Une situation classique de Physique (1) - Exercice 1

La solution générale $$f$$ de cette EDO est en fait la solution homogène car le second membre est nul. On a alors l'équation caractéristique suivante :
$$r^2 - \omega_0^2 = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, r^2 = \omega_0^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, r = \pm \omega_0$$
Soit $$A$$ et $$B$$ deux nombres réels. La solution est alors donnée par l'expression suivante :
$${\color{blue}{\boxed{f(x) = A e^{\omega_0 x} + B e^{-\omega_0 x}}}}$$

On a la première condition initiale $$f(x=0) = f_0$$. Donc :
$$A + B = f_0$$
Puis, on a :
$$\dfrac{d \, f}{dx}(x) = A\omega_0 e^{\omega_0 x} - B\omega_0 e^{-\omega_0 x}$$
Donc, pour $$x=0$$, on a :
$$\dfrac{d \, f}{dx}(x=0) = A\omega_0 - B\omega_0 = \omega_0 (A-B)$$
La seconde condition initiale est $$\dfrac{d \, f}{dx}(x = 0) = 0$$. Ainsi :
$$\dfrac{d \, f}{dx}(x=0) = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \omega_0 (A-B) = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, A=B$$
On en déduit alors que :
$$A + A = f_0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 2A = f_0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, A = \dfrac{f_0}{2}$$
On obtient alors :
$$f(x) = \dfrac{f_0}{2} e^{\omega_0 x} + \dfrac{f_0}{2} e^{-\omega_0 x} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, f(x) = f_0\dfrac{e^{\omega_0 x} + e^{-\omega_0 x}}{2}$$
Finalement, on trouve que :
$${\color{red}{\boxed{f(x) = f_0 \cosh\left(\omega_0 x\right)}}}$$