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Espaces Vectoriels
Applications linéaires - Exercice 1
15 min
20
Question 1
Soit
f
f
f
l’application définie par
f
:
{
R
2
⟶
R
2
(
x
,
y
)
⟼
(
x
−
2
y
,
x
+
3
y
)
f:\left\{ \begin{array}{ccc}{\mathbb{R}}^2 & \longrightarrow & {\mathbb{R}}^2 \\ \left(x,y\right) & \longmapsto & \left(x-2y,x+3y\right) \end{array}\right.
f
:
{
R
2
(
x
,
y
)
⟶
⟼
R
2
(
x
−
2
y
,
x
+
3
y
)
Montrer que
f
f
f
est une application linéaire.
Correction
Soient
E
E
E
et
F
F
F
deux
K
\mathbb{K}
K
-espaces vectoriels et
f
f
f
une application de
E
E
E
dans
F
F
F
.
L'application
f
f
f
est linéaire si et seulement si, pour tous vecteurs
u
u
u
et
v
v
v
de
E
E
E
et pour tous scalaires
λ
\lambda
λ
et
β
\beta
β
de
K
\mathbb{K}
K
, on a :
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
λ
f
(
u
)
+
β
f
(
v
)
f\left(\lambda u+\beta v\right)=\lambda f\left(u\right)+\beta f\left(v\right)
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
λ
f
(
u
)
+
β
f
(
v
)
L’ensemble des applications linéaires de
E
E
E
dans
F
F
F
est noté
L
(
E
,
F
)
\mathscr{L}\left(E, F\right)
L
(
E
,
F
)
.
Soient
u
=
(
x
,
y
)
u=\left(x,y\right)
u
=
(
x
,
y
)
et
v
=
(
x
′
,
y
′
)
v=\left(x',y'\right)
v
=
(
x
′
,
y
′
)
deux éléments de
R
2
{\mathbb{R}}^2
R
2
et
λ
\lambda
λ
et
β
\beta
β
deux réels.
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
f
(
λ
(
x
,
y
)
+
β
(
x
′
,
y
′
)
)
f\left(\lambda u+\beta v\right)=f\left(\lambda \left(x,y\right)+\beta \left(x',y'\right)\right)
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
f
(
λ
(
x
,
y
)
+
β
(
x
′
,
y
′
)
)
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
f
(
(
λ
x
,
λ
y
)
+
(
β
x
′
,
β
y
′
)
)
f\left(\lambda u+\beta v\right)=f\left(\left(\lambda x,\lambda y\right)+\left(\beta x',\beta y'\right)\right)
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
f
(
(
λ
x
,
λ
y
)
+
(
β
x
′
,
β
y
′
)
)
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
f
(
(
λ
x
+
β
x
′
,
λ
y
+
β
y
′
)
)
f\left(\lambda u+\beta v\right)=f\left(\left(\lambda x+\beta x',\lambda y+\beta y'\right)\right)
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
f
(
(
λ
x
+
β
x
′
,
λ
y
+
β
y
′
)
)
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
(
λ
x
+
β
x
′
−
2
(
λ
y
+
β
y
′
)
,
λ
x
+
β
x
′
+
3
(
λ
y
+
β
y
′
)
)
f\left(\lambda u+\beta v\right)=\left(\lambda x+\beta x'-2\left(\lambda y+\beta y'\right),\lambda x+\beta x'+3\left(\lambda y+\beta y'\right)\right)
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
(
λ
x
+
β
x
′
−
2
(
λ
y
+
β
y
′
)
,
λ
x
+
β
x
′
+
3
(
λ
y
+
β
y
′
)
)
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
(
λ
x
+
β
x
′
−
2
λ
y
−
2
β
y
′
,
λ
x
+
β
x
′
+
3
λ
y
+
3
β
y
′
)
f\left(\lambda u+\beta v\right)=\left(\lambda x+\beta x'-2\lambda y-2\beta y',\lambda x+\beta x'+3\lambda y+3\beta y'\right)
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
(
λ
x
+
β
x
′
−
2
λ
y
−
2
β
y
′
,
λ
x
+
β
x
′
+
3
λ
y
+
3
β
y
′
)
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
(
λ
x
−
2
λ
y
+
β
x
′
−
2
β
y
′
,
λ
x
+
3
λ
y
+
β
x
′
+
3
β
y
′
)
