Sujet $$4$$ - Exercice 1

Nous allons faire usage de l'écriture pratique de la "matrice augmentée".
On a :
$$(A_m|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} m+1 & m+1 & 2(m+1) & m^2 \\ 2m & 2m & 3m+1 & m \\ m-1 & 2m & 3m+1 & 1 \end{array} \right)$$
Effectuons les deux substitutions suivantes : $$L_1 \longleftarrow L_1 - L_3$$ et $$L_2 \longleftarrow L_2 - 2L_3$$. On obtient alors :
$$(A_m|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -m+1 & -m+1 & m^2 - 1 \\ 2 & -2m & -3m-1 & m - 2 \\ m-1 & 2m & 3m+1 & 1 \end{array} \right)$$
Effectuons maintenant les deux nouvelles substitutions suivantes : $$L_2 \longleftarrow L_2 - L_1$$ et $$L_3 \longleftarrow L_3 - \dfrac{m-1}{2}L_1$$. On obtient alors :
$$(A_m|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -m+1 & -m+1 & m^2 - 1 \\ 0 & -m-1 & -2m-2 & -m^2 + m - 1 \\ 0 & \dfrac{(m+1)^2}{2} & \dfrac{(m+1)(m+3)}{2} & \dfrac{-m^3 + m^2 + m +1}{2} \end{array} \right)$$
De manière identique on a :
$$(A_m|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -m+1 & -m+1 & m^2 - 1 \\ 0 & -(m+1) & -2m-2 & -m^2 + m - 1 \\ 0 & \dfrac{(m+1)^2}{2} & \dfrac{(m+1)(m+3)}{2} & \dfrac{-m^3 + m^2 + m +1}{2} \end{array} \right)$$
Ainsi, effectuons la transformation $$L_3 \longleftarrow L_3 + \dfrac{m+1}{2}L_2$$. On obtient alors :
$$(A_m|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -m+1 & -m+1 & m^2 - 1 \\ 0 & -(m+1) & -2m-2 & -m^2 + m - 1 \\ 0 & 0 & -\dfrac{(m+1)(m-1)}{2} & -\dfrac{m(m-1)(2m+1)}{2} \end{array} \right)$$
On observe alors que nous allons devoir discuter les deux valeurs de $$m$$ qui sont $$m=-1$$ et $$m=1$$.
$${\color{red}{{\bf{\bullet \,\, Premier \,\, cas \, : \,\,}} m = -1}}$$
Dans ce cas le système linéaire prend une forme remarquable qui se traduit par la matrice augmentée $$(A_{-1}|B)$$ suivante :
$$(A_{-1}|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$
Cette situation correspond au système linéaire suivant :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} 2x + 2y + 2z & = & 0 \\ 0x + 0y + 0z & = & -3 \\ 0x + 0y + 0z & = & 1 \\ \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} x + y + z & = & 0 \\ 0x + 0y + 0z & = & -3 \\ 0x + 0y + 0z & = & 1 \\ \end{array} \right.$$
Les trois égalités sont clairement incompatibles entre-elles. On en déduit alors que le système linéaire $$(S_{-1})$$ n'admet pas de solution.
