Déterminant et systèmes linéaires

Sujet 22 - Exercice 1

40 min
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On désigne par α\alpha, β\beta, γ\gamma et δ\delta quatre nombres réels.
On désigne par aa, bb, cc et dd quatre nombres réels.
On désigne par (S)(S) le système linéaire suivant :
{a−2b−6d=α−3a+c+d=β−5a+b−2c+d=γ−2c−2d=δ\left\lbrace \begin{array}{rrrcr} a - 2b - 6d & = & \alpha \\ -3a + c + d & = & \beta \\ -5a + b - 2c + d & = & \gamma \\ - 2c - 2d & = & \delta \end{array} \right.
Question 1

Résoudre le système linéaire (S)(S).

Correction
On a le système linéaire (S)(S) suivant :
{a−2b−6d=α−3a+c+d=β−5a+b−2c+d=γ−2c−2d=δ\left\lbrace \begin{array}{rrrcr} a - 2b - 6d & = & \alpha \\ -3a + c + d & = & \beta \\ -5a + b - 2c + d & = & \gamma \\ - 2c - 2d & = & \delta \end{array} \right.
Ecrivons ce système sous la forme matricielle suivante :
AX=BA X = B
Avec :
A=(1−20−6−3011−51−2100−2−2)A = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & - 2 & 0 & - 6 \\ {\color{blue}{-3}} & {\color{blue}{0}} & {\color{blue}{1}} & 1 \\ {\color{blue}{-5}} & {\color{blue}{1}} & {\color{blue}{- 2}} & 1 \\ {\color{blue}{0}} & {\color{blue}{0}} & {\color{blue}{- 2}} & - 2 \end{array} \right)
X=(abcd)X = \left( \begin{array}{r} a \\ b \\ c \\ d \end{array} \right)
B=(αβγδ)B = \left( \begin{array}{r} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \end{array} \right)
On constate que det⁡A=0\det A = 0 donc rang(A)≠4\mathrm{rang}(A) \neq 4 et le système n'est pas de CramerCramer.
Cependant on remarque que la matrice A′{\color{blue}{A'}} suivante A′=(−301−51−200−2){\color{blue}{A'}} = \left( \begin{array}{rrr} {\color{blue}{-3}} & {\color{blue}{0}} & {\color{blue}{1}} \\ {\color{blue}{-5}} & {\color{blue}{1}} & {\color{blue}{- 2}} \\ {\color{blue}{0}} & {\color{blue}{0}} & {\color{blue}{- 2}} \end{array} \right) est caractérisée par det⁡A′=6\det {\color{blue}{A'}} = 6. Cette matrice est donc inversible et est associée au système linéaire (S′)(S') suivant :
{−3a+c=β−d−5a+b−2c=γ−d−2c=δ+2d\left\lbrace \begin{array}{rcl} -3a + c & = & \beta - d \\ -5a + b - 2c & = & \gamma - d \\ - 2c & = & \delta + 2d \end{array} \right.
Ce système va également s'écrire comme :
{−3a+c=β−d−5a+b−2c=γ−dc=−δ2−d\left\lbrace \begin{array}{rcl} -3a + c & = & \beta - d \\ -5a + b - 2c & = & \gamma - d \\ c & = & -\dfrac{\delta}{2} - d \end{array} \right.
Ainsi :
{−3a−δ2−d=β−d−5a+b+(δ+2d)=γ−dc=−δ2−d   ⟺   {−3a=β−d+δ2+d−5a+b+δ+2d=γ−dc=−δ2−d\left\lbrace \begin{array}{rcl} -3a -\dfrac{\delta}{2} - d & = & \beta - d \\ -5a + b + (\delta + 2d) & = & \gamma - d \\ c & = & -\dfrac{\delta}{2} - d \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} -3a & = & \beta - d +\dfrac{\delta}{2} + d \\ -5a + b + \delta + 2d & = & \gamma - d \\ c & = & -\dfrac{\delta}{2} - d \end{array} \right.
Donc :
{−3a=β+δ2b=γ−d−2d−δ+5ac=−δ2−d   ⟺   {−3a=2β2+δ2b=γ−3d−δ+5ac=−δ2−d\left\lbrace \begin{array}{rcl} -3a & = & \beta + \dfrac{\delta}{2} \\ b & = & \gamma - d - 2d - \delta + 5a \\ c & = & -\dfrac{\delta}{2} - d \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} -3a & = & \dfrac{2\beta}{2} + \dfrac{\delta}{2} \\ b & = & \gamma - 3d - \delta + 5a \\ c & = & -\dfrac{\delta}{2} - d \end{array} \right.
