Dimension finie

$${\color{red}{\bf{\clubsuit \,\, 1 - Famille \,\, génératrice}}}$$
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 1 - Définition : combinaison \,\, linéaire }}}$$
Soit $$n \in \mathbb{N}^\star$$ et soient $$v_{i\in \{ 1 \,;\, \cdots \,;\, n \}}$$ des vecteurs du $$\mathbb{K}$$-espace vectoriel $$V$$. On dit qu'un vecteur $$u \in V$$ est une combinaison linéaire des $$v_{i\in \{ 1 \,;\, \cdots \,;\, n \}}$$ s'il existe $$n$$ scalaires $$\lambda_{i\in \{ 1 \,;\, \cdots \,;\, n \}}$$ de $$\mathbb{K}$$ tels que :
$$u = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \cdots \lambda_n v_n = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i$$
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 2 - Définition : ensemble \,\, des \,\, combinaison s\,\, linéaires }}}$$
Soit $$n \in \mathbb{N}^\star$$ et $$A = \{ u_{i\in \{ 1 \,;\, \cdots \,;\, n \}} \}$$ une partie de $$V$$. On note par $$\mathrm{Vect}(A)$$ ou $$\mathrm{Vect}(u_1 \,;\, \cdots \,;\, u_n)$$ l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles à partir des vecteurs $$\{ u_{i\in \{ 1 \,;\, \cdots \,;\, n \}} \}$$. Donc :
$$\mathrm{Vect}(A) = \mathrm{Vect}(u_1 \,;\, \cdots \,;\, u_n) = u \in V, \,\, \exist \lambda_{i\in \{ 1 \,;\, \cdots \,;\, n \}} \in \mathbb{K}^n, \,\, \sum_{i=1}^{n} \lambda_i u_i$$
L'ensemble $$\mathrm{Vect}(A)$$ ou $$\mathrm{Vect}(u_1 \,;\, \cdots \,;\, u_n)$$ est un sous-espace vectoriel de $$V$$ sur $$\mathbb{K}$$.
Par exemple si $$q \in V$$ alors $$\mathrm{Vect}(q) = \lambda q$$ avec $$\lambda \in \mathbb{K}$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 3 - Définition : famille \,\, génératrice }}}$$
Soit $$n \in \mathbb{N}^\star$$ et soient $$\mathcal{U} = u_{i\in \{ 1 \,;\, \cdots \,;\, n \}} \in V^n$$. On dit que $$\mathcal{U}$$ est une famille (vectorielle) génératrice (ou système générateur) de $$V$$ si :
$$\mathrm{Vect}(u_1 \,;\, \cdots \,;\, u_n) = V$$
On dit aussi que la famille vectorielle $$\mathcal{U}$$ engendre $$V$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 4 - Définition : famille \,\, libre \,\, et \,\ famille \,\, liée }}}$$
Soit $$n \in \mathbb{N}^\star$$ et soient $$\mathcal{U} = u_{i\in \{ 1 \,;\, \cdots \,;\, n \}} \in V^n$$ une famille de vecteur de l'espace vectoriel $$V$$.
On dit que la famille $$\mathcal{U}$$ est $${\color{red}{\bf{libre}}}$$ ou que les vecteurs $$u_{i\in \{ 1 \,;\, \cdots \,;\, n \}}$$ sont linéairement indépendants si :
$$\forall \lambda_{i\in \{ 1 \,;\, \cdots \,;\, n \}} \in \mathbb{K}^n, \,\, \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i u_i = 0 \right) \Longrightarrow \left( \lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_n = 0 \right)$$
Dans le cas contraire, c'est-à-dire si l'on ne trouve pas $$n$$ scalaires $$\lambda_{i\in \{ 1 \,;\, \cdots \,;\, n \}}$$ $${\color{red}{\bf{non \,\, tous \,\, nuls}}}$$ tels que $$\sum_{i=1}^{n} \lambda_i u_i = 0$$ on dit que la famille $$\mathcal{U}$$ est $${\color{red}{\bf{liée}}}$$ ou que les vecteurs $$u_{i\in \{ 1 \,;\, \cdots \,;\, n \}}$$ sont linéairement dépendants. Ainsi il est possible d'exprimer l'un des vecteurs $$u_{i\in \{ 1 \,;\, \cdots \,;\, n \}}$$ de $$\mathcal{U}$$ en fonction des $$n-1$$ autres vecteurs de cette même famille $$\mathcal{U}$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 5 - Conséquence : }}}$$
Au sein d'une famille vectorielle libre, aucun vecteur n'est nul.
