Equations différentielles

Circuit électrique RLC (EDO d'ordre deux) - Exercice 1

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Les équations différentielles d'ordre deux, en Physique, traduisent des effets dynamiques. En voici un exemple en électricité. C'est un exercice classique qu'il faut impérativement maîtriser.
Question 1
On considère le circuit usuel RLC suivant :

A l'aide de la loi des mailles (encore appelée deuxième lois de Gustav Kirchhoff{\color{blue}{\textit{Gustav Kirchhoff}}} et qui nous apprend que dans une maille quelconque d'un réseau, et dans le cadre de l'approximation des régimes quasi stationnaires, et à condition que les variations de flux magnétique à travers la maille soient négligeables, la somme des tensions réceptrices est égale à la sommes des tensions génératrices), on établit l'équation différentielle (ordinaire) qui gouverne l'évolution temporelle de la tension uC(t)u_C(t) aux bornes du condensateur. On obtient alors :
d2uCdt2(t)+RLduCdt(t)+1LCuC(t)=ELCcos(ωt)\dfrac{d^2 \, u_C}{dt^2}(t) + \dfrac{R}{L} \dfrac{d \, u_C}{dt}(t) + \dfrac{1}{LC} u_C(t) = \dfrac{E}{LC} \cos(\omega t)
Par homogeˊneˊiteˊ physique{\color{blue}{\textbf{homogénéité physique}}}, on pose :
ω0=1LC>0etτ=LR>0\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} > 0 \,\,\,\,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\,\,\,\, \tau = \dfrac{L}{R} > 0
Puis, par pure commoditeˊ{\color{blue}{\textbf{pure commodité}}} d'écriture, on pose :
2Ω=RL=1τ2\Omega = \dfrac{R}{L} = \dfrac{1}{\tau}
L'équation différentielle ordinaire du circuit \og RLC série \fg prend alors la forme (modèle) suivante :
{d2uCdt2(t)+1τduCdt(t)+ω02uC(t)=ω02Ecos(ωt)d2uCdt2(t)+2ΩduCdt(t)+ω02uC(t)=ω02Ecos(ωt)\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{d^2 \, u_C}{dt^2}(t) + \dfrac{1}{\tau} \dfrac{d \, u_C}{dt}(t) + \omega_0^2 u_C(t) & = & \omega_0^2 E \cos(\omega t) \\ & & \\ \dfrac{d^2 \, u_C}{dt^2}(t) + 2\Omega \, \dfrac{d \, u_C}{dt}(t) + \omega_0^2 u_C(t) & = & \omega_0^2 E \cos(\omega t) \\ \end{array} \right.
Une telle équation différentielle ordinaire modélise un "oscillateur harmonique amorti forceˊ en reˊgime sinusoı¨dal{\color{red}{\textbf{oscillateur harmonique amorti forcé en régime sinusoïdal}}}".
Les deux conditions initiales associées à ce circuit sont les suivantes :
{uC(t=0)=0duCdt(t=0)=0\left\lbrace \begin{array}{rcl} u_C(t=0) & = & 0 \\ & & \\ \dfrac{d \, u_C}{dt}(t=0) & = & 0 \\ \end{array} \right.
La première de ces deux conditions initiales traduit, qu'au départ, le condensateur est déchargé (donc sans charges électriques sur ses armatures), et la seconde traduit que le circuit électrique ne transfert pas de courant électrique (donc pas de transfert électronique en cours à l'instant initial).

Déterminer le discriminant Δ\Delta associée à l'équation différentielle homogène.

Correction
Le discriminant Δ\Delta associée à l'équation différentielle homogène est :
Δ=(2Ω)24×1×ω02Δ=4Ω24ω02Δ=4(Ω2ω02)\Delta = (2\Omega)^2 - 4 \times 1 \times \omega_0^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \Delta = 4\Omega^2 - 4 \omega_0^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \Delta = 4 \left( \Omega^2 - \omega_0^2 \right)
On constate que Δ=4(Ω+ω0)(Ωω0)\Delta = 4 \left( \Omega + \omega_0 \right) \left( \Omega - \omega_0 \right). Donc le signe du discriminant Δ\Delta est le même que celui tu terme Ωω0\Omega - \omega_0.
Question 2

Déterminer les solutions homogènes uC,H(t)u_{C,H}(t) possibles.

