Les équations différentielles linéaires du 2ème ordre à coefficients constants avec un second membre de la forme $$t\mapsto A\left(t\right)\cos\left(wt\right)+B\left(t\right)\sin\left(wt\right)$$ - Exercice 1

Etape 1 : Résolution de l'équation homogène
On note $$\left(E_0\right) :y''+y'+y=0$$
Nous allons commencer par donner l'équation caractéristique de $$\left(E_0\right)$$ .
On a donc : $$r^2+r+1=0$$. On obtient : $$\Delta<0$$ ; $${\lambda }_1=-\frac{1}{2}+\text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$$ et $${\lambda }_2=-\frac{1}{2}-\text{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$$.
L'ensemble des solutions réelles de $$\left(E_0\right)$$ est l'ensemble des fonctions de la forme :
où $$C_1$$ et $$C_2$$ sont des constantes réelles quelconques.
Etape 2 : Recherche d'une solution particulière
Le second membre est de la forme $$\mapsto P\left(t\right)\cos\left(\omega t\right)+ Q\left(t\right)\sin\left(\omega t\right)$$ avec $$P\left(t\right)=-2$$ et $$Q\left(t\right)=4$$
Or $$\deg\left(P\right)=\deg\left(Q\right)=0$$ et $$\omega=3$$
On vérifie facilement que :

la fonction $$t\mapsto\cos\left(3t\right)$$ n'est pas solution de $$\left(E_0\right)$$

la fonction $$t\mapsto\sin\left(3t\right)$$ n'est pas solution de $$\left(E_0\right)$$

On cherche alors une solution particulière de la forme :
$$y_1\left(t\right)=\alpha\left(t\right)\cos\left(3 t\right)+ \alpha\left(t\right)\sin\left(3 t\right)$$ où $$\alpha$$ et $$\beta$$ sont des fonctions de degré $$\text{Max}\left(\deg\left(P\right),\deg\left(Q\right)\right)$$ ainsi $$\deg\left(\alpha\right)=\deg\left(\beta\right)=0$$
Il en résulte donc que :
$$y_1\left(t\right)=a\cos\left(3 t\right)+ b\sin\left(3 t\right)$$ où $$\left(a,b\right)\in \mathbb{R}^{2}$$
Ainsi :
$$y'_1\left(t\right)=-3a\sin\left(3 t\right)+ 3b\cos\left(3 t\right)$$ et $$y''_1\left(t\right)=-9a\cos\left(3 t\right)-9b\sin\left(3 t\right)$$
On peut donc écrire que :
$$y''_1\left(t\right)+y'_1\left(t\right)+y_1\left(t\right)=-9a\cos\left(3 t\right)-9b\sin\left(3 t\right)-3a\sin\left(3 t\right)+ 3b\cos\left(3 t\right)+a\cos\left(3 t\right)+ b\sin\left(3 t\right)$$
$$y''_1\left(t\right)+y'_1\left(t\right)+y_1\left(t\right)=\left(-9a+a+3b\right)\cos\left(3 t\right)+\left(-9b-3a+b\right)\sin\left(3 t\right)$$
$$y''_1\left(t\right)+y'_1\left(t\right)+y_1\left(t\right)=\left(-8a+3b\right)\cos\left(3 t\right)+\left(-3a-8b\right)\sin\left(3 t\right)$$
Or nous savons que : $$y''_1\left(t\right)+y'_1\left(t\right)+y_1\left(t\right)=\red{-2}\cos\left(3t\right)+{\color{blue}{4}}\sin\left(3t\right)$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-8a+3b} & {=} & {{\color{red}-2}} \\ {-3a-8b} & {=} & {{\color{blue}{4}}} \end{array}\right.$$
Pour tout réel $$t$$, par identification, on a :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {=} & {\frac{4}{73}} \\ {b} & {=} & {-\frac{38}{73}} \end{array}\right.$$
Ainsi : $$y_1\left(t\right)=\frac{4}{73}\cos\left(3 t\right)-\frac{38}{73}\sin\left(3 t\right)$$
Etape 3 : Donner les solutions générales de l'équation différentielle
Les solutions générales de $$\left(E\right)$$ sont les fonctions de la forme :
$$y\left(t\right)=y_0\left(t\right)+y_1\left(t\right)$$
Finalement : où $$C_1$$ et $$C_2$$ sont des constantes réelles quelconques.