Ainsi la famille $$\mathcal{U} = (u)$$ est libre si et seulement si $$u$$ est non nul.
De plus, toute sous- famille vectorielle d'une famille vectorielle libre est également libre.
$${\color{red}{\bf{\clubsuit \,\, 2 - Base }}}$$
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 1 - Définition : base }}}$$
Soit $$n \in \mathbb{N}^\star$$ et soient $$\mathcal{B} = \left( u_{i\in \{ 1 \,;\, \cdots \,;\, n \}} \right) \in V^n$$ une famille de vecteur de l'espace vectoriel $$V$$. On dit que $$\mathcal{B}$$ est une $${\color{red}{\bf{base}}}$$ de l'espace vectoriel $$V$$ si $$\mathcal{B}$$ est, à la fois, $${\color{red}{\bf{libre \,\, génératrice}}}$$ dans $$V$$.
Au sein d'un espace vectoriel, une base n'est pas unique !
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 2 - Premier \,\, exemple }}}$$
Pour tout $$\lambda$$ non nul, la famille $$(\lambda)$$ est une base du $$\mathbb{K}$$-espace vectoriel $$\mathbb{K}$$. En particulier, la famille $$(1)$$ est une base de de $$\mathbb{K}$$ et on l'appelle la $${\color{blue}{\bf{base \,\, canonique }}}$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 3 - Deuxième \,\, exemple }}}$$
Plus généralement, les vecteurs de $$\mathbb{K}^n$$, notés $$e_1 = (1 \,;\, 0 \,;\, \cdots \,;\, 0)$$, $$e_2 = (0 \,;\, 1 \,;\, \cdots \,;\, 0)$$, $$\cdots$$, $$e_n = (0 \,;\, 0 \,;\, \cdots \,;\, 1)$$ forment une base de $$\mathbb{K}^n$$ et on l'appelle la $${\color{blue}{\bf{base \,\, canonique }}}$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 4 - Troisième \,\, exemple }}}$$
Soit $$i^2 = -1$$. La famille $$(1 \,;\, i)$$ est une base du $$\mathbb{R}$$-espace vectoriel $$\mathbb{C}$$. On l'appelle la $${\color{blue}{\bf{base \,\, canonique }}}$$ de $$\mathbb{C}$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 5 - Quatrième \,\, exemple }}}$$
Dans le $$\mathbb{K}$$-espace vectoriel $$\mathcal{M}_2(\mathbb{K})$$ les quatre matrices
$$M_1 = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \,\, ;\,\, M_2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \,\, ;\,\, M_3 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix} \,\, ;\,\, M_4 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix}$$
forment une base du $$\mathbb{K}$$-espace vectoriel $$\mathcal{M}_2(\mathbb{K})$$ Il en est de même que
$$E_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \,\, ;\,\, E_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \,\, ;\,\, E_{21} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \,\, ;\,\, E_{22} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$
Cette dernière base s'appelle la $${\color{blue}{\bf{base \,\, canonique }}}$$ de $$\mathcal{M}_2(\mathbb{K})$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 6 - Un \,\, résultat \,\, important }}}$$
Soit $$n \in \mathbb{N}^\star$$ et soient $$\mathcal{B} = u_{i\in \{ 1 \,;\, \cdots \,;\, n \}} \in V^n$$ une famille de vecteur de l'espace vectoriel $$V$$. Pour que $$\mathcal{B}$$ soit une base de $$V$$, il faut et il suffit que, pour tout vecteur $$v$$ de $$V$$, il existe une seul et unique $$n$$-uplet $$\lambda_{i\in \{ 1 \,;\, \cdots \,;\, n \}}) \in \mathbb{K}^n$$ tel que $$v = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i u_i$$. Dans ce cas le $$n$$-uplet $$\lambda_{i\in \{ 1 \,;\, \cdots \,;\, n \}})$$ s'appelle le système des composantes de $$v$$ dans la base $$\mathcal{B}$$.
$$\bullet \,\,$$ Par exemple, on peut écrire que $$M = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 7 \\ \end{pmatrix} = 2E_{11} + (-3)E_{12} + 4E_{21} + 7E_{22}$$. Donc, dans la base canonique de $$\mathcal{M}_2(\mathbb{K})$$, les composantes de $$M$$ sont $$2$$, $$-3$$, $$4$$ et $$7$$.
$${\color{red}{\bf{\clubsuit \,\, 3 - Théorie \,\, de \,\, la \,\, dimension \,\, finie}}}$$
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 1 - Définition }}}$$
On dit que l'espace vectoriel $$V$$ est de dimension finie si $$V$$ est engendré par un nombre fini de vecteurs. Dans le cas contraire, ont dit que $$V$$ est de dimension infinie.
