Equations différentielles

Les équations différentielles linéaires du 1er ordre sans second membre - Exercice 1

15 min
20
Question 1

Résoudre, sur R\mathbb{R}, l'équation différentielle : 2y′−3xy=02y'-3xy=0.

Correction
  • Soit l'équation différentielle (E0)\left(E_0\right) : y′+a(x)y=0y'+a\left(x\right)y=0 définie sur un intervalle II.
    L'ensemble des solutions de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme y0=CeAy_0=Ce^A où AA est une primitive de −a-a et CC une constante réelle quelconque.
Pour tout réel xx, on a :
2y′−3xy=02y'-3xy=0
y′−32xy=0y'-\frac{3}{2}xy=0 .
ici nous avons a(x)=−32xa\left(x\right)=-\frac{3}{2}x, ainsi A(x)=∫−a(x)dxA\left(x\right)=\int{-a\left(x\right)}dx autrement dit A(x)=−34x2A\left(x\right)=-\frac{3}{4}x^2 .
L'ensemble des solutions de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme
y0(x)=Ce−34x2y_0\left(x\right)=Ce^{-\frac{3}{4}x^2}
où C∈RC \in \mathbb{R} .
Question 2

Résoudre, sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[, l'équation différentielle : y′+4xy=0y'+\frac{4}{x}y=0.

Correction
  • Soit l'équation différentielle (E0)\left(E_0\right) : y′+a(x)y=0y'+a\left(x\right)y=0 définie sur un intervalle II.
    L'ensemble des solutions de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme y0=CeAy_0=Ce^A où AA est une primitive de −a-a et CC une constante réelle quelconque.
Pour tout réel x∈]0;+∞[x\in \left]0;+\infty\right[, on a :
y′+4xy=0y'+\frac{4}{x}y=0
ici nous avons a(x)=4xa\left(x\right)=\frac{4}{x}, ainsi A(x)=∫−a(x)dxA\left(x\right)=\int{-a\left(x\right)}dx autrement dit A(x)=−4ln⁡(x)A\left(x\right)=-4\ln\left(x\right) .
L'ensemble des solutions de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme
y0(x)=Ce−4ln⁡(x)y_0\left(x\right)=Ce^{-4\ln\left(x\right)}
où C∈RC \in \mathbb{R} .
Question 3

Résoudre, sur ]−∞;+∞[\left]-\infty;+\infty\right[, l'équation différentielle : (2+x2)y′+5xy=0\left(2+x^2\right)y'+5xy=0.

Correction
  • Soit l'équation différentielle (E0)\left(E_0\right) : y′+a(x)y=0y'+a\left(x\right)y=0 définie sur un intervalle II.
    L'ensemble des solutions de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme y0=CeAy_0=Ce^A où AA est une primitive de −a-a et CC une constante réelle quelconque.
Pour tout réel x∈]−∞;+∞[x\in \left]-\infty;+\infty\right[, on a :
(2+x2)y′+5xy=0\left(2+x^2\right)y'+5xy=0
y′+5x2+x2y=0y'+\frac{5x}{2+x^2}y=0
ici nous avons a(x)=5x2+x2a\left(x\right)=\frac{5x}{2+x^2}, ainsi A(x)=∫−a(x)dxA\left(x\right)=\int{-a\left(x\right)}dx autrement dit A(x)=−52ln⁡(2+x2)A\left(x\right)=-\frac{5}{2}\ln\left(2+x^2\right) .
L'ensemble des solutions de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme
y0(x)=Ce−52ln⁡(2+x2)y_0\left(x\right)=Ce^{-\frac{5}{2}\ln\left(2+x^2\right)}
où C∈RC \in \mathbb{R} .
Question 4

Résoudre, sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[, l'équation différentielle : 1+x3y′+2x2y=0\sqrt{1+x^3}y'+2x^2y=0.

