Equations différentielles

La séparation des variables 2 : en Mécanique - Exercice 1

50 min
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La méthode de seˊparation  des  variables{\color{red}{séparation \,\, des \,\, variables}} constitue une des méthodes les plus puissantes de résolution des équations différentielles ordinaires (EDO). Cette méthode est particulièrement utilisée en Physique.
Soient ff et gg deux fonctions continues et non nulles sur un même intervalle. Une équation différentielle est dite à « variables séparées » lorsque l'on a la forme suivante :
dydx=f(x)g(x){\color{red}{\boxed{\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{f(x)}{g(x)}}}}
Dans ce cas, on obtient :
f(x) dx=g(y) dyf(x) \, dx = g(y) \, dy
Ce qui nous permet d'écrire, en primitivant{\color{blue}{primitivant}}, que :
∫f(x) dx=∫g(y) dy\int f(x) \, dx = \int g(y) \, dy
En notant par FF et GG les primitives respectives de ff et gg, on a alors la solution formelle suivante :
F(x)=G(x)+K    (K∈R){\color{red}{\boxed{F(x) = G(x) + K \,\,\,\, (K \in \mathbb{R})}}}
On dit alors que l'équation différentielle considérée est seˊparable{\color{red}{séparable}}.
Question 1
Soit tt un paramètre temporel réel positif ou nul. Une goutte d'eau, de masse constante mm, et de taille inférieure à deux millimètres, peut-être considérée comme restant sphérique lors de sa chute verticale dans l'air.
En outre, au regard des régimes de vitesses atteintes par une telle goutte lors de sa chute, les forces de frottement qu'elle subit sont modélisées par l'expression, dite "aeˊrodynamique{\color{blue}{aérodynamique}}", à savoir −kv2-k v^2. Dans cette expression kk est une constante réelle, strictement positive, dont l'origine est purement géométrique.
Sur la hauteur de chute, on considère que les effet de pesanteur terrestre sont constants (uniformes et stationnaires). Ainsi la valeur de gg est fixe.
La goutte se détache de son nuage créateur sans vitesse, puis débute sa chute. Sous l'effet des frottements son accélération diminue, et donc sa vitesse atteint une valeur limite maximale, notée vℓ>0v_\ell > 0.
Il résulte de cette modélisation élémentaire, mais réaliste, une équation différentielle non lineˊaire{\color{blue}{\textbf{non linéaire}}} en vv :
m d vdt(t)=−kv2(t)+mgm \, \dfrac{d \, v}{dt}(t) = - k v^2(t) + mg
Soit encore :
d vdt(t)=−λv2(t)+g      (λ=km∈R+⋆)\dfrac{d \, v}{dt}(t) = - \lambda v^2(t) + g \,\,\,\,\,\, \left( \lambda = \dfrac{k}{m} \in \mathbb{R}^{+\star} \right)
    ↬  Rappel:{\color{OrangeRed}{\,\,\,\, \looparrowright \,\, \textbf{Rappel} :}}
On rappelle que l'on a la primitive suivante :
∫11−X2 dX=argtanh(X)+C    (C∈R)\int \dfrac{1}{1-X^2} \, dX = \mathrm{argtanh}(X) + C \,\,\,\, (C \in \mathbb{R})
Dans cette formule, argtanh\mathrm{argtanh} représente la fonction "argument de la tangente hyperbolique", qui est la fonction réciproque, sur R\mathbb{R}, de la fonction {\color{red}{\textbf{tangente hyperbolique}}}.
En outre, on donne également le graphe de la fonction réelle univariée, dérivable sur R\mathbb{R}, tangente hyperbolique{\color{red}{\textbf{tangente hyperbolique}}}, notée, tanh⁡:x∈R⟶tanh⁡(x)∈] −1 ; 1 [\tanh : x \in \mathbb{R} \longrightarrow \tanh(x) \in ]\, -1\,;\, 1 \,[ :

Démontrer que l'équation différentielle considérée est seˊparable{\color{red}{\textbf{séparable}}}.

Correction
On a l'équation différentielle suivante, avec m≠0m \neq 0 :
m dvdt=−k v2+mg    ⟺    dvdt=−λ v2+gm \, \dfrac{dv}{dt} = -k\,v^2 + mg \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{dv}{dt} = -\lambda\,v^2 + g
Avec λ=km∈R+⋆\lambda = \dfrac{k}{m} \in \mathbb{R}^{+\star}. Il s'agit d'une EDO de type seˊparable{\color{red}{\textbf{type séparable}}}. En effet, on peut écrire que :
dvdt=11λ v2+g    ⟺    dvdt=f(t)g(v)     avec :{f(t)=1g(v)=1−λ v2+g\dfrac{{\color{blue}{dv}}}{{\color{red}{dt}}} = \dfrac{{\color{red}{1}}}{{\color{blue}{\dfrac{1}{ \lambda\,v^2 + g}}}} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{{\color{blue}{dv}}}{{\color{red}{dt}}} = \dfrac{{\color{red}{f(t)}}}{{\color{blue}{g(v)}}} \,\,\,\,\, \mathrm{avec} \,: \left\lbrace \begin{array}{rcl} {\color{red}{f(t)}} & = & {\color{red}{1}} \\ {\color{blue}{g(v)}} & = & {\color{blue}{\dfrac{1}{-\lambda\,v^2 + g}}} \\ \end{array}\right.
Question 2

Déterminer l'expression de la vitesse limite vℓv_\ell.