$$\bullet \,\,$$ Par exemple, en tant que $$\mathbb{K}$$-espace vectoriel, $$\mathcal{M}_{n\,;\,p}(\mathbb{K})$$ est de dimension finie.
$$\bullet \bullet \,\,$$ Par exemple, $$\mathbb{K}^\mathbb{K}$$ est de dimension infinie.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 2 - Lemme \,\, de \,\, Steiniz}}}$$
Soit $$n \in \mathbb{N}^\star$$. Si $$V$$ est engendrée par $$n$$ vecteurs alors toutes famille formée de $$n+1$$ vecteurs est liée.
$$\hookrightarrow \,\,$$ C'est souvent comme cela que l'on montre qu'une famille est liée.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 3 - Théorème }}}$$
On suppose que $$V$$ est de dimension finie, non réduit au vecteur nul. Alors :
$$\blacksquare \,\,$$ $$V$$ possède au moins une base formée d'un nombre fini de vecteurs ;
$$\blacksquare \blacksquare \,\,$$ $$V$$ toutes les bases de $$V$$ sont formées d'un même nombre fini de vecteurs.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 4 - Définition : la \,\, dimension }}}$$
Soit $$V$$ un espace vectoriel de dimension finie, non réduit à l'élément nul. Le cardinal commun de toutes ses bases s'appelle $${\color{red}{\bf{la \,\, dimension}}}$$ de $$V$$ et se note $${\color{red}{\bf{dim}}(V)}$$.
$$\bullet \,\,$$ Par exemple, une droite vectorielle est un espace vectorielle de dimension $$1$$.
$$\bullet \bullet \,\,$$ Par exemple, un plan vectoriel est un espace vectoriel de dimension $$2$$.
$$\bullet \bullet \bullet \,\,$$ Par exemple, un volume vectoriel est un espace vectoriel de dimension $$3$$. C'est la cadre de travail du physicien en Physique classique ;
$$\bullet \bullet \bullet \bullet \,\,$$ Si $$V$$ se réduit au vecteur nul alors on dit que la dimension de $$V$$ est $$0$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 5 - Exemples \,\, classiques \,\, et \,\, importants }}}$$
$$\bullet \,\,$$ $$\mathbb{R}$$ est une droite vectorielle sur $$\mathbb{R}$$.
$$\bullet \bullet \,\,$$ $$\mathbb{C}$$ est une droite vectorielle sur $$\mathbb{C}$$.
$$\bullet \bullet \bullet \,\,$$ $$\mathbb{C}$$ est un plan vectoriel sur $$\mathbb{R}$$.
$$\bullet \bullet \bullet \bullet \,\,$$ $$\mathcal{M}_{n\,;\,p}(\mathbb{K})$$ est de dimension $$np$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 6 - Produit \,\, d'espaces \,\, vectoriels \,\, \,\, de \,\, dimension \,\, finie }}}$$
Soit $$n \in \mathbb{N}^\star$$. Soient $$V_1 \,;\, V_2 \,;\, \cdots \,;\, V_n$$ des espaces vectoriels de dimension finie sur $$\mathbb{K}$$. Le produit $$V_1 \times V_2 \times \cdots \times V_n$$ est un $$\mathbb{K}$$-espace vectoriel de dimension finie et l'on a :
$$\dim (V_1 \times V_2 \times \cdots \times V_n) = \dim (V_1) + \dim (V_2) + \cdots + \dim (V_n)$$
$$\bullet \,\,$$ Par exemple, le $$\mathbb{K}$$-espace vectoriel $$\mathbb{K}^n$$ de dimension $$n$$.
$$\bullet \bullet \,\,$$ Par exemple, le $$\mathbb{R}$$-espace vectoriel $$\mathbb{C}$$ de dimension $$2n$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 7 - Théorème }}}$$
Si $$V$$ est un espace vectoriel de dimension $$n \geqslant 1$$, alors :
$$1 \, - \,\,$$ toute famille libre de $$V$$ admet au plus $$n$$ éléments ;
$$2 \, - \,\,$$ une famille libre ayant exactement $$n$$ éléments est une base. On l'appelle "famille libre maximale dans $$V$$" ;
$$3 \, - \,\,$$ toute famille génératrice de $$V$$ admet au moins $$n$$ éléments ;
$$2 \, - \,\,$$ une famille génératrice ayant exactement $$n$$ éléments est une base. On l'appelle "famille génératrice minimale dans $$V$$".