Correction
Il y a donc trois cas possibles concernant les solutions homogènes uC,H(t)u_{C,H}(t) possibles. On a alors :
SiΔ>0{\color{blue}{\,\,\,\, \bullet \,\, Si \,\, \Delta > 0}}
Les deux racines réelles distinctes de l'équation caractéristique r2+2Ωr+ω02r^2 + 2\Omega \, r + \omega_0^2 sont :
{r1=2Ω+4(Ω2ω02)2r2=2Ω4(Ω2ω02)2{r1=2Ω+2Ω2ω022r2=2Ω2Ω2ω022\left\lbrace \begin{array}{rcl} r_1 & = & \dfrac{-2\Omega + \sqrt{4 \left( \Omega^2 - \omega_0^2 \right)}}{2} \\ & & \\ r_2 & = & \dfrac{-2\Omega - \sqrt{4 \left( \Omega^2 - \omega_0^2 \right)}}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} r_1 & = & \dfrac{-2\Omega + 2\sqrt{\Omega^2 - \omega_0^2 }}{2} \\ & & \\ r_2 & = & \dfrac{-2\Omega - 2\sqrt{\Omega^2 - \omega_0^2 }}{2} \\ \end{array} \right.
Soit :
{r1=Ω+Ω2ω02r2=ΩΩ2ω02\left\lbrace \begin{array}{rcl} r_1 & = & -\Omega + \sqrt{\Omega^2 - \omega_0^2 } \\ & & \\ r_2 & = & -\Omega - \sqrt{\Omega^2 - \omega_0^2 } \\ \end{array} \right.
Dans ce cas, avec AA et BB qui sont deux nombres réels, on a :
uC,H(t)=Aer1t+Ber2tuC,H(t)=Ae(Ω+Ω2ω02)t+Be(ΩΩ2ω02)tu_{C,H}(t) = A \, e^{r_1t} + B \, e^{r_2t} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, u_{C,H}(t) = A \, e^{\left(-\Omega + \sqrt{\Omega^2 - \omega_0^2 }\right)t} + B \, e^{\left(-\Omega - \sqrt{ \Omega^2 - \omega_0^2 }\right)t}
Soit :
uC,H(t)=AeΩteΩ2ω02t+BeΩteΩ2ω02tu_{C,H}(t) = A \, e^{-\Omega t} e^{\sqrt{\Omega^2 - \omega_0^2}\,t} + B \, e^{-\Omega t} e^{-\sqrt{ \Omega^2 - \omega_0^2 }\,t}
Soit encore :
uC,H(t)=eΩt(AeΩ2ω02t+BeΩ2ω02t){\color{blue}{\boxed{u_{C,H}(t) = e^{-\Omega t} \left( A \, e^{\sqrt{\Omega^2 - \omega_0^2}\,t} + B \, e^{ \sqrt{ \Omega^2 - \omega_0^2 }\,t} \right)}}}
SiΔ=0{\color{blue}{\,\,\,\, \bullet \bullet \,\, Si \,\, \Delta = 0}}
La racine réelle (double) de l'équation caractéristique r2+2Ωr+ω02r^2 + 2\Omega \, r + \omega_0^2 est :
rd=2Ω2rd=Ωr_d = \dfrac{-2\Omega}{2} \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, r_d = -\Omega
Dans ce cas, avec AA et BB qui sont deux nombres réels, on a :
uC,H(t)=(At+B)erdtu_{C,H}(t) = (At+B) \, e^{r_d t}
Soit :
uC,H(t)=(At+B)eΩt{\color{blue}{\boxed{u_{C,H}(t) = (At+B) \, e^{- \Omega t}}}}
SiΔ<0{\color{blue}{\,\,\,\, \bullet \bullet \bullet \,\, Si \,\,\Delta < 0}}
Les deux racines complexes conjuguées, donc distinctes, de l'équation caractéristique considéré r2+2Ωr+ω02r^2 + 2\Omega \, r + \omega_0^2 sont :
{r1=2Ω+i4(ω02Ω2)2r2=2Ωi4(ω02Ω2)2{r1=2Ω+2iω02Ω22r2=2Ω2iω02Ω22\left\lbrace \begin{array}{rcl} r_1 & = & \dfrac{-2\Omega + i \sqrt{4 \left( \omega_0^2 - \Omega^2 \right)}}{2} \\ & & \\ r_2 & = & \dfrac{-2\Omega - i \sqrt{4 \left( \omega_0^2 - \Omega^2 \right)}}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} r_1 & = & \dfrac{-2\Omega + 2i \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 }}{2} \\ & & \\ r_2 & = & \dfrac{-2\Omega - 2i \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 }}{2} \\ \end{array} \right.
Soit :
{r1=Ω+iω02Ω2r2=Ωiω02Ω2\left\lbrace \begin{array}{rcl} r_1 & = & -\Omega + i \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \\ & & \\ r_2 & = & -\Omega - i \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \\ \end{array} \right.
Dans ce cas, avec AA et BB qui sont deux nombres réels, on a :
uC,H(t)=eΩt(Acos(ω02Ω2t)+Bsin(ω02Ω2t)){\color{blue}{\boxed{u_{C,H}(t) = e^{-\Omega t} \left( A \, \cos\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) + B \, \sin\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) \right)}}}
Question 3

