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Espaces Vectoriels
Déterminer une base du noyau d'une application linéaire - Exercice 1
10 min
20
Question 1
Soit
f
f
f
l’application linéaire définie par
f
:
{
R
3
⟶
R
2
(
x
,
y
,
z
)
⟼
(
3
x
,
y
+
2
z
)
f:\left\{ \begin{array}{ccc}{\mathbb{R}}^3 & \longrightarrow & {\mathbb{R}}^2 \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \left(3x,y+2z\right) \end{array}\right.
f
:
{
R
3
(
x
,
y
,
z
)
⟶
⟼
R
2
(
3
x
,
y
+
2
z
)
Déterminer une base du noyau de
f
f
f
.
Correction
Soient
E
E
E
et
F
F
F
deux
K
\mathbb{K}
K
-espaces vectoriels et
f
f
f
une application linéaire de
E
E
E
dans
F
F
F
.
Le noyau de
f
f
f
, noté
K
e
r
(
f
)
\mathrm{Ker}\left(f\right)
Ker
(
f
)
, est l'ensemble des éléments de
E
E
E
dont l'image est
0
F
0_F
0
F
.
On écrit alors :
K
e
r
(
f
)
=
{
x
∈
E
,
f
(
x
)
=
0
F
}
\mathrm{Ker}\left(f\right)=\left\{x\in E\ ,\ \ f\left(x\right)=0_F\right\}
Ker
(
f
)
=
{
x
∈
E
,
f
(
x
)
=
0
F
}
.
(
x
,
y
,
z
)
∈
K
e
r
(
f
)
⟺
f
(
x
,
y
,
z
)
=
(
0
,
0
)
\left(x,y,z\right)\in \mathrm{Ker}\left(f\right)\Longleftrightarrow f\left(x,y,z\right)=\left(0,0\right)
(
x
,
y
,
z
)
∈
Ker
(
f
)
⟺
f
(
x
,
y
,
z
)
=
(
0
,
0
)
⟺
{
3
x
=
0
y
+
2
z
=
0
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ccc}3x & = & 0 \\ y+2z & = & 0 \end{array}\right.
⟺
{
3
x
y
+
2
z
=
=
0
0
⟺
{
x
=
0
y
=
−
2
z
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ccc}x & = & 0 \\ y & = & -2z \end{array}\right.
⟺
{
x
y
=
=
0
−
2
z
⟺
(
x
,
y
,
z
)
=
(
0
,
−
2
z
,
z
)
,
z
∈
R
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow \left(x,y,z\right)=\left(0,-2z,z\right)\ ,\ \ \ z\in \mathbb{R}
⟺
(
x
,
y
,
z
)
=
(
0
,
−
2
z
,
z
)
,
z
∈
R
Ainsi :
K
e
r
(
f
)
=
{
(
0
,
−
2
z
,
z
)
,
z
∈
R
}
⟺
K
e
r
(
f
)
=
{
z
(
0
,
−
2
,
1
)
,
z
∈
R
}
\mathrm{Ker}\left(f\right)=\left\{\left(0,-2z,z\right)\ ,\ z\in \mathbb{R}\right\}\Longleftrightarrow \mathrm{Ker}\left(f\right)=\left\{z\left(0,-2,1\right)\ ,\ z\in \mathbb{R}\right\}
Ker
(
f
)
=
{
(
0
,
−
2
z
,
z
)
,
z
∈
R
}
⟺
Ker
(
f
)
=
{
z
(
0
,
−
2
,
1
)
,
z
∈
R
}
⟺
K
e
r
(
f
)
=
V
e
c
t
{
(
0
,
−
2
,
1
)
}
\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\Longleftrightarrow \mathrm{Ker}\left(f\right)=\mathrm{Vect}\left\{\left(0,-2,1\right)\ \right\}
⟺
Ker
(
f
)
=
Vect
{
(
0
,
−
2
,
1
)
}
Comme
(
0
,
−
2
,
1
)
≠
(
0
,
0
,
0
)
{\left(0,-2,1\right)}\ne\left(0,0,0\right)
(
0
,
−
2
,
1
)
=
(
0
,
0
,
0
)
ainsi le vecteur est une base du noyau de
f
f
f
.
