Cours : La méthode de la variation de la constante

La méthode de la variation de la constante.

Rappels historiques .

La meˊthode de variation de la constante{\color{red}{\textbf{méthode de variation de la constante}}}, parfois également appelée méthode de Lagrange{\color{red}{\textbf{Lagrange}}}, est une méthode pour déterminer les solutions d'une équation différentielle avec second membre, connaissant les solutions de l'équation homogène (sans second membre).
La méthode a été inventée par le mathématicien et physicien Pierre-Simon de Laplace{\color{red}{\textbf{Pierre-Simon de Laplace}}}, pour la résolution des équations différentielles linéaires. Elle tire son nom de ce que, pour l'essentiel, elle consiste à chercher les solutions sous une forme analogue à celle déjà trouvée pour une équation associée plus simple, mais en remplaçant la ou les constantes de cette solution par de nouvelles fonctions inconnues.
Pour être précis, la méthode a été initiée par le Mathématicien franco-italien
Joseph Louis Lagrange{\color{red}{\textbf{Joseph Louis Lagrange}}} et inventée et généralisée par le mathématicien et physicien Pierre-Simon de Laplace{\color{red}{\textbf{Pierre-Simon de Laplace}}}, pour la résolution des équations différentielles linéaires.

Principe de la méthode .