Déterminer la solution particulière uC,P(t)u_{C,P}(t).

Correction
Le second membre de l'EDO étudiée est ω02Ecos(ωt)\omega_0^2 E \cos(\omega t), c'est pourquoi on va choisir une solution particulière de la forme :
uC,P(t)=acos(ωt)+bsin(ωt)(a;b)R2u_{C,P}(t) = a \cos(\omega t) + b \sin(\omega t) \,\,\,\,\, (a\,;\,b) \in \mathbb{R}^2
De suite, on a :
{duC,Pdt(t)=aωsin(ωt)+bωcos(ωt)d2uC,Pdt2(t)=aω2cos(ωt)bω2sin(ωt)\left\lbrace \begin{array}{rcl} \dfrac{d \, u_{C,P}}{dt}(t) & = & - a \omega \sin(\omega t) + b \omega \cos(\omega t) \\ & & \\ \dfrac{d^2 \, u_{C,P}}{dt^2}(t) & = & - a \omega^2 \cos(\omega t) - b \omega^2 \sin(\omega t) \\ \end{array} \right.
L'EDO proposée devient :
aω2cos(ωt)bω2sin(ωt)+2Ω(aωsin(ωt)+bωcos(ωt))+ω02(acos(ωt)+bsin(ωt))=ω02Ecos(ωt)\begin{array}{l} - a \omega^2 \cos(\omega t) - b \omega^2 \sin(\omega t) + 2\Omega \, \left( - a \omega \sin(\omega t) + b \omega \cos(\omega t) \right) + \omega_0^2 \left( a \cos(\omega t) + b \sin(\omega t) \right) \\ = \omega_0^2 E \cos(\omega t) \end{array}
Soit :
(aω2+2bωΩ+aω02)cos(ωt)+(bω22aωΩ+aω02)sin(ωt)=ω02Ecos(ωt)+0sin(ωt)\begin{array}{l} \left( {\color{red}{- a \omega^2 + 2b \omega \Omega + a \omega_0^2}} \right) \cos(\omega t) + \left( {\color{blue}{- b \omega^2 - 2a \omega \Omega +a \omega_0^2}} \right) \sin(\omega t) \\ = {\color{red}{\omega_0^2 E}} \cos(\omega t) + {\color{blue}{0}} \sin(\omega t) \end{array}
D'où :
{aω2+2bωΩ+aω02=ω02Ebω22aωΩ+bω02=0{(ω02ω2)a+2Ωωb=ω02E2Ωωa+(ω02ω2)b=0\left\lbrace \begin{array}{rcl} {\color{red}{- a \omega^2 + 2b \omega \Omega + a \omega_0^2}} & = & {\color{red}{\omega_0^2 E}} \\ & & \\ {\color{blue}{- b \omega^2 - 2a \omega \Omega + b \omega_0^2}} & = & {\color{blue}{0}} \\ \end{array} \right. \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} (\omega_0^2 - \omega^2)a + 2\Omega\omega b & = & \omega_0^2 E \\ & & \\ -2\Omega\omega a + (\omega_0^2 - \omega^2) b & = & 0 \\ \end{array} \right.
Donc :
b=2Ωωω02ω2ab = \dfrac{2\Omega\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} a
Ce qui nous permet d'écrire que :
(ω02ω2)a+2Ωω2Ωωω02ω2a=ω02E(ω02ω2)a+4Ω2ω2ω02ω2a=ω02E(\omega_0^2 - \omega^2)a + 2\Omega\omega \dfrac{2\Omega\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} a = \omega_0^2 E \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, (\omega_0^2 - \omega^2)a + \dfrac{4\Omega^2\omega^2}{\omega_0^2 - \omega^2} a = \omega_0^2 E
Donc :
(ω02ω2)2ω02ω2a+4Ω2ω2ω02ω2a=ω02Ea(ω02ω2)2+4Ω2ω2ω02ω2=ω02E\dfrac{(\omega_0^2 - \omega^2)^2}{\omega_0^2 - \omega^2}a + \dfrac{4\Omega^2\omega^2}{\omega_0^2 - \omega^2} a = \omega_0^2 E \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, a \dfrac{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2}{\omega_0^2 - \omega^2} = \omega_0^2 E
Ce qui nous donne :
a=(ω02ω2)ω02E(ω02ω2)2+4Ω2ω2{\color{green}{\boxed{a = \dfrac{(\omega_0^2 - \omega^2)\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2}}}}
Ce qui implique que :
b=2Ωωω02ω2×(ω02ω2)ω02E<br/>(ω02ω2)2+4Ω2ω2b = \dfrac{2\Omega\omega}{\omega_0^2 - \omega^2} \times \dfrac{(\omega_0^2 - \omega^2)\omega_0^2 E }<br />{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2}
Ainsi :
b=2Ωωω02E(ω02ω2)2+4Ω2ω2{\color{green}{\boxed{b = \dfrac{2\Omega\omega\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} }}}
Donc la solution particulière est donc donnée par l'expression suivante :
uC,P(t)=ω02E(ω02ω2)2+4Ω2ω2((ω02ω2)cos(ωt)+2Ωωsin(ωt)){\color{blue}{\boxed{u_{C,P}(t) = \dfrac{\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} \left( (\omega_0^2 - \omega^2) \cos(\omega t) + 2\Omega\omega \sin(\omega t) \right) }}}
Question 4