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 8 - Théorème \,\, de \,\ la \,\, base \,\, incomplète }}}$$
On suppose que $$V$$ est de dimension $$n \geqslant 2$$. On considère une base $$\mathcal{B} = \left( e_{i\in \{ 1 \,;\, \cdots \,;\, n \}} \right)$$ de $$V$$ et une famille libre $$\mathcal{L} = \left( \ell_{i\in \{ 1 \,;\, \cdots \,;\, p \}} \right)$$ de $$p$$ vecteurs de $$V$$, avec $$1 \leqslant p < n$$. Dans ce cas, on peut compléter les $$p$$ vecteurs de $$\mathcal{L}$$ par $$n-p$$ vecteurs $$e_{k(1)} \,;\, \cdots \,;\, e_{k(n-p)}$$ tous choisis dans la base $$\mathcal{B}$$, de sorte que la famille $$\mathcal{C} = \big(\ell_{1} \,;\, \cdots \ell_{p} \,;\, \,;\, e_{k(1)} \,;\, \cdots \,;\, e_{k(n-p)} \big)$$ soit une base de $$V$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 9 - Théorème }}}$$
Soit $$V$$ un espace vectoriel de dimension finie et $$W$$ un sous-espace vectoriel de $$V$$. On a alors :
$$1 \, - \,\,$$ le sous-espace vectoriel $$W$$ est de dimension finie ;
$$2 \, - \,\,$$ on a $$0 \leqslant \dim W \leqslant \dim V$$ ;
$$3 \, - \,\,$$ si $$W = V$$ alors $$\dim W = \dim V$$.
$${\color{red}{\bf{\clubsuit \,\, 4 - Rang \,\, d'une \,\, famille \,\, de \,\, vecteurs}}}$$
On désigne par $$V$$ un espace vectoriel de dimension finie.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 1 - Définition : le \,\, rang }}}$$
Soit $$n \in \mathbb{N}^\star$$. On désigne par $$\mathcal{U} = (u_1 \,;\, \cdots \,;\, u_n)$$ une famille de $$n$$ vecteurs de $$V$$. La dimension du sous-espace vectoriel $$\mathrm{Vect}(\mathcal{U})$$ s'appelle le $${\color{red}{\bf{rang}}}$$ de $$\mathcal{U}$$ et se note $$\mathrm{rang}(\mathcal{U})$$. Donc :
$$\mathrm{rang}(\mathcal{U}) = \dim \mathrm{Vect}(\mathcal{U})$$
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 2 - Conséquences }}}$$
Soit $$p \in \mathbb{N}^\star$$ et $$\mathcal{U} = (u_1 \,;\, \cdots \,;\, u_p)$$ une famille de $$p$$ vecteurs de $$V$$. On a alors :
$$1 \, - \,\,$$ on a $$0 \leqslant \mathrm{rang}(\mathcal{U}) \leqslant \min(p \,;\, \dim V)$$ ;
$$2 \, - \,\,$$ on a $$\mathrm{rang}(\mathcal{U}) = p$$ si et seulement si la famille $$\mathcal{U}$$ est libre dans $$V$$ ;
$$3 \, - \,\,$$ on a $$\mathrm{rang}(\mathcal{U}) = \dim V$$ si et seulement si la famille $$\mathcal{U}$$ engendre $$V$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 3 - Lien \,\, avec \,\, la \,\, méthode \,\, du \,\, pivot \,\, de \,\, Gauss}}}$$
Soit $$p \in \mathbb{N}^\star$$ et $$\mathcal{U} = (u_1 \,;\, \cdots \,;\, u_p)$$ une famille de $$p$$ vecteurs de $$V$$.
On ne modifie pas le sous-espace vectoriel engendré $$\mathrm{Vect}(\mathcal{U})$$ et donc le rang de la famille $$\mathcal{U}$$ lorsqu'on fait subir aux vecteurs $$(u_1 \,;\, \cdots \,;\, u_p)$$ les opérations élémentaires suivantes :
$$1 \, - \,\,$$ changer l'ordre des vecteurs ;
$$2 \, - \,\,$$ multiplier l'un des vecteur par un scalaire non nul ;
$$3 \, - \,\,$$ ajouter à l'un des vecteurs de la famille $$\mathcal{U})$$ une combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille \mathcal{U}) ;
$$4 \, - \,\,$$ Substituer à la famille vectorielle $$\mathcal{U} = (u_1 \,;\, \cdots \,;\, u_p)$$ la famille $$\mathcal{U}' = (u_1 \,;\, \cdots \,;\, u_p \,;\, v)$$ dans laquelle le vecteur supplémentaire $$v$$ est une combinaison linéaire des vecteurs $$(u_1 \,;\, \cdots \,;\, u_p)$$.
