Comment démontrer que $$F$$ est un sous-espace vectoriel de $$E$$ - Exercice 1

$${\color{red}{\bf{\clubsuit \,\, Première \,\, étape :}}}$$
Chaque élément appartenant à $$E$$ est un élément particulier de $$\mathbb{K}^2$$. En effet, ce sont les couples de $$\mathbb{K}^2$$, notés $$(x \,;\, y )$$, et qui vérifient la relation suivante : $$(x +3y = 0)$$ . Donc $$E$$ est inclus dans $$\mathbb{K}$$.
$${\color{red}{\bf{\clubsuit \clubsuit \,\, Deuxième \,\, étape :}}}$$
L'élément nul de $$\mathbb{K}^2$$ est $$0_{\mathbb{K}^2} = (0 \,;\, 0 )$$. Cet élément satisfait à la définition de l'ensemble $$E$$ car on a :
$$(0 +3\times0 = 0)$$
De fait :
$$0_{\mathbb{K}^2} = (0 \,;\, 0 ) \in E$$
$${\color{red}{\bf{\clubsuit \clubsuit \clubsuit \,\, Troisième \,\, étape :}}}$$
Vérifions la stabilité de la combinaison linéaire.
Soient $$\lambda$$ et $$\beta$$ deux nombres réels, ainsi que $$u = (x \,;\, y ) \in E$$ et $$v = (x' \,;\, y' ) \in E$$.
Ainsi on a les relations suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} {\color{blue}{x +3y}} & = & {\color{blue}{0}} \\ {\color{green}{x' +3y'}} & = & {\color{green}{0}} \end{array}\right.$$
On a :
$$\beta u + \lambda v = \beta(x \,;\, y ) + \lambda (x' \,;\, y' ) = (\beta x \,;\, \beta y) + (\lambda x' \,;\, \lambda y' ) = (\beta x + \lambda x' \,;\, \beta y + \lambda y' )$$
Donc on a la relation suivante :
$$\bullet \,\,\left(\beta x + \lambda x'\right)+3\left(\beta y + \lambda y'\right)=\beta\left({\color{blue}{x +3y}}\right)+\lambda\left({\color{green}{x' +3y'}}\right)=\beta\cdot{\color{blue}{0}} + \lambda \cdot{\color{green}{0}} = 0 + 0 = 0$$
On constate alors que si $$u = (x \,;\, y ) \in E$$ et $$v = (x' \,;\, y' ) \in E$$ alors $$\beta u + \lambda v \in E$$. La stabilité de la combinaison linéaire est établie.
$${\color{blue}{\bf{ \blacktriangleright \,\, Conclusion :}}}$$
L'ensemble $$E$$ est bien un sous-espace vectoriel du $$\mathbb{K}$$-espace vectoriel $$\mathbb{K}^2$$.