Déterminer la solution générale physique uC(t)u_{C}(t) lorsque l'on a 12τ<ω0{\color{red}{\dfrac{1}{2\tau} < \omega_0}}.

Correction
La condition {\color{red}{12τ<ω0\dfrac{1}{2\tau} < \omega_0}} est strictement identique à {\color{red}{Ω<ω0\Omega < \omega_0}}. Ceci signifie que :
Ω2<ω02Ω2ω02<04(Ω2ω02)<0Δ<0\Omega^2 < \omega_0^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \Omega^2 - \omega_0^2 < 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 4(\Omega^2 - \omega_0^2) < 0 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \Delta < 0
Donc la solution globale mathématique recherchée est donnée par :
uC(t)=uC,H(t)+uC,P(t)u_{C}(t) = u_{C,H}(t) + u_{C,P}(t)
Donc :
uC(t)=eΩt(Acos(ω02Ω2t)+Bsin(ω02Ω2t))+ω02E(ω02ω2)2+4Ω2ω2((ω02ω2)cos(ωt)+2Ωωsin(ωt)){\color{blue}{\boxed{\begin{array}{rcl} u_{C}(t) & = & e^{-\Omega t} \left( A \, \cos\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) + B \, \sin\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) \right) \\ & + & \dfrac{\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} \left( (\omega_0^2 - \omega^2) \cos(\omega t) + 2\Omega\omega \sin(\omega t) \right) \\ \end{array} }}}
Il nous faut maintenant déterminer les deux constantes réelles AA et BB à l'aide des deux conditions initiales. On a alors, avec la première condition initiale uC(t=0)=0u_C(t=0) = 0, et en se souvenant que e0=1e^0 = 1, sin(0)=0\sin(0) = 0 et cos(0)=1\cos(0) = 1 :
0=A+(ω02ω2)ω02E(ω02ω2)2+4Ω2ω20 = A + \dfrac{(\omega_0^2 - \omega^2)\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2}
Donc :
A=(ω02ω2)ω02E(ω02ω2)2+4Ω2ω2{\color{green}{\boxed{A = - \dfrac{(\omega_0^2 - \omega^2)\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} }}}
Puis, par dérivation temporelle, on a :
duCdt(t)=ΩeΩt(Acos(ω02Ω2t)+Bsin(ω02Ω2t))+ω02Ω2eΩt(Asin(ω02Ω2t)+Bcos(ω02Ω2t))+ωω02E(ω02ω2)2+4Ω2ω2((ω02ω2)sin(ωt)+2Ωωcos(ωt))\begin{array}{rcl} \dfrac{d \, u_C}{dt}(t) & = & -\, \Omega \, e^{-\Omega t} \left( A \, \cos\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) + B \, \sin\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) \right) \\ & + & \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2} \, e^{-\Omega t} \left( -A \, \sin\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) + B \, \cos\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) \right) \\ & + & \dfrac{\omega\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} \left( -(\omega_0^2 - \omega^2) \sin(\omega t) + 2\Omega\omega \cos(\omega t) \right) \\ \end{array}
La seconde condition initiale est duCdt(t=0)=0\dfrac{d \, u_C}{dt}(t=0) = 0. Donc, on obtient :
0=ΩA+Bω02Ω2+2Ωω2ω02E(ω02ω2)2+4Ω2ω20 = - \Omega A + B \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2} + \dfrac{2 \Omega\omega^2\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2}
Soit encore :
B=1ω02Ω2(ΩA2Ωω2ω02E(ω02ω2)2+4Ω2ω2)B = \dfrac{1}{\sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2}} \left( \Omega A - \dfrac{2 \Omega\omega^2\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} \right)