Principe de la meˊthode\blacktriangledown \blacktriangledown \,\, \textbf{Principe de la méthode}
On considère l'équation différentielle linéaire du premier ordre, avec second membre, suivante :
a(x)y(x)+b(x)y(x)=c(x)a(x) \, y'(x) + b(x) \, y(x) = c(x)
La solution globale recherchée yy est la somme de la solution homogène yhy_h et de la solution particulière ypy_p. Soit :
y(x)=yh(x)+yp(x)y(x) = y_h(x) + y_p(x)
Recherche de la solution homogeˋne\,\,\, \clubsuit\,\, \textbf{Recherche de la solution homogène}
On considère l'équation différentielle homogène associée :
a(x)yh(x)+b(x)yh(x)=0a(x) \, y_h'(x) + b(x) \, y_h(x) = 0
Qui va s'écrire :
a(x)yh(x)=b(x)yh(x)yh(x)yh(x)=b(x)a(x)a(x) \, y_h'(x) = - b(x) \, y_h(x) \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \dfrac{y_h'(x)}{y_h(x)} = - \dfrac{b(x)}{a(x)}
En intégrant, on trouve que :
yh(x)yh(x)dx=b(x)a(x)dxlnyh(x)+C1=b(x)a(x)dx\int \dfrac{y_h'(x)}{y_h(x)} \, dx = - \int\dfrac{b(x)}{a(x)} \, dx \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \ln y_h(x) + C_1 = - \int\dfrac{b(x)}{a(x)} \, dx
Avec C1C_1 qui est une constante. En prenant l'exponentielle de cette égalité, on trouve que :
elnyh(x)+C1=b(x)a(x)dxyh(x)eC1=eb(x)a(x)dxe^{\ln y_h(x) + C_1} = - \int\dfrac{b(x)}{a(x)} \, dx \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, y_h(x) e^{C_1} = e^{- \displaystyle{\int\dfrac{b(x)}{a(x)} \, dx}}
Ce qui nous donne encore :
yh(x)=eC1eb(x)a(x)dxyh(x)=Ceb(x)a(x)dxy_h(x) = e^{- C_1} \, e^{- \displaystyle{\int\dfrac{b(x)}{a(x)} \, dx}} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, y_h(x) = C \, e^{- \displaystyle{\int\dfrac{b(x)}{a(x)} \, dx}}
Avec C=eC1C = e^{- C_1} qui est une constante non nulle. Soit FF la primitive présente dans l'exponentielle. On note donc :
F(x)=b(x)a(x)dxF(x)=b(x)a(x)F(x) = \int\dfrac{b(x)}{a(x)} \, dx \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, F'(x) = \dfrac{b(x)}{a(x)}
Ce qui nous donne l'écriture suivante de yh(x)y_h(x) :
yh(x)=CeF(x)\boxed{y_h(x) = C \, e^{- F(x)}}
Recherche de la solution particulieˋre\,\,\, \clubsuit\,\, \textbf{Recherche de la solution particulière}
Pour trouver la solution particulière ypy_p on va utiliser la méthode dite de la variation de la constante{\color{red}{\textbf{la variation de la constante}}}.
L'idée est de "supposer" que la solution particulière ypy_p doit être "assez proche" de la forme de la solution homogène yhy_h car provenant de l'équation différentielle homogène de la même équation différentielle linéaire. C'est une méthode souvent qualifiée de meˊthode aˋ la physicienne{\color{blue}{\textbf{méthode à la physicienne}}}.
Afin de rester "proche" de la forme de la solution particulière ypy_p, on rend la constante variableC=C(x){\color{red}{\textbf{constante variable} \,\, C=C(x)}} ; d'où le nom de la méthode.
Ainsi, on pose donc :
yp(x)=C(x)eF(x)y_p(x) = C(x) \, e^{- F(x)}
Dès lors, on a :
yp(x)=C(x)eF(x)C(x)F(x)eF(x)y'_p(x) = C'(x) \, e^{- F(x)} - C(x) \, F'(x) \, e^{- F(x)}
Donc, l'équation différentielle linéaire du premier ordre, avec second membre, devient :
a(x)[C(x)eF(x)C(x)F(x)eF(x)]+b(x)C(x)eF(x)=c(x)a(x) \, \left[ C'(x) \, e^{- F(x)} - C(x) \, F'(x) \, e^{- F(x)} \right] + b(x) \, C(x) \, e^{- F(x)} = c(x)
Soit encore :
a(x)C(x)eF(x)a(x)C(x)F(x)eF(x)+b(x)C(x)eF(x)=c(x)a(x) \, C'(x) \, e^{- F(x)} - a(x) \, C(x) \, F'(x) \, e^{- F(x)} + b(x) \, C(x) \, e^{- F(x)} = c(x)
Or, on sait que (eF(x))=F(x)eF(x)(e^{- F(x)})'= - F'(x) \, e^{- F(x)}. Ce qui nous permet d'écrire l'équation (13) sous la forme suivante :
a(x)C(x)eF(x)+a(x)C(x)(eF(x))+b(x)C(x)eF(x)=c(x)a(x) \, C'(x) \, e^{- F(x)} + a(x) \, C(x) \,(e^{- F(x)})' + b(x) \, C(x) \, e^{- F(x)} = c(x)
En factorisant par C(x)C(x) on obtient :
a(x)C(x)eF(x)+C(x)[a(x)(eF(x))+b(x)eF(x)]=c(x)()a(x) \, C'(x) \, e^{- F(x)} + C(x) \, \left[ a(x) \,(e^{- F(x)})' + b(x) \, e^{- F(x)} \right] = c(x) \,\,\,\,\,\,\,\, (\star)
Mais yh(x)=CeF(x)y_h(x) = C \, e^{- F(x)} est solution de l'équation différentielle homogène associée, à savoir :
a(x)(CeF(x))+b(x)CeF(x)=0C[a(x)(eF(x))+b(x)eF(x)]=0a(x) \,(C \, e^{- F(x)})' + b(x) \, C \, e^{- F(x)} = 0 \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, C \, \left[ a(x) \,( e^{- F(x)})' + b(x) \, e^{- F(x)}\right] = 0
Comme CC est non nulle, cela signifie que :
a(x)(eF(x))+b(x)eF(x)=0a(x) \,( e^{- F(x)})' + b(x) \, e^{- F(x)} = 0
Donc on obtient :
a(x)C(x)eF(x)+C(x)0=c(x)a(x)C(x)eF(x)=c(x)a(x) \, C'(x) \, e^{- F(x)} + C(x) \, 0 = c(x) \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, a(x) \, C'(x) \, e^{- F(x)} = c(x)
Ainsi l'équation ()(\star) devient :
C(x)eF(x)=c(x)a(x)C(x)=c(x)a(x)eF(x)C(x)=c(x)a(x)eF(x)C'(x) \, e^{- F(x)} = \dfrac{c(x)}{a(x)} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, C'(x) = \dfrac{c(x)}{a(x) \, e^{- F(x)}} \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, C'(x) = \dfrac{c(x)}{a(x)} \, e^{F(x)}
En intégrant, on trouve que :
C(x)=c(x)a(x)eF(x)dxC(x) = \int \dfrac{c(x)}{a(x)} \, e^{F(x)} \, dx
Ainsi, la solution particulière prend la forme suivante :
yp(x)=c(x)a(x)eF(x)dxeF(x)\boxed{y_p(x) = \int \dfrac{c(x)}{a(x)} \, e^{F(x)} \, dx \,\, e^{- F(x)}}
Recherche de la solution globale\,\,\, \clubsuit\,\, \textbf{Recherche de la solution globale}
La solution globale yy de l'équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre est donc, par linéarité, la somme des deux trouvé précédemment :
y(x)=yh(x)+yp(x)y(x) = y_h(x) + y_p(x)
A savoir :
y(x)=CeF(x)+c(x)a(x)eF(x)dxeF(x)y(x) = C \, e^{- F(x)} + \int \dfrac{c(x)}{a(x)} \, e^{F(x)} \, dx \,\, e^{- F(x)}
Finalement, en factorisant par le terme eF(x)e^{- F(x)}, on obtient le résultat souhaité :
y(x)=(C+c(x)a(x)eF(x)dx)eF(x)\boxed{y(x) = \left( C + \int \dfrac{c(x)}{a(x)} \, e^{F(x)} \, dx \right) \, e^{- F(x)} }
ou encore :
y(x)=(C+c(x)a(x)eb(x)a(x)dxdx)eb(x)a(x)dx\boxed{y(x) = \left( C + \displaystyle{\int \dfrac{c(x)}{a(x)} \,\, e^{ \,\displaystyle{\int\dfrac{b(x)}{a(x)} \, dx}} \, dx } \right) \, e^{- \displaystyle{\int\dfrac{b(x)}{a(x)} \, dx}} }
Dans les trois processus de primitivation{\color{blue}{\textbf{primitivation}}} présents, il faut mettre les constantes d'intégration à zéro.
La constante CC présente dans la solution générale yy sera à déterminer à l'aide d'une condition particulière ou une condition initiale.
Vous allez mettre ceci en application !