Comment démontrer que $$F$$ est un sous-espace vectoriel de $$E$$ - Exercice 2

$${\color{red}{\bf{\clubsuit \,\, Première \,\, étape :}}}$$
Chaque élément appartenant à $$E$$ est un élément particulier de $$\mathbb{K}^3$$. En effet, ce sont les triplés de $$\mathbb{K}^3$$, notés $$(x \,;\, y \,;\, z)$$, et qui vérifient simultanément les deux relations particulières suivantes : $$(x - y + z = 0)$$ et $$(3x + 2y + 5z = 0)$$. Donc $$E$$ est inclus dans $$\mathbb{K}$$.
$${\color{red}{\bf{\clubsuit \clubsuit \,\, Deuxième \,\, étape :}}}$$
L'élément nul de $$\mathbb{K}^3$$ est $$0_{\mathbb{K}^3} = (0 \,;\, 0 \,;\, 0)$$. Cet élément satisfait à la définition de l'ensemble $$E$$ car on a :
$$(0 - 0 + 0 = 0)$$ et $$(3 \times 0 + 2 \times 0 + 5 \times 0 = 0)$$
De fait :
$$0_{\mathbb{K}^3} = (0 \,;\, 0 \,;\, 0) \in E$$
$${\color{red}{\bf{\clubsuit \clubsuit \clubsuit \,\, Troisième \,\, étape :}}}$$
Vérifions la stabilité de la combinaison linéaire.
Soient $$\lambda$$ un nombre réel, ainsi que $$u = (x \,;\, y \,;\, z) \in E$$ et $$v = (x' \,;\, y' \,;\, z') \in E$$.
Ainsi on a les relations suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} x - y + z & = & 0 \\ 3x + 2y + 5z & = & 0 \\ x' - y' + z' & = & 0 \\ 3x' + 2y' + 5z' & = & 0 \end{array}\right.$$
On a :
$$u + \lambda v = (x \,;\, y \,;\, z) + \lambda (x' \,;\, y' \,;\, z') = (x \,;\, y \,;\, z) + (\lambda x' \,;\, \lambda y' \,;\, \lambda z') = (x + \lambda x' \,;\, y + \lambda y' \,;\, z + \lambda z')$$
Donc on a les deux relations suivantes :
$$\bullet \,\, x + \lambda x' - (y + \lambda y') + z + \lambda z' = (x - y + z) + \lambda(x' - y' + z') = 0 + \lambda 0 = 0 + 0 = 0$$
$$\bullet \bullet \,\, 3(x + \lambda x') + 2(y + \lambda y') + 5(z + \lambda z') = (3x + 2y + 5z) + \lambda (3x' + 2y' + 5z') = 0 + \lambda 0 = 0 + 0 = 0$$
On constate alors que si $$u = (x \,;\, y \,;\, z) \in E$$ et $$v = (x' \,;\, y' \,;\, z') \in E$$ alors $$u + \lambda v \in E$$. La stabilité de la combinaison linéaire est établie.
$${\color{blue}{\bf{ \blacktriangleright \,\, Conclusion :}}}$$
L'ensemble $$E$$ est bien un sous-espace vectoriel du $$\mathbb{K}$$-espace vectoriel $$\mathbb{K}^3$$.