, (\lambda_1 \,;\, 2\lambda_1 - \lambda_2 \,;\, -\lambda_1 -\lambda_2 \,;\, 3\lambda_1 -4\lambda_2) = (0 \,;\, 0 \,;\, 0 \,;\, 0)
On en tire immédiatement que λ1=0\lambda_1 = 0 et de fait λ2=0\lambda_2 = 0. Donc :
λ1u1+λ2(−2u1+u2)=0R4   ⟹   λ1=λ2=0\lambda_1 u_1 + \lambda_2 (-2 u_1 + u_2) = 0_{\mathbb{R}^4} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \lambda_1 = \lambda_2 = 0
Donc les deux vecteurs u1u_1 et −2u1+u2-2 u_1 + u_2 sont libres dans R4\mathbb{R}^4 et générateurs de Vect(U)\mathrm{Vect}(\mathcal{U}). Ces deux vecteurs forment donc une base de Vect(U)\mathrm{Vect}(\mathcal{U}).