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Applications linéaires - Exercice 1

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Question 1

Soit ff l’application définie par f:{R2⟶R2(x,y)⟼(x−2y,x+3y)f:\left\{ \begin{array}{ccc}{\mathbb{R}}^2 & \longrightarrow & {\mathbb{R}}^2 \\ \left(x,y\right) & \longmapsto & \left(x-2y,x+3y\right) \end{array}\right.
Montrer que ff est une application linéaire.

Correction
    Soient EE et FF deux K\mathbb{K}-espaces vectoriels et ff une application de EE dans FF.
    L'application ff est linéaire si et seulement si, pour tous vecteurs uu et vv de EE et pour tous scalaires λ\lambda et β\beta de K\mathbb{K}, on a :
    f(λu+βv)=λf(u)+βf(v)f\left(\lambda u+\beta v\right)=\lambda f\left(u\right)+\beta f\left(v\right)
L’ensemble des applications linéaires de EE dans FF est noté L(E,F)\mathscr{L}\left(E, F\right).
Soient u=(x,y)u=\left(x,y\right) et v=(x′,y′)v=\left(x',y'\right) deux éléments de R2{\mathbb{R}}^2 et λ\lambda et β\beta deux réels.
f(λu+βv)=f(λ(x,y)+β(x′,y′))f\left(\lambda u+\beta v\right)=f\left(\lambda \left(x,y\right)+\beta \left(x',y'\right)\right)
f(λu+βv)=f((λx,λy)+(βx′,βy′))f\left(\lambda u+\beta v\right)=f\left(\left(\lambda x,\lambda y\right)+\left(\beta x',\beta y'\right)\right)
f(λu+βv)=f((λx+βx′,λy+βy′))f\left(\lambda u+\beta v\right)=f\left(\left(\lambda x+\beta x',\lambda y+\beta y'\right)\right)
f(λu+βv)=(λx+βx′−2(λy+βy′),λx+βx′+3(λy+βy′))f\left(\lambda u+\beta v\right)=\left(\lambda x+\beta x'-2\left(\lambda y+\beta y'\right),\lambda x+\beta x'+3\left(\lambda y+\beta y'\right)\right)
f(λu+βv)=(λx+βx′−2λy−2βy′,λx+βx′+3λy+3βy′)f\left(\lambda u+\beta v\right)=\left(\lambda x+\beta x'-2\lambda y-2\beta y',\lambda x+\beta x'+3\lambda y+3\beta y'\right)
f(λu+βv)=(λx−2λy+βx′−2βy′,λx+3λy+βx′+3βy′)f\left(\lambda u+\beta v\right)=\left(\lambda x-2\lambda y+\beta x'-2\beta y',\lambda x+3\lambda y+\beta x'+3\beta y'\right)
f(λu+βv)=(λx−2λy,λx+3λy)+(βx′−2βy′,βx′+3βy′)f\left(\lambda u+\beta v\right)=\left(\lambda x-2\lambda y,\lambda x+3\lambda y\right)+\left(\beta x'-2\beta y',\beta x'+3\beta y'\right)
f(λu+βv)=λ(x−2y,x+3y)+β(x′−2y′,x′+3y′)f\left(\lambda u+\beta v\right)=\lambda \left(x-2y,x+3y\right)+\beta \left(x'-2y',x'+3y'\right)
f(λu+βv)=λf(x,y)+βf(x′,y′)f\left(\lambda u+\beta v\right)=\lambda f\left(x,y\right)+\beta f\left(x',y'\right)
Ainsi :
f(λu+βv)=λf(u)+βf(v)f\left(\lambda u+\beta v\right)=\lambda f\left(u\right)+\beta f\left(v\right)

Question 2

Soit ff l’application définie par f:{R2⟶R2(x,y)⟼(2x−1,3x−4y)f:\left\{ \begin{array}{ccc}{\mathbb{R}}^2 & \longrightarrow & {\mathbb{R}}^2 \\ \left(x,y\right) & \longmapsto & \left(2x-1,3x-4y\right) \end{array}\right.
ff est-elle une application linéaire?

Correction
  • On rappelle que l’ensemble des applications linéaires de EE dans FF est noté L(E,F)\mathscr{L}\left(E, F\right).
    Si f∈L(E,F)f\in \mathscr{L}\left(E, F\right) alors f(0E)=0Ff\left(0_E\right)=0_F . Autrement dit, si f(0E)≠0Ff\left(0_E\right)\ne0_F alors ff n'est pas une application linéaire de EE dans FF.
Nous savons que f(x,y)=(2x−1,3x−4y)f\left(x,y\right)=\left(2x-1,3x-4y\right) .
Or f(0,0)=(−1,0)f\left(0,0\right)=\left(-1,0\right) ainsi f(0R2)≠0R2f\left(0_{{\mathbb{R}}^2}\right)\ne0_{{\mathbb{R}}^2} .
ff n'est pas une application linéaire de R2{{\mathbb{R}}^2} dans R2{{\mathbb{R}}^2}.
Question 3

Soit f:R3⟶R4f:{\mathbb{R}}^3\longrightarrow {\mathbb{R}}^4 une application linéaire telle que : f(1,0,0)=(2,3,−1,4) , f(0,1,0)=(0,4,2,−3)f\left(1,0,0\right)=\left(2,3,-1,4\right)\ ,\ f\left(0,1,0\right)=\left(0,4,2,-3\right) et f(0,0,1)=(1,4,0,2)f\left(0,0,1\right)=\left(1,4,0,2\right) .
Donner l'expression f(x,y,z)f\left(x,y,z\right) pour tout (x,y,z)∈R3\left(x,y,z\right)\in {\mathbb{R}}^3 .