Etape 1 : Résolution de l'équation homogène
On note $$\left(E_0\right) :y''+2y'-3y=0$$
Nous allons commencer par donner l'équation caractéristique de $$\left(E_0\right)$$ .
On obtient : $$\Delta>0$$ ; $$r_1=1$$ et $$r_2=-3$$.
L'ensemble des solutions réelles de $$\left(E_0\right)$$ est l'ensemble des fonctions de la forme :
où $$C_1$$ et $$C_2$$ sont des constantes réelles quelconques.
Etape 2 : Recherche d'une solution particulière
Le second membre est de la forme $$\mapsto P\left(t\right)\cos\left(\omega t\right)+ Q\left(t\right)\sin\left(\omega t\right)$$ avec $$P\left(t\right)=5$$ et $$Q\left(t\right)=0$$
Or $$\deg\left(P\right)=\deg\left(Q\right)=0$$ et $$\omega=1$$
On vérifie facilement que :

la fonction $$t\mapsto\cos\left(t\right)$$ n'est pas solution de $$\left(E_0\right)$$

On cherche alors une solution particulière de la forme :
$$y_1\left(t\right)=\alpha\left(t\right)\cos\left(t\right)+ \alpha\left(t\right)\sin\left(t\right)$$ où $$\alpha$$ et $$\beta$$ sont des fonctions de degré $$\text{Max}\left(\deg\left(P\right),\deg\left(Q\right)\right)$$ ainsi $$\deg\left(\alpha\right)=\deg\left(\beta\right)=0$$
Il en résulte donc que :
$$y_1\left(t\right)=a\cos\left(t\right)+ b\sin\left(t\right)$$ où $$\left(a,b\right)\in \mathbb{R}^{2}$$
Ainsi :
$$y'_1\left(t\right)=-a\sin\left(t\right)+ b\cos\left( t\right)$$ et $$y''_1\left(t\right)=-a\cos\left(t\right)-b\sin\left(t\right)$$
On peut donc écrire que :
$$y''_1\left(t\right)+2y'_1\left(t\right)-3y_1\left(t\right)=-a\cos\left(t\right)-b\sin\left(t\right)+2\left(-a\sin\left(t\right)+ b\cos\left( t\right)\right)-3\left(a\cos\left(t\right)+ b\sin\left(t\right)\right)$$
$$y''_1\left(t\right)+2y'_1\left(t\right)-3y_1\left(t\right)=\left(-4a+2b\right)\cos\left(t\right)+\left(-2a-4b\right)\sin\left(t\right)$$
Or nous savons que : $$y''_1\left(t\right)+2y'_1\left(t\right)-3y_1\left(t\right)=\red{5}\cos\left(t\right)+{\color{blue}{0}}\sin\left(t\right)$$
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {-4a+2b} & {=} & {{\color{red}5}} \\ {-2a-4b} & {=} & {{\color{blue}{0}}} \end{array}\right.$$
Pour tout réel $$t$$, par identification, on a :
$$\left\{\begin{array}{ccccccc} {a} & {=} & {-1} \\ {b} & {=} & {\frac{1}{2}} \end{array}\right.$$
Ainsi : $$y_1\left(t\right)=-\cos\left(t\right)+\frac{1}{2}\sin\left(t\right)$$
Etape 3 : Donner les solutions générales de l'équation différentielle
Les solutions générales de $$\left(E\right)$$ sont les fonctions de la forme :
$$y\left(t\right)=y_0\left(t\right)+y_1\left(t\right)$$
Finalement : où $$C_1$$ et $$C_2$$ sont des constantes réelles quelconques.