$$\looparrowright \,\,$$ Par exemple si $$(u \,;\, v) \in V^2$$ alors on a $$\mathrm{rang}(u \,;\, v) = \mathrm{rang}(u \,;\, 5v) = \mathrm{rang}(3u \,;\, 4v) = \mathrm{rang}(2u \,;\, 6v \,;\, 5u + 7v)$$.
$${\color{red}{\bf{\clubsuit \,\, 5 - Action \,\, d'un \,\, changement \,\, de \,\, base }}}$$
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 1 - Définition }}}$$
Soit $$\mathcal{B} = (e_1 \,;\, \cdots \,;\, e_n)$$ une base de $$V$$.
$$1 \, - \,\,$$ Soit $$u$$ un vecteur de $$V$$ de composantes $$\lambda_1 \,;\, \cdots \,;\, \lambda_n$$ dans la base $$\mathcal{B}$$. La matrice $$\mathcal{M}\mathrm{at}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}$$ s'appelle la matrice du vecteur $$u$$ dans la base $$\mathcal{B}$$.
$$2 \, - \,\,$$ Soit $$\mathcal{U} = (u_1 \,;\, \cdots \,;\, u_p)$$ une famille de $$p$$ vecteurs de $$V$$. On suppose que chaque vecteur $$u_j$$ de cette famille $$(1 \leqslant j \leqslant p)$$ on a la matrice représentative dans la base $$\mathcal{B}$$ suivante $$\mathcal{M}\mathrm{at}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} \lambda_{1\,;\,j} \\ \vdots \\ \lambda_{n\,;\,j} \end{pmatrix}$$. Dans ce cas la matrice représentative de la famille $$\mathcal{U} = (u_1 \,;\, \cdots \,;\, u_p)$$, notée $$\mathcal{M}\mathrm{at}_{\mathcal{B}}(\mathcal{U})$$, dans la base $$\mathcal{B}$$ est définie par :
$$\mathcal{M}\mathrm{at}_{\mathcal{B}}(\mathcal{U}) = \begin{pmatrix} \lambda_{1\,;\,1} & \cdots & \lambda_{1\,;\,j} & \cdots & \lambda_{1\,;\,n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ \lambda_{n\,;\,1} & \cdots & \lambda_{n\,;\,j} & \cdots & \lambda_{n\,;\,n} \end{pmatrix}$$
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 2 - Un \,\, résultat \,\, important }}}$$
Soit $$\mathcal{B} = (e_1 \,;\, \cdots \,;\, e_n)$$ une base de $$V$$. Soit $$\mathcal{U} = (u_1 \,;\, \cdots \,;\, u_n)$$ une famille de $$n$$ vecteurs de $$V$$.
Pour que $$\mathcal{U}$$ soit une base de $$V$$ il faut et il suffit que la matrice $$\mathcal{M}\mathrm{at}_{\mathcal{B}}(\mathcal{U})$$ soit inversible.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 3 - Définition : matrice \,\, de \,\, passage }}}$$
Soit $$\mathcal{B}_1$$ et $$\mathcal{B}_2$$ deux bases de $$V$$. La matrice de passage de $$\mathcal{B}_1$$ et $$\mathcal{B}_2$$, notée $$\mathcal{P}_{\mathcal{B}_1 \, \longrightarrow \, \mathcal{B}_2} = \mathcal{M}\mathrm{at}_{\mathcal{B}_1}(\mathcal{B}_2)$$
Et on a :
$$\left[ \mathcal{P}_{\mathcal{B}_1 \, \longrightarrow \, \mathcal{B}_2} \right]^{-1} = \mathcal{P}_{\mathcal{B}_2 \, \longrightarrow \, \mathcal{B}_1} = \mathcal{M}\mathrm{at}_{\mathcal{B}_2}(\mathcal{B}_1)$$
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\, \blacktriangleright \,\, 4 - Théorème : action \,\, d'un \,\, changement \,\, de \,\, base \,\, sur \,\, un \,\, vecteur }}}$$
Soit $$\mathcal{B}_1$$ et $$\mathcal{B}_2$$ deux bases de $$V$$. Soit $$u$$ un vecteur de $$V$$. On note par $$X_1 = \mathcal{M}\mathrm{at}_{\mathcal{B}_1}(u)$$ et $$X_2 = \mathcal{M}\mathrm{at}_{\mathcal{B}_2}(u)$$. On a alors :
$$X_1 = \mathcal{P}_{\mathcal{B}_1 \, \longrightarrow \, \mathcal{B}_2}X_2$$
Cette formule est extrêmement importante tant du point de vue théorique que pratique.