Equations différentielles

La méthode de la variation de la constante (4) - Exercice 1

45 min
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Un exercice plus délicat.
Question 1
Pour vérifier que l'on maîtrise la technique de la variation de la constante.

Soit xx un nombre réel. Résoudre l'équation différentielle (E)(E) suivante : (1+x2)y(x)2xy(x)=(1+x2)21x2(1+x^2) \, y'(x) -2x \, y(x) = \dfrac{(1+x^2)^2}{\sqrt{1-x^2}}.
On impose la condition initiale y(x=0)=2y(x=0) = 2.

Correction
Cette équation différentielle est linéaire, du premier ordre, à coefficients variables et avec second membre. On va donc considérer l'équation homogène associée, à savoir :
(1+x2)yh(x)2xyh(x)=0(1+x^2) \, y_h'(x) - 2x \, y_h(x) = 0
Cette dernière est séparable. En effet elle peut s'écrire comme :
(1+x2)dyhdx(x)2xyh(x)=0dyhdx(x)=2x1+x2yh(x)(1+x^2) \, \dfrac{d \, y_h}{dx}(x) - 2x \, y_h(x) = 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{d \, y_h}{dx}(x) = \dfrac{2x}{1+x^2} \, y_h(x)
Ce qui nous donne avec l'écriture de LeibnizLeibniz :
dyhyh(x)=2x1+x2dx\dfrac{d \, y_h}{y_h(x)} = \dfrac{2x}{1+x^2} \, dx
En intégrant :
ln(yh(x))=ln(1+x2)+C(CR)\ln(|y_h(x)|) = \ln\left( 1+ x^2 \right) + C \,\,\, (C \in \mathbb{R})
En prenant l'exponentielle :
eln(yh(x))=eln(1+x2)+Cyh(x)=eC×(1+x2)e^{\ln(|y_h(x)|)} = e^{\ln\left( 1+ x^2 \right) + C} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, |y_h(x)| = e^C \times \left( 1+ x^2 \right)
Posons K=eCRK = e^C \in \mathbb{R}, et on obtient :
yh(x)=K×(1+x2)yh(x)=±K×(1+x2)|y_h(x)| = K \times \left( 1+ x^2 \right) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y_h(x) = \pm K \times \left( 1+ x^2 \right)
Posons maintenant K=±KR\mathcal{K} = \pm K \in \mathbb{R}, et on trouve que :
yh(x)=K(1+x2){\color{blue}{\boxed{y_h(x) = \mathcal{K} \left( 1+ x^2 \right)}}}
On va maintenant appliquer la méthode de la variation de la constante afin de déterminer une solution particulière ypy_p de l'équation (E)(E). Pour cela, on fait le changement KK(x)\mathcal{K} \longrightarrow\mathcal{K}(x). Ainsi, on pose :
yp(x)=K(x)(1+x2)yp(x)=K(x)(1+x2)+2xK(x)y_p(x) = \mathcal{K}(x) \left( 1+ x^2 \right) \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, y'_p(x) = \mathcal{K}'(x) \left( 1+ x^2 \right) + 2x \,\mathcal{K}(x)
L'équation (E)(E) prend alors la forme :
(1+x2)yp(x)2xyp(x)=(1+x2)21x2(1+x2)(K(x)(1+x2)+2xK(x))2xK(x)(1+x2)=(1+x2)21x2(1+x^2) \, y_p'(x) - 2x \, y_p(x) = \dfrac{(1+x^2)^2}{\sqrt{1-x^2}} \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, (1+x^2)\left( \mathcal{K}'(x) \left( 1+ x^2 \right) + 2x \,\mathcal{K}(x) \right) - 2x \,\mathcal{K}(x) \left( 1+ x^2 \right) = \dfrac{(1+x^2)^2}{\sqrt{1-x^2}}
Ce qui nous donne :
K(x)(1+x2)2+2x(1+x2)K(x)2xK(x)(1+x2)=(1+x2)21x2\mathcal{K}'(x) \left( 1+ x^2 \right)^2 + 2x(1+x^2) \,\mathcal{K}(x) - 2x \,\mathcal{K}(x) \left( 1+ x^2 \right) = \dfrac{(1+x^2)^2}{\sqrt{1-x^2}}
En simplifiant :
K(x)(1+x2)2=(1+x2)21x2\mathcal{K}'(x) \left( 1+ x^2 \right)^2 = \dfrac{\left( 1+ x^2 \right)^2}{\sqrt{1-x^2}}
Comme le terme (1+x2)20\left( 1+ x^2 \right)^2 \neq 0 on obtient donc :
K(x)=11x2\mathcal{K}'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
Ainsi, avec qRq \in \mathbb{R}, on trouve après intégration :
K(x)=arcsin(x)+q\mathcal{K}(x) = \arcsin(x) + q
Dès lors, la solution particulière ypy_p recherchée est donnée par :
yp(x)=(arcsin(x)+q)(1+x2){\color{blue}{\boxed{y_p(x) = (\arcsin(x)+q) \left( 1+ x^2 \right)}}}
L'équation différentielle (E)(E) étant linéaire, la solution globale yy est donc donnée par
y(x)=yp(x)+yh(x)y(x) = y_p(x) + y_h(x)
Soit :
y(x)=(arcsin(x)+q)(1+x2)+K(1+x2)y(x)=(arcsin(x)+q+K)(1+x2)y(x) = (\arcsin(x)+q) \left( 1 + x^2 \right) + \mathcal{K} \left( 1 + x^2 \right) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y(x) = (\arcsin(x)+q+\mathcal{K}) \left( 1 + x^2 \right)
On pose alors Q=q+KRQ = q+\mathcal{K} \in \mathbb{R}, et finalement, on trouve que :
y(x)=(arcsin(x)+Q)(1+x2){\color{red}{\boxed{y(x) = (\arcsin(x)+Q) \left( 1+ x^2 \right)}}}
On impose la condition initiale y(x=0)=2y(x=0) = 2. Donc :
(arcsin(x=0)+Q)(1+02)=2arcsin(x=0)+Q=2Q=2arcsin(x=0)(\arcsin(x=0)+Q) \left( 1+ 0^2 \right) = 2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \arcsin(x=0)+Q = 2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, Q = 2 - \arcsin(x = 0)
Or, arcsin(x=0)=arcsin(0)=0\arcsin(x = 0) = \arcsin(0) = 0. Ce qui nous donne immédiatement :
Q=2Q = 2
Finalement, la solution recherchée (de ce problème de CauchyCauchy) est donnée par l'expression suivante :
y(x)=(arcsin(x)+2)(1+x2){\color{red}{\boxed{y(x) = (\arcsin(x)+2) \left( 1+ x^2 \right)}}}