En factorisant par Ω\Omega, on obtient :
B=Ωω02Ω2(A2ω2ω02E(ω02ω2)2+4Ω2ω2)B = \dfrac{\Omega}{\sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2}} \left( A - \dfrac{2 \omega^2\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} \right)
Dès lors :
B=Ωω02Ω2((ω02ω2)ω02E(ω02ω2)2+4Ω2ω22ω2ω02E(ω02ω2)2+4Ω2ω2)B = \dfrac{\Omega}{\sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2}} \left( - \dfrac{(\omega_0^2 - \omega^2)\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} - \dfrac{2 \omega^2\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} \right)
On obtient donc :
B=Ωω02Eω02Ω2((ω02ω2)(ω02ω2)2+4Ω2ω2+2ω2(ω02ω2)2+4Ω2ω2)B = \dfrac{-\Omega\omega_0^2 E}{\sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2}} \left( \dfrac{(\omega_0^2 - \omega^2) }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} + \dfrac{2 \omega^2 }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} \right)
En réduisant au même dénominateur :
B=Ωω02Eω02Ω2(ω02ω2+2ω2(ω02ω2)2+4Ω2ω2)B = \dfrac{-\Omega\omega_0^2 E}{\sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2}} \left( \dfrac{\omega_0^2 - \omega^2 + 2 \omega^2 }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} \right)
Soit :
B=Ωω02Eω02Ω2(ω02+ω2<br/>(ω02ω2)2+4Ω2ω2)B = \dfrac{-\Omega\omega_0^2 E}{\sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2}} \left( \dfrac{\omega_0^2 + \omega^2} <br />{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} \right)
D'où :
B=(ω02+ω2)Ωω02E((ω02ω2)2+4Ω2ω2)ω02Ω2{\color{green}{\boxed{B = -\dfrac{(\omega_0^2 + \omega^2)\Omega\omega_0^2 E}{\left( (\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2 \right) \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2}} }}}
Finalement, après factorisation, {\color{red}{\textbf{la solution globale physique}}} recherchée est donnée par l'expression suivante :
uC(t)=ω02EeΩt(ω02ω2)2+4Ω2ω2((ω02ω2)cos(ω02Ω2t)+(ω02+ω2)Ωω02Ω2sin(ω02Ω2t))+ω02E(ω02ω2)2+4Ω2ω2((ω02ω2)cos(ωt)+2Ωωsin(ωt)){\color{red}{\boxed{\begin{array}{l} u_{C}(t) = \\ - \dfrac{\omega_0^2 E \, e^{-\Omega t}}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} \left( (\omega_0^2 - \omega^2) \, \cos\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) + \dfrac{(\omega_0^2 + \omega^2)\Omega}{\sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2}} \, \sin\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) \right) \\ + \dfrac{\omega_0^2 E }{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\Omega^2\omega^2} \left( (\omega_0^2 - \omega^2) \cos(\omega t) + 2\Omega\omega \sin(\omega t) \right) \\ \end{array}}}}
Question 5

On se place maintenant dans le cas particulier pour lequel {\color{red}{ω=ω0\omega = \omega_0}}. Déterminer, dans ce cas précis, l'expression de la tension électrique aux bornes du condensateur uC(ω=ω0)(t)u_{C(\omega = \omega_0)}(t).

