Equations différentielles

Régime permanent d'un système vibratoire - Exercice 1

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Lorsqu'un système physique rentre en vibration, il y a souvent deux régimes de fonctionnement différents. Il y a en premier lieu le régime qualifié de transitoire{\color{blue}{\text{transitoire}}} (qui ne dure que très peu de temps) et le régime dit permanent{\color{red}{\text{permanent}}} (ou établi). La détermination de ce dernier peut s'effectuer par l'intermédiaire des nombres complexes. La solution générale est, le plus souvent, l'addition des deux solutions de ces deux régimes de fonctionnements différents.
Question 1
On va considérer une approche mécanique, car très visuelle et pragmatique, du modèle.
Dans le référentiel terrestre, considéré comme galiléen, on envisage une masse mm, constante, qui oscille, horizontalement dans la direction e⃗x\vec{e}_x, sous l'action de trois forces :
∙  {\color{blue}{\bullet \,\,}} une force de rappel à la configuration d'équilibre F⃗r=− k x(t) e⃗x\vec{F}_r = - \, k \, x(t) \, \vec{e}_x ou le nombre réel strictement positif kk représente la raideur du rappel.
∙  {\color{blue}{\bullet \,\,}} une force de frottement de type visqueux, donc purement dissipative, et de formulation mathématique F⃗f=− f d x(t)dt e⃗x\vec{F}_f = - \, f \, \dfrac{d \, x(t)}{dt} \, \vec{e}_x ou le nombre réel strictement positif ff caractérise le frottement lors des oscillations de la masse. C'est l'élément BB sur la figure suivante.
∙  {\color{blue}{\bullet \,\,}} une force d'excitation extérieure sinusoïdale, de pulsation ω\omega, de la forme F⃗=Fcos⁡(ω t) e⃗x\vec{F} = F \cos(\omega \, t) \, \vec{e}_x. Le nombre réel FF est strictement positif. Cette force change de sens périodiquement, et la période des oscillations apparentes est T=2πωT = \dfrac{2\pi}{\omega}. Cette période d'oscillation est considérée comme étant beaucoup plus petite que la période de rotation de la Terre sur elle même.
Ceci est représenté par la figure suivante :

L'application de la deuxième loi de d′Isaac  Newton(1642−1727)d'Isaac \,\, Newton (1642-1727), à la masse mm, permet d'obtenir la l'équation suivante :
m d2 xdt2(t)+f d xdt(t)+k x(t)=Fcos⁡(ω t)m \, \dfrac{d^2 \, x}{dt^2}(t) + f \, \dfrac{d \, x}{dt}(t) + k \, x(t) = F \cos(\omega \, t)
La force d'excitation périodique extérieure va imposer une solution de la forme, également, sinusoïdale. Cependant, la présence d'un frottement dissipatif dans le modèle, entraine une réponse deˊcaleˊe  temporellement{décalée \,\, temporellement} par rapport à l'excitation extérieure. Mathématiquement, ce deˊcalage{décalage} physique, va se traduire par une différence de phase, un deˊphasage{\color{red}{\text{un déphasage}}}, noté φ{\color{red}{\varphi}}. Ainsi, la solution en régime permanent sera donc de la forme mathématique :
x(t)=A cos⁡(ω t+φ)x(t) = A \, \cos(\omega \, t + {\color{red}{\varphi}})
Le terme A∈RA \in \mathbb{R} s'appelle l'amplitude et à les mêmes unités que xx.

Le physicien recherche une solution permanente{\color{red}{\text{permanente}}} de la forme x(t)=A cos⁡(ω t+φ)x(t) = A \, \cos(\omega \, t + \varphi).
On pose i2=−1i^2=-1, et de fait i∈Ci\in \mathbb{C}. On va donc associer le nombre complexe zxz_x suivant :
zx=A ei (ω t+φ)z_x = A \, e^{i \, \left( \omega\, t + \varphi \right) }
Soit encore :
zx=Ax ei ω t      avec  :  Ax=A ei φz_x = \mathcal{A}_x \, e^{i \, \omega\, t} \,\,\,\,\,\, \text{avec \, :} \,\, \mathcal{A}_x = A \, e^{i\, \varphi}
Ce qui implique que :
d zxdt=i ω zx=i ω Ax ei ω t            et            d2 zxdt2=− ω2 zx=− ω2 Ax ei ω t\dfrac{d \, z_x}{dt} = i \, \omega \, z_x = {i \, \omega \, \mathcal{A}_x} \, e^{i \, \omega\, t} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{et} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \dfrac{d^2 \, z_x}{dt^2} = - \, \omega^2 \, z_x = - \, \omega^2 \, \mathcal{A}_x \, e^{i \, \omega \, t}
De plus, on note :
zF=F ei ω t            ⟹            Fcos⁡(ω t)=ℜeˊ(zF)z_F = F \, e^{i \, \omega\, t} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, F \cos(\omega \, t) = {\color{red}{\Re\mathrm{\acute{e}}\left({\color{black}{z_F}}\right)}}
Ainsi, l'écriture complexe de l'équation modèle est :
m d2 zxdt2+f d zxdt+k zx=zFm \, \dfrac{d^2 \, z_x}{dt^2} + f \, \dfrac{d \, z_x}{dt} + k \,z_x = z_F
En s'imposant les deux conditions d'origines physiques k−m ω2>0k - m \, \omega^2 > 0 et que f ω>0f \, \omega > 0, déterminer l'expression de la solution permanente x(t)x(t) associée à cette situation.

