Les équations différentielles linéaires du 1er ordre sans second membre - Exercice 1
15 min
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Question 1
Résoudre, sur R, l'équation différentielle : 2y′−3xy=0.
Correction
Soit l'équation différentielle (E0) : y′+a(x)y=0 définie sur un intervalle I. L'ensemble des solutions de (E0) est l'ensemble des fonctions de la forme y0=CeA où A est une primitive de −a et C une constante réelle quelconque.
Pour tout réel x, on a : 2y′−3xy=0 y′−23xy=0 . ici nous avons a(x)=−23x, ainsi A(x)=∫−a(x)dx autrement dit A(x)=−43x2 . L'ensemble des solutions de (E0) est l'ensemble des fonctions de la forme
y0(x)=Ce−43x2
où C∈R .
Question 2
Résoudre, sur ]0;+∞[, l'équation différentielle : y′+x4y=0.
Correction
Soit l'équation différentielle (E0) : y′+a(x)y=0 définie sur un intervalle I. L'ensemble des solutions de (E0) est l'ensemble des fonctions de la forme y0=CeA où A est une primitive de −a et C une constante réelle quelconque.
Pour tout réel x∈]0;+∞[, on a : y′+x4y=0 ici nous avons a(x)=x4, ainsi A(x)=∫−a(x)dx autrement dit A(x)=−4ln(x) . L'ensemble des solutions de (E0) est l'ensemble des fonctions de la forme
y0(x)=Ce−4ln(x)
où C∈R .
Question 3
Résoudre, sur ]−∞;+∞[, l'équation différentielle : (2+x2)y′+5xy=0.
Correction
Soit l'équation différentielle (E0) : y′+a(x)y=0 définie sur un intervalle I. L'ensemble des solutions de (E0) est l'ensemble des fonctions de la forme y0=CeA où A est une primitive de −a et C une constante réelle quelconque.
Pour tout réel x∈]−∞;+∞[, on a : (2+x2)y′+5xy=0 y′+2+x25xy=0 ici nous avons a(x)=2+x25x, ainsi A(x)=∫−a(x)dx autrement dit A(x)=−25ln(2+x2) . L'ensemble des solutions de (E0) est l'ensemble des fonctions de la forme
y0(x)=Ce−25ln(2+x2)
où C∈R .
Question 4
Résoudre, sur ]0;+∞[, l'équation différentielle : 1+x3y′+2x2y=0.
Correction
Soit l'équation différentielle (E0) : y′+a(x)y=0 définie sur un intervalle I. L'ensemble des solutions de (E0) est l'ensemble des fonctions de la forme y0=CeA où A est une primitive de −a et C une constante réelle quelconque.
Pour tout réel x∈]0;+∞[, on a : 1+x3y′+2x2y=0 y′+1+x32x2y=0 ici nous avons a(x)=1+x32x2, ainsi A(x)=∫−a(x)dx autrement dit A(x)=341+x3 . L'ensemble des solutions de (E0) est l'ensemble des fonctions de la forme
y0(x)=Ce341+x3
où C∈R .
Question 5
Résoudre, sur ]0;+∞[, l'équation différentielle : xy′−(1−x)y=0.
Correction
Soit l'équation différentielle (E0) : y′+a(x)y=0 définie sur un intervalle I. L'ensemble des solutions de (E0) est l'ensemble des fonctions de la forme y0=CeA où A est une primitive de −a et C une constante réelle quelconque.
Pour tout réel x∈]0;+∞[, on a : xy′−(1−x)y=0 y′−x1−xy=0 ici nous avons a(x)=−x1−x que l'on peut écrire a(x)=−x1+1, ainsi A(x)=∫−a(x)dx autrement dit A(x)=ln(x)−x . L'ensemble des solutions de (E0) est l'ensemble des fonctions de la forme
y0(x)=Celn(x)−x
où C∈R .
Question 6
Résoudre, sur ]e;+∞[, l'équation différentielle : 2xln(x)y′+3y=0.
Correction
Soit l'équation différentielle (E0) : y′+a(x)y=0 définie sur un intervalle I. L'ensemble des solutions de (E0) est l'ensemble des fonctions de la forme y0=CeA où A est une primitive de −a et C une constante réelle quelconque.
Pour tout réel x∈]e;+∞[, on a : 2xln(x)y′+3y=0 y′+2xln(x)3y=0 y′+ln(x)2x3y=0 ici nous avons a(x)=ln(x)2x3 , ainsi A(x)=∫−a(x)dx autrement dit A(x)=−23ln(ln(x)) . L'ensemble des solutions de (E0) est l'ensemble des fonctions de la forme
y0(x)=Ce−23ln(ln(x))
où C∈R .
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