f\left(\lambda u+\beta v\right)=\left(\lambda x-2\lambda y+\beta x'-2\beta y',\lambda x+3\lambda y+\beta x'+3\beta y'\right)
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
(
λ
x
−
2
λ
y
+
β
x
′
−
2
β
y
′
,
λ
x
+
3
λ
y
+
β
x
′
+
3
β
y
′
)
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
(
λ
x
−
2
λ
y
,
λ
x
+
3
λ
y
)
+
(
β
x
′
−
2
β
y
′
,
β
x
′
+
3
β
y
′
)
f\left(\lambda u+\beta v\right)=\left(\lambda x-2\lambda y,\lambda x+3\lambda y\right)+\left(\beta x'-2\beta y',\beta x'+3\beta y'\right)
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
(
λ
x
−
2
λ
y
,
λ
x
+
3
λ
y
)
+
(
β
x
′
−
2
β
y
′
,
β
x
′
+
3
β
y
′
)
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
λ
(
x
−
2
y
,
x
+
3
y
)
+
β
(
x
′
−
2
y
′
,
x
′
+
3
y
′
)
f\left(\lambda u+\beta v\right)=\lambda \left(x-2y,x+3y\right)+\beta \left(x'-2y',x'+3y'\right)
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
λ
(
x
−
2
y
,
x
+
3
y
)
+
β
(
x
′
−
2
y
′
,
x
′
+
3
y
′
)
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
λ
f
(
x
,
y
)
+
β
f
(
x
′
,
y
′
)
f\left(\lambda u+\beta v\right)=\lambda f\left(x,y\right)+\beta f\left(x',y'\right)
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
λ
f
(
x
,
y
)
+
β
f
(
x
′
,
y
′
)
Ainsi :
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
λ
f
(
u
)
+
β
f
(
v
)
f\left(\lambda u+\beta v\right)=\lambda f\left(u\right)+\beta f\left(v\right)
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
λ
f
(
u
)
+
β
f
(
v
)
Question 2
Soit
f
f
f
l’application définie par
f
:
{
R
2
⟶
R
2
(
x
,
y
)
⟼
(
2
x
−
1
,
3
x
−
4
y
)
f:\left\{ \begin{array}{ccc}{\mathbb{R}}^2 & \longrightarrow & {\mathbb{R}}^2 \\ \left(x,y\right) & \longmapsto & \left(2x-1,3x-4y\right) \end{array}\right.
f
:
{
R
2
(
x
,
y
)
⟶
⟼
R
2
(
2
x
−
1
,
3
x
−
4
y
)
f
f
f
est-elle une application linéaire?
Correction
On rappelle que l’ensemble des applications linéaires de
E
E
E
dans
F
F
F
est noté
L
(
E
,
F
)
\mathscr{L}\left(E, F\right)
L
(
E
,
F
)
.
Si
f
∈
L
(
E
,
F
)
f\in \mathscr{L}\left(E, F\right)
f
∈
L
(
E
,
F
)
alors
f
(
0
E
)
=
0
F
f\left(0_E\right)=0_F
f
(
0
E
)
=
0
F
. Autrement dit, si
f
(
0
E
)
≠
0
F
f\left(0_E\right)\ne0_F
f
(
0
E
)
=
0
F
alors
f
f
f
n'est pas une application linéaire de
E
E
E
dans
F
F
F
.
Nous savons que
f
(
x
,
y
)
=
(
2
x
−
1
,
3
x
−
4
y
)
f\left(x,y\right)=\left(2x-1,3x-4y\right)
f
(
x
,
y
)
=
(
2
x
−
1
,
3
x
−
4
y
)
.
Or
f
(
0
,
0
)
=
(
−
1
,
0
)
f\left(0,0\right)=\left(-1,0\right)
f
(
0
,
0
)
=
(
−
1
,
0
)
ainsi
f
(
0
R
2
)
≠
0
R
2
f\left(0_{{\mathbb{R}}^2}\right)\ne0_{{\mathbb{R}}^2}
f
(
0
R
2
)
=
0
R
2
.
f
f
f
n'est pas une application linéaire de
R
2
{{\mathbb{R}}^2}
R
2
dans
R
2
{{\mathbb{R}}^2}
R
2
.
Question 3
Soit
f
:
R
3
⟶
R
4
f:{\mathbb{R}}^3\longrightarrow {\mathbb{R}}^4
f
:
R
3
⟶
R
4
une application linéaire telle que :
f
(
1
,
0
,
0
)
=
(
2
,
3
,
−
1
,
4
)
,
f
(
0
,
1
,
0
)
=
(
0
,
4
,
2
,
−
3
)
f\left(1,0,0\right)=\left(2,3,-1,4\right)\ ,\ f\left(0,1,0\right)=\left(0,4,2,-3\right)
f
(
1
,
0
,
0
)
=
(
2
,
3
,
−
1
,
4
)
,
f
(
0
,
1
,
0
)
=
(
0
,
4
,
2
,
−
3
)
et
f
(
0
,
0
,
1
)
=
(
1
,
4
,
0
,
2
)
f\left(0,0,1\right)=\left(1,4,0,2\right)
f
(
0
,
0
,
1
)
=
(
1
,
4
,
0
,
2
)
.