Correction
Si ω=ω0\omega = \omega_0, alors ω02ω2=0\omega_0^2 - \omega^2 = 0 et ω02+ω2=2ω02\omega_0^2 + \omega^2 = 2\omega_0^2.
Dans ce cas, on trouve que :
uC(t)=ω02EeΩt4Ω2ω022ω02Ωω02Ω2sin(ω02Ω2t)+ω02E4Ω2ω022Ωω0sin(ω0t)u_{C}(t) = - \dfrac{\omega_0^2 E \, e^{-\Omega t}}{4\Omega^2\omega_0^2} \dfrac{2\omega_0^2\Omega}{\sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2}} \, \sin\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) + \dfrac{\omega_0^2 E }{4\Omega^2\omega_0^2} 2\Omega\omega_0 \sin(\omega_0 t)
En simplifiant on obtient :
uC(t)=EeΩt2Ωω02ω02Ω2sin(ω02Ω2t)+E2Ωω0sin(ω0t)u_{C}(t) = - \dfrac{E \, e^{-\Omega t}}{2\Omega} \dfrac{\omega_0^2}{\sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2}} \, \sin\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) + \dfrac{E }{2\Omega}\omega_0 \sin(\omega_0 t)
Puis, en factorisant, on trouve que :
uC(t)=ω0E2Ω(sin(ω0t)ω0eΩtω02Ω2sin(ω02Ω2t))u_{C}(t) = \dfrac{\omega_0 E}{2\Omega} \left( \sin(\omega_0 t) - \dfrac{\omega_0 \, e^{-\Omega t}}{\sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2}} \, \sin\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) \right)
De plus, on a :
ω02Ω2=ω01Ω2ω02=ω01(Ωω0)2\sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2} = \omega_0 \sqrt{1 - \dfrac{\Omega^2}{\omega_0^2}} = \omega_0 \sqrt{1 - \left(\dfrac{\Omega}{\omega_0}\right)^2}
Ce qui nous donne :
uC(t)=ω0E2Ω(sin(ω0t)eΩt1(Ωω0)2sin(ω02Ω2t))u_{C}(t) = \dfrac{\omega_0 E}{2\Omega} \left(\sin(\omega_0 t) - \dfrac{e^{-\Omega t}}{\sqrt{1 - \left(\dfrac{\Omega}{\omega_0}\right)^2}} \, \sin\left( \sqrt{\omega_0^2 - \Omega^2 } \, t \right) \right)
Finalement, on obtient :
uC(ω=ω0)(t)=ω0E2Ω(sin(ω0t)eΩt1(Ωω0)2sin(1(Ωω0)2ω0t)){\color{red}{\boxed{u_{C(\omega = \omega_0)}(t) = \dfrac{\omega_0 E}{2\Omega} \left( \sin(\omega_0 t) - \dfrac{e^{-\Omega t}}{\sqrt{1 - \left(\dfrac{\Omega}{\omega_0}\right)^2}} \, \sin\left( \sqrt{1 - \left(\dfrac{\Omega}{\omega_0}\right)^2} \, \omega_0 t \right) \right)}}}
Question 6

Dans l'expression précédemment trouvée de uC(ω=ω0)(t)u_{C(\omega = \omega_0)}(t), donner l'expression de la partie uCT(ω=ω0)(t)u_{CT(\omega = \omega_0)}(t) qui modélise les oscillations transitoires. Puis, donner l'expression de uCE(ω=ω0)(t)u_{CE(\omega = \omega_0)}(t), qui modélise les oscillations électriques établies.

Correction
Dans la solution précédente, le terme associé aux oscillations transitoires uCT(ω=ω0)(t)u_{CT(\omega = \omega_0)}(t) est celui qui contient l'exponentielle décroissante. Donc il est donné par :
uCT(ω=ω0)(t)=ω0EeΩt2Ω1(Ωω0)2sin(1(Ωω0)2ω0t){\color{blue}{\boxed{u_{CT(\omega = \omega_0)}(t) = - \dfrac{\omega_0 E \, e^{-\Omega t}}{2\Omega\sqrt{1 - \left(\dfrac{\Omega}{\omega_0}\right)^2}} \, \sin\left( \sqrt{1 - \left(\dfrac{\Omega}{\omega_0}\right)^2} \, \omega_0 t \right) }}}
Puis, le terme du régime d'oscillations établies uCE(ω=ω0)(t)u_{CE(\omega = \omega_0)}(t) est donc donné par l'expression :
uCE(ω=ω0)(t)=ω0E2Ωsin(ω0t){\color{blue}{\boxed{u_{CE(\omega = \omega_0)}(t) = \dfrac{\omega_0 E}{2\Omega} \sin(\omega_0 t) }}}