La méthode de la variation de la constante (4) - Exercice 1

Cette équation différentielle est linéaire, du premier ordre, à coefficients variables et avec second membre. On va donc considérer l'équation homogène associée, à savoir :
$$(1+x^2) \, y_h'(x) - 2x \, y_h(x) = 0$$
Cette dernière est séparable. En effet elle peut s'écrire comme :
$$(1+x^2) \, \dfrac{d \, y_h}{dx}(x) - 2x \, y_h(x) = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{d \, y_h}{dx}(x) = \dfrac{2x}{1+x^2} \, y_h(x)$$
Ce qui nous donne avec l'écriture de $$Leibniz$$ :
$$\dfrac{d \, y_h}{y_h(x)} = \dfrac{2x}{1+x^2} \, dx$$
En intégrant :
$$\ln(|y_h(x)|) = \ln\left( 1+ x^2 \right) + C \,\,\, (C \in \mathbb{R})$$
En prenant l'exponentielle :
$$e^{\ln(|y_h(x)|)} = e^{\ln\left( 1+ x^2 \right) + C} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, |y_h(x)| = e^C \times \left( 1+ x^2 \right)$$
Posons $$K = e^C \in \mathbb{R}$$, et on obtient :
$$|y_h(x)| = K \times \left( 1+ x^2 \right) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y_h(x) = \pm K \times \left( 1+ x^2 \right)$$
Posons maintenant $$\mathcal{K} = \pm K \in \mathbb{R}$$, et on trouve que :
$${\color{blue}{\boxed{y_h(x) = \mathcal{K} \left( 1+ x^2 \right)}}}$$
On va maintenant appliquer la méthode de la variation de la constante afin de déterminer une solution particulière $$y_p$$ de l'équation $$(E)$$. Pour cela, on fait le changement $$\mathcal{K} \longrightarrow\mathcal{K}(x)$$. Ainsi, on pose :
$$y_p(x) = \mathcal{K}(x) \left( 1+ x^2 \right) \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, y'_p(x) = \mathcal{K}'(x) \left( 1+ x^2 \right) + 2x \,\mathcal{K}(x)$$
L'équation $$(E)$$ prend alors la forme :
$$(1+x^2) \, y_p'(x) - 2x \, y_p(x) = \dfrac{(1+x^2)^2}{\sqrt{1-x^2}} \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, (1+x^2)\left( \mathcal{K}'(x) \left( 1+ x^2 \right) + 2x \,\mathcal{K}(x) \right) - 2x \,\mathcal{K}(x) \left( 1+ x^2 \right) = \dfrac{(1+x^2)^2}{\sqrt{1-x^2}}$$
Ce qui nous donne :
$$\mathcal{K}'(x) \left( 1+ x^2 \right)^2 + 2x(1+x^2) \,\mathcal{K}(x) - 2x \,\mathcal{K}(x) \left( 1+ x^2 \right) = \dfrac{(1+x^2)^2}{\sqrt{1-x^2}}$$
En simplifiant :
$$\mathcal{K}'(x) \left( 1+ x^2 \right)^2 = \dfrac{\left( 1+ x^2 \right)^2}{\sqrt{1-x^2}}$$
Comme le terme $$\left( 1+ x^2 \right)^2 \neq 0$$ on obtient donc :
$$\mathcal{K}'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
Ainsi, avec $$q \in \mathbb{R}$$, on trouve après intégration :
$$\mathcal{K}(x) = \arcsin(x) + q$$
Dès lors, la solution particulière $$y_p$$ recherchée est donnée par :
$${\color{blue}{\boxed{y_p(x) = (\arcsin(x)+q) \left( 1+ x^2 \right)}}}$$
L'équation différentielle $$(E)$$ étant linéaire, la solution globale $$y$$ est donc donnée par
$$y(x) = y_p(x) + y_h(x)$$
Soit :
$$y(x) = (\arcsin(x)+q) \left( 1 + x^2 \right) + \mathcal{K} \left( 1 + x^2 \right) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y(x) = (\arcsin(x)+q+\mathcal{K}) \left( 1 + x^2 \right)$$
On pose alors $$Q = q+\mathcal{K} \in \mathbb{R}$$, et finalement, on trouve que :
$${\color{red}{\boxed{y(x) = (\arcsin(x)+Q) \left( 1+ x^2 \right)}}}$$
On impose la condition initiale $$y(x=0) = 2$$. Donc :
$$(\arcsin(x=0)+Q) \left( 1+ 0^2 \right) = 2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \arcsin(x=0)+Q = 2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, Q = 2 - \arcsin(x = 0)$$
Or, $$\arcsin(x = 0) = \arcsin(0) = 0$$. Ce qui nous donne immédiatement :
$$Q = 2$$
Finalement, la solution recherchée (de ce problème de $$Cauchy$$) est donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{y(x) = (\arcsin(x)+2) \left( 1+ x^2 \right)}}}$$