Correction
  • Soit l'équation différentielle (E0)\left(E_0\right) : y′+a(x)y=0y'+a\left(x\right)y=0 définie sur un intervalle II.
    L'ensemble des solutions de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme y0=CeAy_0=Ce^A où AA est une primitive de −a-a et CC une constante réelle quelconque.
Pour tout réel x∈]0;+∞[x\in \left]0;+\infty\right[, on a :
1+x3y′+2x2y=0\sqrt{1+x^3}y'+2x^2y=0
y′+2x21+x3y=0y'+\frac{2x^2}{\sqrt{1+x^3}}y=0
ici nous avons a(x)=2x21+x3a\left(x\right)=\frac{2x^2}{\sqrt{1+x^3}}, ainsi A(x)=∫−a(x)dxA\left(x\right)=\int{-a\left(x\right)}dx autrement dit A(x)=431+x3A\left(x\right)=\frac{4}{3}\sqrt{1+x^3} .
L'ensemble des solutions de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme
y0(x)=Ce431+x3y_0\left(x\right)=Ce^{\frac{4}{3}\sqrt{1+x^3}}
où C∈RC \in \mathbb{R} .
Question 5

Résoudre, sur ]0;+∞[\left]0;+\infty\right[, l'équation différentielle : xy′−(1−x)y=0xy'-\left(1-x\right)y=0.

Correction
  • Soit l'équation différentielle (E0)\left(E_0\right) : y′+a(x)y=0y'+a\left(x\right)y=0 définie sur un intervalle II.
    L'ensemble des solutions de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme y0=CeAy_0=Ce^A où AA est une primitive de −a-a et CC une constante réelle quelconque.
Pour tout réel x∈]0;+∞[x\in \left]0;+\infty\right[, on a :
xy′−(1−x)y=0xy'-\left(1-x\right)y=0
y′−1−xxy=0y'-\frac{1-x}{x}y=0
ici nous avons a(x)=−1−xxa\left(x\right)=-\frac{1-x}{x} que l'on peut écrire a(x)=−1x+1a\left(x\right)=-\frac{1}{x}+1, ainsi A(x)=∫−a(x)dxA\left(x\right)=\int{-a\left(x\right)}dx autrement dit A(x)=ln⁡(x)−xA\left(x\right)=\ln\left(x\right)-x .
L'ensemble des solutions de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme
y0(x)=Celn⁡(x)−xy_0\left(x\right)=Ce^{\ln\left(x\right)-x}
où C∈RC \in \mathbb{R} .
Question 6

Résoudre, sur ]e;+∞[\left]e;+\infty\right[, l'équation différentielle : 2xln⁡(x)y′+3y=02x\ln\left(x\right)y'+3y=0.

Correction
  • Soit l'équation différentielle (E0)\left(E_0\right) : y′+a(x)y=0y'+a\left(x\right)y=0 définie sur un intervalle II.
    L'ensemble des solutions de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme y0=CeAy_0=Ce^A où AA est une primitive de −a-a et CC une constante réelle quelconque.
Pour tout réel x∈]e;+∞[x\in \left]e;+\infty\right[, on a :
2xln⁡(x)y′+3y=02x\ln\left(x\right)y'+3y=0
y′+32xln⁡(x)y=0y'+\frac{3}{2x\ln\left(x\right)}y=0
y′+32xln⁡(x)y=0y'+\frac{\frac{3}{2x}}{\ln\left(x\right)}y=0
ici nous avons a(x)=32xln⁡(x)a\left(x\right)=\frac{\frac{3}{2x}}{\ln\left(x\right)} , ainsi A(x)=∫−a(x)dxA\left(x\right)=\int{-a\left(x\right)}dx autrement dit A(x)=−32ln(ln(x) ) A\left(x\right)=-\frac{3}{2}{\mathrm{ln} \left({\mathrm{ln} \left(x\right)\ }\right)\ } .
L'ensemble des solutions de (E0)\left(E_0\right) est l'ensemble des fonctions de la forme
y0(x)=Ce−32ln(ln(x) ) y_0\left(x\right)=Ce^{-\frac{3}{2}{\mathrm{ln} \left({\mathrm{ln} \left(x\right)\ }\right)\ } }
où C∈RC \in \mathbb{R} .