Espaces Vectoriels

Déterminer qu'une famille est libre - Exercice 1

10 min
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Question 1

La famille ((1,0);(1,2))\left(\left(1,0\right);\left(1,2\right)\right) est-elle une famille libre de R2\mathbb{R}^2 ?

Correction
  • Soit (e1,e2,⋯ ,en)\left(e_1,e_2,\cdots ,e_n\right) une famille de vecteurs d'un K\mathbb{K} espace vectoriel EE, on dit que cette famille est libre si le vecteur 0E0_E s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de cette famille, autrement dit :
    ∀(λ1,λ2,⋯ ,λn)∈Kn, ∑i=1nλi⋅ei=0E⟹∀i∈[[1;n]], λi=0\forall \left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right)\in \mathbb{K}^n,\ \sum^n_{i=1}{{\lambda }_i\cdot e_i=0_E}\Longrightarrow \forall i\in \left[\left[1;n\right]\right],\ {\lambda }_i=0
Soient λ1,λ2{\lambda }_1,{\lambda }_2 deux réels tels que :
λ1(1,0)+λ2(1,2)=(0,0){\lambda }_1\left(1,0\right)+{\lambda }_2\left(1,2\right)=\left(0,0\right) équivaut successivement à :
(λ1,0)+(λ2,2λ2)=(0,0)\left({\lambda }_1,0\right)+\left({\lambda }_2,2{\lambda }_2\right)=\left(0,0\right)
{λ1+λ2=02λ2=0\left\{ \begin{array}{ccc}{\lambda }_1+{\lambda }_2 & = & 0 \\ 2{\lambda }_2 & = & 0 \end{array}\right.
{λ1+λ2=0λ2=0\left\{ \begin{array}{ccc}{\lambda }_1+{\lambda }_2 & = & 0 \\ {\lambda }_2 & = & 0 \end{array}\right.
{λ1=0λ2=0\left\{ \begin{array}{ccc}{\lambda }_1 & = & 0 \\ {\lambda }_2 & = & 0 \end{array}\right.
Ainsi :
λ1=λ2=0{\lambda }_1={\lambda }_2=0

La famille ((1,0);(1,2))\left(\left(1,0\right);\left(1,2\right)\right) est bien une famille libre de R2\mathbb{R}^2 .
  • Lorsqu'une famille de vecteurs est libre, on dit que les vecteurs de cette famille sont linéairement indépendants.
    • Question 2

    La famille (X,X2+3,X+1)\left(X,X^2+3,X+1\right) est-elle une famille libre de R2[X]\mathbb{R}_2\left[X\right] ?

    Correction
    • Soit (e1,e2,⋯ ,en)\left(e_1,e_2,\cdots ,e_n\right) une famille de vecteurs d'un K\mathbb{K} espace vectoriel EE, on dit que cette famille est libre si le vecteur 0E0_E s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de cette famille, autrement dit :
      ∀(λ1,λ2,⋯ ,λn)∈Kn, ∑i=1nλi⋅ei=0E⟹∀i∈[[1;n]], λi=0\forall \left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right)\in \mathbb{K}^n,\ \sum^n_{i=1}{{\lambda }_i\cdot e_i=0_E}\Longrightarrow \forall i\in \left[\left[1;n\right]\right],\ {\lambda }_i=0
    Soient λ1,λ2{\lambda }_1,{\lambda }_2 et λ3{\lambda }_3 deux réels tels que :
    λ1X+λ2(X2+3)+λ3(X+1)=0{\lambda }_1X+{\lambda }_2\left(X^2+3\right)+{\lambda }_3\left(X+1\right)=0 équivaut successivement à :
    λ1X+λ2X2+3λ2+λ3X+λ3=0{\lambda }_1X+{\lambda }_2X^2+3{\lambda }_2+{\lambda }_3X+{\lambda }_3=0
    λ2X2+λ1X+λ3X+λ3+3λ2=0{\lambda }_2X^2+{\lambda }_1X+{\lambda }_3X+{\lambda }_3+3{\lambda }_2=0
    λ2X2+X(λ1+λ3)+λ3+3λ2=0{\lambda }_2X^2+X\left({\lambda }_1+{\lambda }_3\right)+{\lambda }_3+3{\lambda }_2=0
    {λ2=0λ1+λ3=0λ3+3λ2=0\left\{ \begin{array}{ccc}{\lambda }_2 & = & 0 \\ {\lambda }_1+{\lambda }_3 & = & 0 \\ {\lambda }_3+3{\lambda }_2 & = & 0 \end{array}\right.
    {λ2=0λ1+λ3=0λ3+3×0=0\left\{ \begin{array}{ccc}{\lambda }_2 & = & 0 \\ {\lambda }_1+{\lambda }_3 & = & 0 \\ {\lambda }_3+3\times 0 & = & 0 \end{array}\right.
    {λ2=0λ1=0λ3=0\left\{ \begin{array}{ccc}{\lambda }_2 & = & 0 \\ {\lambda }_1 & = & 0 \\ {\lambda }_3 & = & 0 \end{array}\right.
    Ainsi :
    λ1=λ2=λ3=0{\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=0

    La famille (X,X2+3,X+1)\left(X,X^2+3,X+1\right) est bien une famille libre de R2[X]\mathbb{R}_2\left[X\right] .
  • Lorsqu'une famille de vecteurs est libre, on dit que les vecteurs de cette famille sont linéairement indépendants.
    • Question 3

    La famille ((1,0,2);(1,2,0);(1,−2,4))\left(\left(1,0,2\right);\left(1,2,0\right);\left(1,-2,4\right)\right) est-elle une famille libre de R3\mathbb{R}^3 ?

    Correction
    • Soit (e1,e2,⋯ ,en)\left(e_1,e_2,\cdots ,e_n\right) une famille de vecteurs d'un K\mathbb{K} espace vectoriel EE, on dit que cette famille est libre si le vecteur 0E0_E s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de cette famille, autrement dit :
      ∀(λ1,λ2,⋯ ,λn)∈Kn, ∑i=1nλi⋅ei=0E⟹∀i∈[[1;n]], λi=0\forall \left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right)\in \mathbb{K}^n,\ \sum^n_{i=1}{{\lambda }_i\cdot e_i=0_E}\Longrightarrow \forall i\in \left[\left[1;n\right]\right],\ {\lambda }_i=0
    On remarque que :
    2×(1,0,2)−(1,2,0)=(1,−2,4)2\times\left(1,0,2\right)-\left(1,2,0\right)=\left(1,-2,4\right)
    Autrement dit :
    2×(1,0,2)−(1,2,0)−(1,−2,4)=(0,0,0)2\times\left(1,0,2\right)-\left(1,2,0\right)-\left(1,-2,4\right)=\left(0,0,0\right)
    Ainsi :
    λ1=2{\lambda }_1=2 ; λ2=−1{\lambda }_2=-1 et λ3=−1{\lambda }_3=-1
    Il en résulte donc que la famille n'est pas libre, on dit que c'est une famille liée.