Correction
Lorsque la vitesse atteint sa valeur limite vℓv_\ell alors celle dernière reste constante, et de fait ne varie plus, et en conséquence sa dérivée temporelle est nulle. Donc :
v=vℓ      ⟹      dvℓdt=0      ⟹      0=−λ vℓ2+g      ⟹      λ vℓ2=gv = v_\ell \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \dfrac{dv_\ell}{dt} = 0 \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, 0 = -\lambda\,v_\ell^2 + g \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\ \lambda\,v_\ell^2 = g
Donc :
vℓ2=gλ      ⟺      vℓ=±gλv_\ell^2 = \dfrac{g}{\lambda} \,\,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\,\ v_\ell = \pm \sqrt{\dfrac{g}{\lambda}}
Comme vℓv_\ell est une quantité physique strictement positive, on en déduit finalement que :
vℓ=gλ{\color{blue}{\boxed{v_\ell = \sqrt{\dfrac{g}{\lambda}}}}}
Question 3

Déterminer l'expression de la fonction vitesse de la goutte vv.

Correction
On a alors :
dvdt=−λ v2+g    ⟺    dvg−λ v2=dt    ⟺    1gdv1−λg v2=dt\dfrac{dv}{dt} = -\lambda\,v^2 + g \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{dv}{g - \lambda\,v^2} = dt \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{1}{g}\dfrac{dv}{1 - \dfrac{\lambda}{g}\,v^2} = dt
Soit :
dv1−v2gλ=g dt    ⟺    dv1−(vgλ)2=g dt\dfrac{dv}{1 - \dfrac{v^2}{\dfrac{g}{\lambda}}} = g \, dt \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{dv}{1 - \left(\dfrac{v}{\sqrt{\dfrac{g}{\lambda}}}\right)^2} = g \, dt
Ce qui nous donne :
dv1−(vvℓ)2=g dt    ⟺    vℓ 1vℓdv1−(vvℓ)2=g dt    ⟺    vℓdvvℓ1−(vvℓ)2=g dt\dfrac{dv}{1 - \left(\dfrac{v}{v_\ell}\right)^2} = g \, dt \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{v_\ell \, \dfrac{1}{v_\ell} dv}{1 - \left(\dfrac{v}{v_\ell}\right)^2} = g \, dt \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, v_\ell \dfrac{\dfrac{dv}{v_\ell}}{1 - \left(\dfrac{v}{v_\ell}\right)^2} = g \, dt
Comme vℓv_\ell est une constante réelle, on a alors :
vℓd(vvℓ)1−(vvℓ)2=g dtv_\ell \dfrac{d\left(\dfrac{v}{v_\ell}\right)}{1 - \left(\dfrac{v}{v_\ell}\right)^2} = g \, dt
Posons X=vvℓX = \dfrac{v}{v_\ell}. Dans ce cas, on obtient :
vℓdX1−X2=g dtv_\ell \dfrac{dX}{1 - X^2} = g \, dt
En intégrant, on obtient :
∫vℓdX1−X2=∫g dt    ⟺    vℓ∫dX1−X2=g∫1 dt\int v_\ell \dfrac{dX}{1 - X^2} = \int g \, dt \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, v_\ell \int \dfrac{dX}{1 - X^2} = g \int 1 \, dt
Soit CC une constante réelle. On a alors :
vℓ argtanh(X)=gt+C    ⟺    argtanh(X)=gtvℓ+Cvℓv_\ell \, \mathrm{argtanh}(X) = gt + C \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \mathrm{argtanh}(X) = \dfrac{gt}{v_\ell} + \dfrac{C}{v_\ell}
On pose c=Cvℓ∈Rc = \dfrac{C}{v_\ell} \in \mathbb{R}. Dans ce cas, on a :
argtanh(vvℓ)=gtvℓ+c\mathrm{argtanh}\left(\dfrac{v}{v_\ell}\right) = \dfrac{gt}{v_\ell} + c
En prenant la tangente hyperbolique des deux membres de cette dernière équation, on obtient :
tanh⁡(argtanh(vvℓ))=tanh⁡(gtvℓ+c)    ⟺    vvℓ=tanh⁡(gtvℓ+c)\tanh \left( \mathrm{argtanh}\left(\dfrac{v}{v_\ell}\right)\right) = \tanh \left(\dfrac{gt}{v_\ell} + c\right) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{v}{v_\ell} = \tanh \left(\dfrac{gt}{v_\ell} + c\right)
Donc :
v=vℓ tanh⁡(gtvℓ+c)v = v_\ell \, \tanh \left(\dfrac{gt}{v_\ell} + c\right)
Or, à l'instant initial t=0t=0, la goutte d'eau se détache de son nuage créateur à vitesse nulle. Donc v(t=0)=0v(t=0)=0. Ainsi, on a :
v(t=0)=0    ⟺    vℓ tanh⁡(g0vℓ+c)=0    ⟺    vℓ tanh⁡(c)=0v(t=0) = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, v_\ell \, \tanh \left(\dfrac{g0}{v_\ell} + c\right) = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, v_\ell \, \tanh(c) = 0
Comme vℓ≠0v_\ell \neq 0, on en déduit que :
tanh⁡(c)=0    ⟺    c=0\tanh(c) = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, c = 0
Finalement, on obtient la loi temporelle de la vitesse de la goutte suivante :
v(t)=vℓ tanh⁡(gtvℓ){\color{red}{\boxed{v(t) = v_\ell \, \tanh \left(\dfrac{gt}{v_\ell} \right) }}}