Question 2
Soit
f
f
f
l’application linéaire définie par
f
:
{
R
3
⟶
R
2
(
x
,
y
,
z
)
⟼
(
x
+
y
+
z
,
2
x
−
y
)
f:\left\{ \begin{array}{ccc}{\mathbb{R}}^3 & \longrightarrow & {\mathbb{R}}^2 \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \left(x+y+z,2x-y\right) \end{array}\right.
f
:
{
R
3
(
x
,
y
,
z
)
⟶
⟼
R
2
(
x
+
y
+
z
,
2
x
−
y
)
Déterminer une base du noyau de
f
f
f
.
Correction
Soient
E
E
E
et
F
F
F
deux
K
\mathbb{K}
K
-espaces vectoriels et
f
f
f
une application linéaire de
E
E
E
dans
F
F
F
.
Le noyau de
f
f
f
, noté
K
e
r
(
f
)
\mathrm{Ker}\left(f\right)
Ker
(
f
)
, est l'ensemble des éléments de
E
E
E
dont l'image est
0
F
0_F
0
F
.
On écrit alors :
K
e
r
(
f
)
=
{
x
∈
E
,
f
(
x
)
=
0
F
}
\mathrm{Ker}\left(f\right)=\left\{x\in E\ ,\ \ f\left(x\right)=0_F\right\}
Ker
(
f
)
=
{
x
∈
E
,
f
(
x
)
=
0
F
}
.
(
x
,
y
,
z
)
∈
K
e
r
(
f
)
⟺
f
(
x
,
y
,
z
)
=
(
0
,
0
)
\left(x,y,z\right)\in \mathrm{Ker}\left(f\right)\Longleftrightarrow f\left(x,y,z\right)=\left(0,0\right)
(
x
,
y
,
z
)
∈
Ker
(
f
)
⟺
f
(
x
,
y
,
z
)
=
(
0
,
0
)
⟺
{
x
+
y
+
z
=
0
2
x
−
y
=
0
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ccc}x+y+z & = & 0 \\ 2x-y & = & 0 \end{array}\right.
⟺
{
x
+
y
+
z
2
x
−
y
=
=
0
0
⟺
{
x
+
y
+
z
=
0
y
=
2
x
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ccc}x+y+z & = & 0 \\ y & = & 2x \end{array}\right.
⟺
{
x
+
y
+
z
y
=
=
0
2
x
⟺
{
x
+
2
x
+
z
=
0
y
=
2
x
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ccc}x+2x+z & = & 0 \\ y & = & 2x \end{array}\right.
⟺
{
x
+
2
x
+
z
y
=
=
0
2
x
⟺
{
z
=
−
3
x
y
=
2
x
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ccc}z & = & -3x \\ y & = & 2x \end{array}\right.
⟺
{
z
y
=
=
−
3
x
2
x
⟺
(
x
,
y
,
z
)
=
(
x
,
2
x
,
−
3
x
)
,
x
∈
R
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow \left(x,y,z\right)=\left(x,2x,-3x\right)\ ,\ \ \ x\in \mathbb{R}
⟺
(
x
,
y
,
z
)
=
(
x
,
2
x
,
−
3
x
)
,
x
∈
R
Ainsi :
K
e
r
(
f
)
=
{
(
x
,
2
x
,
−
3
x
)
,
x
∈
R
}
⟺
K
e
r
(
f
)
=
{
x
(
1
,
2
,
−
3
)
,
x
∈
R
}
\mathrm{Ker}\left(f\right)=\left\{\left(x,2x,-3x\right)\ ,\ x\in \mathbb{R}\right\}\Longleftrightarrow \mathrm{Ker}\left(f\right)=\left\{x\left(1,2,-3\right)\ ,\ x\in \mathbb{R}\right\}
Ker
(
f
)
=
{
(
x
,
2
x
,
−
3
x
)
,
x
∈
R
}
⟺
Ker
(
f
)
=
{
x
(
1
,
2
,
−
3
)
,
x
∈
R
}
⟺
K
e
r
(
f
)
=
V
e
c
t
{
(
1
,
2
,
−
3
)
}
\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\Longleftrightarrow \mathrm{Ker}\left(f\right)=\mathrm{Vect}\left\{\left(1,2,-3\right)\ \right\}
⟺
Ker
(
f
)
=
Vect
{
(
1
,
2
,
−
3
)
}
Comme
(
1
,
2
,
−
3
)
≠
(
0
,
0
,
0
)
{\left(1,2,-3\right)\ne\left(0,0,0\right)}
(
1
,
2
,
−
3
)
=
(
0
,
0
,
0
)
ainsi le vecteur
(
1
,
2
,
−
3
)
{\left(1,2,-3\right)}
(
1
,
2
,
−
3
)
est une base du noyau de
f
f
f
.