Donner l'expression
f
(
x
,
y
,
z
)
f\left(x,y,z\right)
f
(
x
,
y
,
z
)
pour tout
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3
\left(x,y,z\right)\in {\mathbb{R}}^3
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3
.
Correction
∀
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3
\forall \left(x,y,z\right)\in {\mathbb{R}}^3
∀
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3
, on a :
(
x
,
y
,
z
)
=
x
(
1
,
0
,
0
)
+
y
(
0
,
1
,
0
)
+
z
(
0
,
0
,
1
)
\left(x,y,z\right)=x\left(1,0,0\right)+y\left(0,1,0\right)+z\left(0,0,1\right)
(
x
,
y
,
z
)
=
x
(
1
,
0
,
0
)
+
y
(
0
,
1
,
0
)
+
z
(
0
,
0
,
1
)
D'après les hypothèses,
f
f
f
est une application linéaire.
Soient
E
E
E
et
F
F
F
deux
K
\mathbb{K}
K
-espaces vectoriels et
f
f
f
une application de
E
E
E
dans
F
F
F
.
L'application
f
f
f
est linéaire si et seulement si, pour tous vecteurs
u
u
u
et
v
v
v
de
E
E
E
et pour tous scalaires
λ
\lambda
λ
et
β
\beta
β
de
K
\mathbb{K}
K
, on a :
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
λ
f
(
u
)
+
β
f
(
v
)
f\left(\lambda u+\beta v\right)=\lambda f\left(u\right)+\beta f\left(v\right)
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
λ
f
(
u
)
+
β
f
(
v
)
L’ensemble des applications linéaires de
E
E
E
dans
F
F
F
est noté
L
(
E
,
F
)
\mathscr{L}\left(E, F\right)
L
(
E
,
F
)
.
Ainsi :
f
(
x
,
y
,
z
)
=
f
(
x
(
1
,
0
,
0
)
+
y
(
0
,
1
,
0
)
+
z
(
0
,
0
,
1
)
)
f\left(x,y,z\right)=f\left(x\left(1,0,0\right)+y\left(0,1,0\right)+z\left(0,0,1\right)\right)
f
(
x
,
y
,
z
)
=
f
(
x
(
1
,
0
,
0
)
+
y
(
0
,
1
,
0
)
+
z
(
0
,
0
,
1
)
)
f
(
x
,
y
,
z
)
=
x
f
(
1
,
0
,
0
)
+
y
f
(
0
,
1
,
0
)
+
z
f
(
0
,
0
,
1
)
f\left(x,y,z\right)=xf\left(1,0,0\right)+yf\left(0,1,0\right)+zf\left(0,0,1\right)
f
(
x
,
y
,
z
)
=
x
f
(
1
,
0
,
0
)
+
y
f
(
0
,
1
,
0
)
+
z
f
(
0
,
0
,
1
)
f
(
x
,
y
,
z
)
=
x
(
2
,
3
,
−
1
,
4
)
+
y
(
0
,
4
,
2
,
−
3
)
+
z
(
1
,
4
,
0
,
2
)
f\left(x,y,z\right)=x\left(2,3,-1,4\right)+y\left(0,4,2,-3\right)+z\left(1,4,0,2\right)
f
(
x
,
y
,
z
)
=
x
(
2
,
3
,
−
1
,
4
)
+
y
(
0
,
4
,
2
,
−
3
)
+
z
(
1
,
4
,
0
,
2
)
f
(
x
,
y
,
z
)
=
(
2
x
,
3
x
,
−
x
,
4
x
)
+
(
0
,
4
y
,
2
y
,
−
3
y
)
+
(
z
,
4
z
,
0
,
2
z
)
f\left(x,y,z\right)=\left(2x,3x,-x,4x\right)+\left(0,4y,2y,-3y\right)+\left(z,4z,0,2z\right)
f
(
x
,
y
,
z
)
=
(
2
x
,
3
x
,
−
x
,
4
x
)
+
(
0
,
4
y
,
2
y
,
−
3
y
)
+
(
z
,
4
z
,
0
,
2
z
)
Finalement :
f
(
x
,
y
,
z
)
=
(
2
x
+
z
,
3
x
+
4
y
+
4
z
,
−
x
+
2
y
,
4
x
−
3
y
+
2
z
)
f\left(x,y,z\right)=\left(2x+z,3x+4y+4z,-x+2y,4x-3y+2z\right)
f
(
x
,
y
,
z
)
=
(
2
x
+
z
,
3
x
+
4
y
+
4
z
,
−
x
+
2
y
,
4
x
−
3
y
+
2
z
)
Question 4
Soit
f
f
f
l’application définie par
f
:
{
M
2
(
R
)
⟶
M
2
(
R
)
M
⟼
A
M
+
2
M
A
f:\left\{ \begin{array}{ccc}{\mathscr{M}_2\left(\mathbb{R}\right)} & \longrightarrow & {\mathscr{M}_2\left(\mathbb{R}\right)} \\ M & \longmapsto & AM+2MA\end{array}\right.