Correction
On a :
− m ω2 Ax ei ω t+f i ω Ax ei ω t+k Ax ei ω t=F ei ω t- \, m \, \omega^2 \, \mathcal{A}_x \, e^{i \, \omega\, t} + f \,i \, \omega \, \mathcal{A}_x \, e^{i \, \omega\, t} + k \,\mathcal{A}_x \, e^{i \, \omega\, t} = F \, e^{i \, \omega\, t}
En simplifiant par le terme ei ω te^{i \, \omega\, t} on obtient :
− m ω2 Ax+f i ω Ax+k Ax=F- \, m \, \omega^2 \, \mathcal{A}_x + f \, i \, \omega \, \mathcal{A}_x + k \, \mathcal{A}_x = F
En factorisant par Ax\mathcal{A}_x, on trouve que :
(− m ω2+f i ω+k) Ax=F\left( - \, m \, \omega^2 + f \, i \, \omega + k \right) \, \mathcal{A}_x = F
Soit :
Ax=Fk−m ω2+i f ω            ⟺            A ei φ=Fk−m ω2+i f ω\mathcal{A}_x = \dfrac{F}{k - m \, \omega^2 + i \, f \, \omega } \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, A \, e^{i \, \varphi} = \dfrac{F}{k - m \, \omega^2 + i \, f \, \omega }
Comme F>0F > 0, on a ∣ F ∣=F| \, F \, | = F et arg⁡(F)=0\arg(F) = 0. D'où :
{A=F∣k−m ω2+i f ω∣φ=−arg⁡(k−m ω2+i f ω)      ⟺      {A=F(k−m ω2)2+(f ω)2φ=−arg⁡(k−m ω2+i f ω)\left\lbrace \begin{array}{rcl} A & = & \dfrac{F}{\left|k - m \, \omega^2 + i \, f \, \omega \right|} \\ & & \\ \varphi & = & - \arg(k - m \, \omega^2 + i \, f \, \omega) \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} A & = & \dfrac{F}{\sqrt{(k - m \, \omega^2)^2 + (f \, \omega)^2} } \\ & & \\ \varphi & = & - \arg(k - m \, \omega^2 + i \, f \, \omega ) \\ \end{array} \right.
Posons ϕ=arg⁡(k−m ω2+i f ω)\phi = \arg(k - m \, \omega^2 + i \, f \, \omega), et déterminons son expression. En s'imposant la condition k−m ω2>0k - m \, \omega^2 > 0 et que f ω>0f \, \omega > 0, on en déduit que :
tan⁡(ϕ)=f ωk−m ω2        ⟹        ϕ=arctan⁡(f ωk−m ω2)\tan(\phi) = \dfrac{f \, \omega}{k - m \, \omega^2} \,\,\,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\, \phi = \arctan\left( \dfrac{f \, \omega}{k - m \, \omega^2} \right)
Et de fait, on a :
φ=− arctan⁡(f ωk−m ω2)\varphi = - \, \arctan\left( \dfrac{f \, \omega}{k - m \, \omega^2} \right)
Ceci nous permet d'obtenir :
{A=Ff2 ω2+(k−m ω2)2φ=− arctan⁡(f ωk−m ω2)     ⟹     zx=Ff2 ω2+(k−m ω2)2 ei (ω t− arctan⁡(f ωk−m ω2))\left\lbrace \begin{array}{rcl} A & = & \dfrac{F}{\sqrt{f^2 \, \omega^2 + \left( k - m \, \omega^2 \right)^2 }} \\ & & \\ \varphi & = & - \,\arctan\left( \dfrac{f \, \omega}{k - m \, \omega^2} \right) \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, z_x = \dfrac{F}{\sqrt{f^2 \, \omega^2 + \left( k - m \, \omega^2 \right)^2 }} \, e^{i \, \left( \omega \, t - \, \arctan\left( \frac{f \, \omega}{k - m \, \omega^2} \right) \right)}
Comme x(t)=ℜeˊ(zx)x(t) = {\color{red}{\Re\mathrm{\acute{e}}\left({\color{black}{z_x}}\right)}}, on en déduit finalement que :
Ff2 ω2+(k−m ω2)2 cos⁡(ω t− arctan⁡(f ωk−m ω2)){\color{red}{\boxed{\dfrac{F}{\sqrt{f^2 \, \omega^2 + \left( k - m \, \omega^2 \right)^2 }} \, \cos \left( \omega \, t - \, \arctan \left( \dfrac{f \, \omega }{k - m \, \omega^2 } \right) \right) }}}