Equations différentielles

Physique Nucléaire & Datation - Exercice 1

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Le carbone 1414 est un isotope présent dans tout organisme vivant. Le nombre d'atomes de carbone 1414 est constant tant que l'organisme est en vie.
Question 1
À la mort de l'organisme, le nombre d'atomes décroît avec une vitesse proportionnelle au nombre d'atomes. On note N(t)>0N(t) > 0 le nombre d'atomes au temps tt, exprimé en années, après la mort de l'organisme.
Ce mécanisme se traduit par l'équation
d Ndt(t)=−λN(t)\dfrac{d \, N}{dt}(t) = - \lambda N(t)
où λ\lambda est une constante réelle positive appelée constante radioactive{\color{blue}{\textit{constante radioactive}}}.

Trouver toutes les solutions de l'EDO.

Correction
On a :
d Ndt(t)=−λN(t)    ⟺    d Ndt(t)+λN(t)=0\dfrac{d \, N}{dt}(t) = - \lambda N(t) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{d \, N}{dt}(t) + \lambda N(t) = 0
Il s'agit d'une équation différentielle homogène, donc :
N(t)=Ke−λt     (K∈R)N(t) = K e^{-\lambda t} \,\,\,\,\, (K \in \mathbb{R})
Notons par N0>0N_0 > 0 le nombre d'atomes de carbone 14 à l'instant de la mort, donc à t=0t=0. On a alors :
N0=Ke−λ0    ⟺    N0=K×1    ⟺    N0=KN_0 = K e^{-\lambda 0} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, N_0 = K \times 1 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, N_0 = K
Finalement :
N(t)=N0 e−λt{\color{red}{\boxed{N(t) = N_0 \, e^{-\lambda t}}}}
Question 2

Sachant qu'il faut 57005700 ans pour que la quantité de carbone 14 diminue de moitié dans un organisme mort, calculer λ\lambda.

Correction
On qu'il faut 57005700 ans pour que la quantité de carbone 14 diminue de moitié dans un organisme mort. On a alors :
N02=N0e−λ5700    ⟺    12=e−5700λ    ⟺    ln⁡(12)=−5700λ\dfrac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda 5700} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{1}{2} = e^{- 5700 \lambda} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \ln \left( \dfrac{1}{2} \right) = - 5700 \lambda
Soit :
ln⁡(12)=−5700λ    ⟺    −ln⁡(2)=−5700λ    ⟺    ln⁡(2)=5700λ\ln \left( \dfrac{1}{2} \right) = - 5700 \lambda \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, - \ln (2) = - 5700 \lambda \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \ln (2) = 5700 \lambda
Donc :
λ=ln⁡(2)5700≃1,216.10−4  an−1\lambda = \dfrac{\ln (2)}{5700} \simeq 1,216.10^{-4} \,\, an^{-1}
Donc on obtient la loi suivante :
N(t)=N0 e−ln⁡(2)5700t{\color{red}{\boxed{N(t) = N_0 \, e^{- \frac{\ln(2)}{5700} t} }}}
Question 3

Des ossements anciens récemment exhumés contiennent neuf fois moins de carbone 1414 que des ossements similaires d'aujourd'hui. Déterminer l'âge des ossements exhumés.

Correction
On a :
N09=N0 e−ln⁡(2)5700t    ⟺    19=e−ln⁡(2)5700t    ⟺    ln⁡(19)=−ln⁡(2)5700t\dfrac{N_0}{9} = N_0 \, e^{- \frac{\ln(2)}{5700} t} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{1}{9} = e^{- \frac{\ln(2)}{5700} t} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \ln \left( \dfrac{1}{9} \right) = - \frac{\ln(2)}{5700} t
Soit :
−ln⁡(9)=−ln⁡(2)5700t    ⟺    ln⁡(9)=ln⁡(2)5700t- \ln(9) = - \frac{\ln(2)}{5700} t \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \ln(9) = \frac{\ln(2)}{5700} t
D'où :
t=ln⁡(9)ln⁡(2)×5700t = \dfrac{\ln(9)}{\ln(2)} \times 5700
Ce qui nous donne environ :
t≃18069  ans{\color{red}{\boxed{t \simeq 18069 \,\, ans}}}