On monte en ordre ! - Exercice 1

Appliquons, au polynôme $$P$$, la méthode de la racine évidente. On constate que $$P(r = -1) = 0$$. En effet :
$$P(r = -1) = (-1)^3 + 6 \times (-1)^2 + 11 \times -1 + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 12 - 12 = 0$$
Donc, avec $$(a\,;\, b \,;\, c) \in \mathbb{R}^3$$, on en déduit que :
$$P(r) = (r-(-1)) \times (ar^2 + br + c) = (r+1) \times (ar^2 + br + c) = ar^3 + br^2 + cr + ar^2 + br + c$$
Soit encore :
$$P(r) = ar^3 + (b+a)r^2 + (c+b)r + c$$
Donc :
$$r^3 + 6r^2 + 11r + 6 = ar^3 + (b+a)r^2 + (c+b)r + c$$
Par identification, on en déduit immédiatement que $$a=1$$ et $$c=6$$. Ainsi $$b+a = 6$$, d'où $$b = 6-a$$, donc $$b = 6-1 = 5$$. On vérifie bien que $$c + b = 6 + 5 = 11$$. Ainsi, on peut écrire que :
$$P(r) = (r-1) \times (r^2 + 5r + 6)$$
Puis, concernant le polynôme du second degré $$r^2 + 5r + 6$$, sont discriminant est $$\Delta = (5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1 > 0$$. Ainsi, les racines de $$r^2 + 5r + 6$$ sont :
$$r_1 = \dfrac{-5 + \sqrt{1}}{2} = -2 \,\,\,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\,\,\, r_2 = \dfrac{-5 - \sqrt{1}}{2} = -3$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$P(r) = (r-(-1)) \, (r-(-2)) \, (r-(-3))$$
Ainsi, on en déduit finalement que :
$${\color{red}{\boxed{P(r) = (r+1) \, (r+2) \, (r+3)}}}$$

L'équation différentielle $$(E)$$ est homogène, et l'équation caractéristique associée est :
$$r^3 + 6r^2 + 11r + 6 = 0$$
A savoir :
$$P(r) = 0$$
Donc :
$$(r+1) \, (r+2) \, (r+3) = 0$$
Ce qui nous donne, puisqu'un produit de facteurs est nul si l'un de ses facteurs est nul :
$$r = \{ {\color{blue}{-3}} \,;\, {\color{green}{-2}} \,;\, {\color{black}{-1}}\}$$
Ceci nous permet de conclure que la solution générale de l'équation $$(E)$$, est donnée par l'expression :
$${\color{red}{\boxed{y(x) = A \, e^{{\color{blue}{-3}}x} + B \, e^{{\color{green}{-2}}x} +A \, e^{{\color{black}{-1}}x} }}}$$

On a :
$$y(x) = z(x) \, e^{-x} \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, y'(x) = e^{-x} \left( z'(x) - z(x) \right) \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, y''(x) = e^{-x} \left( z''(x) - 2z'(x) + z(x) \right)$$
Et ce qui implique également que :
$$y'''(x) = e^{-x} \left( z'''(x) - 3z''(x) + 3z'(x) - z(x) \right)$$
Ainsi, l'équation $$(E)$$ devient :
$$e^{-x} \left( z'''(x) - 3z''(x) + 3z'(x) - z(x) \right) + 6e^{-x} \left( z''(x) - 2z'(x) + z(x) \right) + 11e^{-x} \left( z'(x) - z(x) \right) + 6z(x) \, e^{-x} = 0$$
Comme pour tout $$x$$ réel $$e^{-x} \neq 0$$, on en déduit que :
$$z'''(x) - 3z''(x) + 3z'(x) - z(x) + 6\left( z''(x) - 2z'(x) + z(x) \right) + 11 \left( z'(x) - z(x) \right) + 6z(x) = 0$$
Soit encore :
$$z'''(x) - 3z''(x) + 3z'(x) - z(x) + 6z''(x) - 12z'(x) + 6z(x) + 11z'(x) - 11 z(x) + 6z(x) = 0$$
En simplifiant :
$$z'''(x) + 3z''(x) + 2z'(x) = 0$$
Posons maintenant $$Z = z'$$, donc $$Z' = z''$$ et $$Z'' = z'''$$. Ainsi, on obtient l'équation différentielle suivante :
$$Z''(x) + 3Z'(x) + 2Z = 0$$
On constate qu'il s'agit d'une équation différentielle linéaire, à coefficient constant et sans second membre (homogène). L'équation caractéristique associée est alors :
$$R^2 + 3R + 2 = 0$$
Les discriminant associée est $$3^2 - 4 \times 1 \times 2 = 9-8 = 1 > 0$$. On en déduit les deux solutions réelles de cette équation caractéristique, à savoir :
$$R_1 = \dfrac{-3 + \sqrt{1}}{2} = -1 \,\,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\,\, R_2 = \dfrac{-3 - \sqrt{1}}{2} = -2$$
On a alors, avec $$(a\,;\,b) \in \mathbb{R}^2$$, la solution $$Z$$ qui s'écrit comme :
$$Z(x) = a \, e^{-x} + b \, e^{-2x}$$
Soit encore :
$$z'(x) = a \, e^{-x} + b \, e^{-2x} \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, z(x) = -a \, e^{-x} - \dfrac{b}{2} \, e^{-2x} + K \,\,\, (K \in \mathbb{R})$$
Or, le sujet nous impose $$y(x) = z(x) \, e^{-x}$$. Ainsi, on a :
$$z(x) \, e^{-x} = -a \, e^{-x}\, e^{-x} - \dfrac{b}{2} \, e^{-2x}\, e^{-x} + K \, e^{-x}$$
Ce qui nous donne :
$$y(x) = -a \, e^{-2x} - \dfrac{b}{2} \, e^{-3x} + K \, e^{-x}$$
Il suffit alors de poser $$A = - \dfrac{b}{2} \in \mathbb{R}$$, $$B = -a \in \mathbb{R}$$ et $$C = K \in \mathbb{R}$$, et on obtient à nouveau :
$${\color{red}{\boxed{y(x) = A \, e^{-3x} + B \, e^{-2x} +A \, e^{-x} }}}$$