$${\color{red}{{\bf{\bullet \bullet \,\, Deuxième \,\, cas \, : \,\,}} m = 1}}$$
Dans ce cas le système linéaire prend une forme remarquable qui se traduit par la matrice augmentée $$(A_{1}|B)$$ suivante :
$$(A_1|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -4 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$$
Cette situation correspond au système linéaire suivant :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} 2x + 0y + 0z & = & 0 \\ 0x - 2y - 4z & = & -1 \\ 0x + 0y + 0z & = & 0 \\ \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcr} x + 0y + 0z & = & 0 \\ \\ 0x + y + 2z & = & \dfrac{1}{2} \\ \\ 0x + 0y + 0z & = & 0 \\ \end{array} \right.$$
Dans ce cas, le système linéaire $$(S_1)$$ admet les solutions suivantes :
$$x = 0 \,\, ;\,\, y = \dfrac{1}{2} - 2z \,\, ;\,\, z \in \mathbb{R}$$
$${\color{red}{{\bf{\bullet \bullet \bullet \,\, Troisième \,\, cas \, : \,\,}} m \neq 1 \,\, {\bf{et}} \,\, m \neq -1 }}$$
Dans ce cas, on a :
$$(A_{m \neq \pm 1}|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -m+1 & -m+1 & m^2 - 1 \\ 0 & -(m+1) & -2(m+1) & -m^2 + m - 1 \\ 0 & 0 & -\dfrac{(m+1)(m-1)}{2} & -\dfrac{m(m-1)(2m+1)}{2} \end{array} \right)$$
Effectuons (et nous avons le droit parce que $$m \neq -1$$ par hypothèse) alors la transformation $$L_2 \longleftarrow - \dfrac{1}{m+1}L_2$$. On obtient alors l'expression suivante :
$$(A_{m \neq \pm 1}|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -m+1 & -m+1 & m^2 - 1 \\ 0 & 1 & 2 & \dfrac{m^2 - m + 1}{m+1} \\ 0 & 0 & -\dfrac{(m+1)(m-1)}{2} & -\dfrac{m(m-1)(2m+1)}{2} \end{array} \right)$$
Effectuons maintenant (et nous avons le droit parce que $$m \neq \pm 1$$ par hypothèse) alors la transformation $$L_3 \longleftarrow - \dfrac{2}{(m+1)(m-1)}L_3$$. On obtient alors l'expression suivante :
$$(A_{m \neq \pm 1}|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -m+1 & -m+1 & m^2 - 1 \\ 0 & 1 & 2 & \dfrac{m^2 - m + 1}{m+1} \\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{m(2m+1)}{m+1} \end{array} \right)$$
A ce stade, effectuons la transformation $$L_2 \longleftarrow L_2 - 2L_3$$. On a alors :
$$(A_{m \neq \pm 1}|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -(m-1) & -(m-1) & m^2 - 1 \\ 0 & 1 & 0 & \dfrac{-3m^2 - 3m + 1}{m+1} \\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{m(2m+1)}{m+1} \end{array} \right)$$
Puis effectuons la transformation $$L_1 \longleftarrow L_1 + (m-1)L_3$$. On a alors :
$$(A_{m \neq \pm 1}|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & -(m-1) & 0 & \dfrac{(m-1)(3m^2+3m+1)}{m+1} \\ \\ 0 & 1 & 0 & \dfrac{-3m^2 - 3m + 1}{m+1} \\ \\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{m(2m+1)}{m+1} \end{array} \right)$$
Dès lors effectuons la transformation $$L_1 \longleftarrow L_1 + (m-1)L_2$$. On a alors :
$$(A_{m \neq \pm 1}|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 0 & \dfrac{2(m-1)}{m+1} \\ \\ 0 & 1 & 0 & \dfrac{-3m^2 - 3m + 1}{m+1} \\ \\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{m(2m+1)}{m+1} \end{array} \right)$$
En effet, on a :
$$\begin{array}{l} \dfrac{(m-1)(3m^2+3m+1)}{m+1} + (m-1)\dfrac{-3m^2 - 3m + 1}{m+1} \\ \\ = \dfrac{3m^3+3m^2+m-3m^2-3m-1-3m^3-3m^2+m+3m^2+3m-1}{m+1} \\ \\ = \dfrac{2m-2}{m+1} \\ \\ = \dfrac{2(m-1)}{m+1}\end{array}$$
Enfin, effectuons la transformation suivante : $$L_2 \longleftarrow \dfrac{1}{2}L_2$$. On obtient alors :
$$(A_{m \neq \pm 1}|B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \dfrac{m-1}{m+1} \\ \\ 0 & 1 & 0 & \dfrac{-3m^2 - 3m + 1}{m+1} \\ \\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{m(2m+1)}{m+1} \end{array} \right)$$
Finalement, on peut conclure que le système linéaire $$(S_{m \neq \pm 1})$$ admet l'unique solution suivante :
$$x = \dfrac{m-1}{m+1} \,\, ;\,\, y = \dfrac{-3m^2 - 3m + 1}{m+1} \,\, ;\,\, z = \dfrac{m(2m+1)}{m+1}$$