f
:
{
M
2
(
R
)
M
⟶
⟼
M
2
(
R
)
A
M
+
2
M
A
où
A
=
(
−
2
3
4
1
)
A=\left(\begin{array}{cc} {-2} & {3} \\ {4} & {1} \end{array}\right)
A
=
(
−
2
4
3
1
)
Montrer que
f
f
f
est un endomorphisme de
M
2
(
R
)
\mathscr{M}_2\left(\mathbb{R}\right)
M
2
(
R
)
.
Correction
On appelle
endomorphisme
de
E
E
E
, toute application linéaire de
E
E
E
dans
E
E
E
.
Soient
E
E
E
et
F
F
F
deux
K
\mathbb{K}
K
-espaces vectoriels et
f
f
f
une application de
E
E
E
dans
F
F
F
.
L'application
f
f
f
est linéaire si et seulement si, pour tous vecteurs
u
u
u
et
v
v
v
de
E
E
E
et pour tous scalaires
λ
\lambda
λ
et
β
\beta
β
de
K
\mathbb{K}
K
, on a :
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
λ
f
(
u
)
+
β
f
(
v
)
f\left(\lambda u+\beta v\right)=\lambda f\left(u\right)+\beta f\left(v\right)
f
(
λ
u
+
β
v
)
=
λ
f
(
u
)
+
β
f
(
v
)
L’ensemble des applications linéaires de
E
E
E
dans
F
F
F
est noté
L
(
E
,
F
)
\mathscr{L}\left(E, F\right)
L
(
E
,
F
)
.
Soient
M
M
M
et
N
N
N
deux éléments de
M
2
(
R
)
\mathscr{M}_2\left(\mathbb{R}\right)
M
2
(
R
)
et
λ
\lambda
λ
et
β
\beta
β
deux réels.
f
(
λ
M
+
β
N
)
=
A
(
λ
M
+
β
N
)
+
2
(
λ
M
+
β
N
)
A
f\left(\lambda M+\beta N\right)=A\left(\lambda M+\beta N\right)+2\left(\lambda M+\beta N\right)A
f
(
λ
M
+
βN
)
=
A
(
λ
M
+
βN
)
+
2
(
λ
M
+
βN
)
A
f
(
λ
M
+
β
N
)
=
λ
A
M
+
β
A
N
+
2
λ
M
A
+
2
β
N
A
f\left(\lambda M+\beta N\right)=\lambda AM+\beta AN+2\lambda MA+2\beta NA
f
(
λ
M
+
βN
)
=
λ
A
M
+
β
A
N
+
2
λ
M
A
+
2
βN
A
f
(
λ
M
+
β
N
)
=
λ
A
M
+
2
λ
M
A
+
β
A
N
+
2
β
N
A
f\left(\lambda M+\beta N\right)=\lambda AM+2\lambda MA+\beta AN+2\beta NA
f
(
λ
M
+
βN
)
=
λ
A
M
+
2
λ
M
A
+
β
A
N
+
2
βN
A
f
(
λ
M
+
β
N
)
=
λ
(
A
M
+
2
M
A
)
+
β
(
A
N
+
2
N
A
)
f\left(\lambda M+\beta N\right)=\lambda \left(AM+2MA\right)+\beta \left(AN+2NA\right)
f
(
λ
M
+
βN
)
=
λ
(
A
M
+
2
M
A
)
+
β
(
A
N
+
2
N
A
)
Finalement :
f
(
λ
M
+
β
N
)
=
λ
f
(
M
)
+
β
f
(
N
)
f\left(\lambda M+\beta N\right)=\lambda f\left(M\right)+\beta f\left(N\right)
f
(
λ
M
+
βN
)
=
λ
f
(
M
)
+
β
f
(
N
)