Correction
∀(x,y,z)∈R3\forall \left(x,y,z\right)\in {\mathbb{R}}^3, on a : (x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)\left(x,y,z\right)=x\left(1,0,0\right)+y\left(0,1,0\right)+z\left(0,0,1\right)
D'après les hypothèses, ff est une application linéaire.
    Soient EE et FF deux K\mathbb{K}-espaces vectoriels et ff une application de EE dans FF.
    L'application ff est linéaire si et seulement si, pour tous vecteurs uu et vv de EE et pour tous scalaires λ\lambda et β\beta de K\mathbb{K}, on a :
    f(λu+βv)=λf(u)+βf(v)f\left(\lambda u+\beta v\right)=\lambda f\left(u\right)+\beta f\left(v\right)
L’ensemble des applications linéaires de EE dans FF est noté L(E,F)\mathscr{L}\left(E, F\right).
Ainsi :
f(x,y,z)=f(x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1))f\left(x,y,z\right)=f\left(x\left(1,0,0\right)+y\left(0,1,0\right)+z\left(0,0,1\right)\right)
f(x,y,z)=xf(1,0,0)+yf(0,1,0)+zf(0,0,1)f\left(x,y,z\right)=xf\left(1,0,0\right)+yf\left(0,1,0\right)+zf\left(0,0,1\right)
f(x,y,z)=x(2,3,−1,4)+y(0,4,2,−3)+z(1,4,0,2)f\left(x,y,z\right)=x\left(2,3,-1,4\right)+y\left(0,4,2,-3\right)+z\left(1,4,0,2\right)
f(x,y,z)=(2x,3x,−x,4x)+(0,4y,2y,−3y)+(z,4z,0,2z)f\left(x,y,z\right)=\left(2x,3x,-x,4x\right)+\left(0,4y,2y,-3y\right)+\left(z,4z,0,2z\right)
Finalement :
f(x,y,z)=(2x+z,3x+4y+4z,−x+2y,4x−3y+2z)f\left(x,y,z\right)=\left(2x+z,3x+4y+4z,-x+2y,4x-3y+2z\right)

Question 4

Soit ff l’application définie par f:{M2(R)⟶M2(R)M⟼AM+2MAf:\left\{ \begin{array}{ccc}{\mathscr{M}_2\left(\mathbb{R}\right)} & \longrightarrow & {\mathscr{M}_2\left(\mathbb{R}\right)} \\ M & \longmapsto & AM+2MA\end{array}\right. où A=(−2341)A=\left(\begin{array}{cc} {-2} & {3} \\ {4} & {1} \end{array}\right)
Montrer que ff est un endomorphisme de M2(R)\mathscr{M}_2\left(\mathbb{R}\right) .

Correction
  • On appelle endomorphisme de EE, toute application linéaire de EE dans EE .
    Soient EE et FF deux K\mathbb{K}-espaces vectoriels et ff une application de EE dans FF.
    L'application ff est linéaire si et seulement si, pour tous vecteurs uu et vv de EE et pour tous scalaires λ\lambda et β\beta de K\mathbb{K}, on a :
    f(λu+βv)=λf(u)+βf(v)f\left(\lambda u+\beta v\right)=\lambda f\left(u\right)+\beta f\left(v\right)
L’ensemble des applications linéaires de EE dans FF est noté L(E,F)\mathscr{L}\left(E, F\right).
Soient MM et NN deux éléments de M2(R)\mathscr{M}_2\left(\mathbb{R}\right) et λ\lambda et β\beta deux réels.
f(λM+βN)=A(λM+βN)+2(λM+βN)Af\left(\lambda M+\beta N\right)=A\left(\lambda M+\beta N\right)+2\left(\lambda M+\beta N\right)A
f(λM+βN)=λAM+βAN+2λMA+2βNAf\left(\lambda M+\beta N\right)=\lambda AM+\beta AN+2\lambda MA+2\beta NA
f(λM+βN)=λAM+2λMA+βAN+2βNAf\left(\lambda M+\beta N\right)=\lambda AM+2\lambda MA+\beta AN+2\beta NA
f(λM+βN)=λ(AM+2MA)+β(AN+2NA)f\left(\lambda M+\beta N\right)=\lambda \left(AM+2MA\right)+\beta \left(AN+2NA\right)
Finalement :
f(λM+βN)=λf(M)+βf(N)f\left(\lambda M+\beta N\right)=\lambda f\left(M\right)+\beta f\left(N\right)

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