Une situation classique de Physique (2) - Exercice 1

La solution générale $$f$$ de cette EDO est en fait la solution homogène car le second membre est nul. On a alors l'équation caractéristique suivante :
$$r^2 + \omega_0^2 = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, r^2 = -\omega_0^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, r^2 = i^2 \, \omega_0^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, r^2 = (i \, \omega_0)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, r = {\color{red}{0}} \pm i \, \omega_0$$
Soit $$A$$ et $$B$$ deux nombres réels. La solution est alors donnée par l'expression suivante :
$$f(x) = e^{{\color{red}{0}}x}\left( A \cos(\omega_0 x) + B \sin(\omega_0 x) \right)$$
Soit :
$${\color{blue}{\boxed{f(x) = A \cos(\omega_0 x) + B \sin(\omega_0 x)}}}$$

La première condition initiale est $$f(x=0) = f_0$$. Ce qui nous donne :
$$f(x=0) = f_0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, A \cos(0) + B \sin(0) = f_0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, A + B\times 0 = f_0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, A = f_0$$
Donc :
$$f(x) = f_0 \cos(\omega_0 x) + B \sin(\omega_0 x)$$
Puis, la seconde condition initiale est $$\dfrac{d \, f}{dx}(x = 0) = 0$$. On a alors :
$$\dfrac{d \, f}{dx}(x) = - f_0 \omega_0 \sin(\omega_0 x) + B\omega_0 \cos(\omega_0 x)$$
Ce qui nous donne, avec $$x=0$$ :
$$\dfrac{d \, f}{dx}(x=0) = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, - f_0 \omega_0 \sin(0) + B\omega_0 \cos(0) = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, B\omega_0 = 0$$
Comme $$\omega_0 \neq 0$$, on en déduit que :
$$B = 0$$
Finalement, on trouve que :
$${\color{red}{\boxed{f(x) = f_0 \cos\left(\omega_0 x\right)}}}$$