Evolution de population - Exercice 1

On a :
$$p'(t) = \dfrac{p(t)}{4} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, p'(t) - \dfrac{1}{4} p(t) = 0$$
Il s'agit d'une EDO homogène linéaire du premier ordre, à coefficients constants, dont la solution est :
$$p(t) = k \, e^{\frac{1}{4}t} \,\,\,\,\, (k \in \mathbb{R})$$
La condition initiale, définissant le problème de $$Cauchy$$, est :
$$p(t=0) = 1 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, k \, e^{\frac{1}{4}\times 0} = 1 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, k \, e^{0} = 1 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, k = 1$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{p(t) = e^{\frac{1}{4}t}}}}$$

On a la condition suivante :
$$p(t=t_{300}) \geqslant 3 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, e^{\frac{1}{4}t_{300}} \geqslant 3 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{1}{4}t_{300} \geqslant \ln(3)$$
Finalement, le sens de variation (monotonie et croissance sur $$\mathbb{R}^+$$) de $$p$$ nous permet d'écrire :
$${\color{red}{\boxed{t_{300} = 4\ln(3) \simeq 4,4 \, \mathrm{ans}}}}$$

On pose $$y(t) = \dfrac{1}{p(t)}$$. Dans ce cas, on a :
$$p^2(t) = \dfrac{1}{y^2(t)} \,\,\,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\,\,\, p'(t) = -\dfrac{y'}{y^2(t)}$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$p'(t) = \dfrac{p(t)}{4} - \dfrac{p^2(t)}{12} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,-\dfrac{y'(t)}{y^2(t)} = \dfrac{1}{4y(t)} - \dfrac{1}{12y^2(t)}$$
En multipliant par $$y^2(t)$$, on obtient :
$$-y'(t) = \dfrac{y(t)}{4} - \dfrac{1}{12}$$
Finalement, en multipliant par $$-1$$, on trouve que :
$${\color{red}{\boxed{y'(t) = -\dfrac{y(t)}{4} + \dfrac{1}{12} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,y'(t) + \dfrac{y(t)}{4} = \dfrac{1}{12}}}}$$

La solution homogène associée est notée $$y_H(t)$$, et correspond à la solution de l'équation suivante :
$$y'_H(t) + \dfrac{y(t)_H}{4} = 0$$
Donc, avec $$k \in \mathbb{R}$$ :
$$y_H(t) = k \, e^{- \frac{1}{4}t}$$
Puis, notons par $$y_P(t)$$ la solution particulière. Comme le second membre est $$\dfrac{1}{12} \in \mathbb{R}$$, on va donc poser $$y_P(t) = C \in \mathbb{R}$$. Donc $$y'_P(t) = C' = 0$$. Dans ce cas, l'équation différentielle étudiée devient :
$$y'_P(t) + \dfrac{y_P(t)}{4} = \dfrac{1}{12} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 0 + \dfrac{y_P(t)}{4} = \dfrac{1}{12} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y_P(t) = \dfrac{4}{12}$$
Soit :
$$y_P(t) = \dfrac{1}{3}$$
Ainsi, la solution globale est :
$$y(t) = y_H(t) + y_P(t) \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,y(t) = k \, e^{- \frac{1}{4}t} + \dfrac{1}{3}$$
Cependant, la condition initiale qui définie le problème de \textit{Cauchy} est $$y(t=0) = 1$$. Donc :
$$k \, e^{- \frac{1}{4}\times 0} + \dfrac{1}{3} = 1 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, k \, e^0 + \dfrac{1}{3} = 1 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, k + \dfrac{1}{3} = 1 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, k = 1 - \dfrac{1}{3} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, k = \dfrac{2}{3}$$
La solution globale de notre problème est donc :
$$y(t) = \dfrac{2}{3} \, e^{- \frac{1}{4}t} + \dfrac{1}{3} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y(t) = \dfrac{2\, e^{- \frac{1}{4}t} + 1}{3}$$
Finalement, on aboutit à la solution $$p(t)$$ suivante :
$${\color{red}{\boxed{p(t) = \dfrac{3}{2\, e^{- \frac{1}{4}t} + 1}}}}$$

Lorsque $$t \longrightarrow +\infty$$ on en déduit que $$e^{- \frac{1}{4}t} \longrightarrow 0$$. Et dans ce cas, on trouve que :
$${\color{red}{\boxed{\lim_{t \longrightarrow +\infty} p(t) = 3}}}$$
La population de rongeurs étudiée se stabilisera à $$300$$ individus.

$${\color{blue}{\clubsuit \,\, Remarque :}}$$
Les fonctions logistiques sont initialement créées par le mathématicien belge Pierre François Verhulst. Chargé par son professeur Adolphe Quetelet, statisticien belge également, d'étudier un modèle d'évolution de population qui ne soit pas exponentiel, il propose en trois publications (1838, 1845 et 1847) un nouveau modèle tenant compte d'un frein dans le développement de la population et prouve que ce modèle est cohérent avec l'évolution de la population en Belgique et en France jusqu'en 1833. Ces courbes ont la forme d'un S ce qui fait qu'elles sont parfois appelées sigmoïdes. Dans notre problème de rongeurs, la courbe solution est la suivante :