Ainsi :
{a=−2β+δ6b=γ−δ+5a−3dc=−δ2−d   ⟺   {a=−2β+δ6b=γ−δ+5(−2β+δ6)−3dc=−δ2−d\left\lbrace \begin{array}{rcl} a & = & -\dfrac{2\beta + \delta}{6} \\ \\ b & = & \gamma - \delta + 5a - 3d \\ \\ c & = & -\dfrac{\delta}{2} - d \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} a & = & -\dfrac{2\beta + \delta}{6} \\ \\ b & = & \gamma - \delta + 5\left( -\dfrac{2\beta + \delta}{6} \right) - 3d \\ \\ c & = & -\dfrac{\delta}{2} - d \end{array} \right.
Soit :
{a=−2β+δ6b=γ−δ−(10β+5δ6)−3dc=−δ2−d   ⟺   {a=−2β+δ6b=6γ6−6δ6−10β+5δ6−18d6c=−δ2−d\left\lbrace \begin{array}{rcl} a & = & -\dfrac{2\beta + \delta}{6} \\ \\ b & = & \gamma - \delta - \left( \dfrac{10\beta + 5\delta}{6} \right) - 3d \\ \\ c & = & -\dfrac{\delta}{2} - d \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} a & = & -\dfrac{2\beta + \delta}{6} \\ \\ b & = & \dfrac{6\gamma}{6} - \dfrac{6\delta}{6} - \dfrac{10\beta + 5\delta}{6} - \dfrac{18d}{6} \\ \\ c & = & -\dfrac{\delta}{2} - d \end{array} \right.
Ce qui nous donne :
{a=−2β+δ6b=6γ−6δ−10β−5δ−18d6c=−δ2−d\left\lbrace \begin{array}{rcl} a & = & -\dfrac{2\beta + \delta}{6} \\ \\ b & = & \dfrac{6\gamma - 6\delta - 10\beta - 5\delta - 18d}{6} \\ \\ c & = & -\dfrac{\delta}{2} - d \end{array} \right.
Ce qui nous autorise à écrire que :
{a=−2β+δ6b=6γ−10β−11δ−18d6c=−δ2−d    avec d∈R\left\lbrace \begin{array}{rcl} a & = & -\dfrac{2\beta + \delta}{6} \\ \\ b & = & \dfrac{6\gamma - 10\beta - 11\delta - 18d}{6} \\ \\ c & = & -\dfrac{\delta}{2} - d \end{array} \right. \,\,\,\, \mathrm{avec} \, d \in \mathbb{R}
Ceci solutionne la résolution du système linéaire (S′)(S'). Ainsi, la première équation du système linéaire (S)(S) devient :
a−2b−6d=α   ⟺   −2β+δ6−2(6γ−10β−11δ−18d6)−6d=αa - 2b - 6d = \alpha \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -\dfrac{2\beta + \delta}{6} -2\left( \dfrac{6\gamma - 10\beta - 11\delta - 18d}{6} \right) - 6d = \alpha
Soit :
−2β+δ6−(12γ−20β−22δ−36d6)−36d6=α   ⟺   −2β−δ−12γ+20β+22δ+36d−36d6=α-\dfrac{2\beta + \delta}{6} -\left( \dfrac{12\gamma - 20\beta - 22\delta - 36d}{6} \right) - \dfrac{36d}{6} = \alpha \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{-2 \beta - \delta - 12\gamma + 20\beta + 22\delta + 36d - 36d}{6} = \alpha
Soit encore :
−12γ+18β+21δ6=α   ⟺   3×(−4γ+6β+7δ)3×2=α   ⟺   −4γ+6β+7δ2=α\dfrac{- 12\gamma + 18\beta + 21\delta}{6} = \alpha \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{3 \times (- 4\gamma + 6\beta + 7\delta)}{3 \times 2} = \alpha \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{- 4\gamma + 6\beta + 7\delta}{2} = \alpha
Ainsi :
−4γ+6β+7δ=2α- 4\gamma + 6\beta + 7\delta = 2\alpha
Finalement, on en déduit que l'on doit absolument avoir la condition suivante :
2α+4γ−6β−7δ=02\alpha + 4\gamma - 6\beta - 7\delta = 0
En conclusion :
∙  Si  2α−6β+4γ−7δ=0  alors  les  solutions  du  systeˋme  lineˊaire  (S)  sont  donneˊes  par :{\color{red}{\bullet \,\, Si \,\, 2\alpha - 6\beta + 4\gamma - 7\delta = 0 \,\, alors \,\, les \,\, solutions \,\, du \,\, système \,\, linéaire \,\, (S) \,\, sont \,\, données \,\, par \, :}}
{a=−2β+δ6b=6γ−10β−11δ−18d6c=−δ2−dd∈R{\color{red}{\left\lbrace \begin{array}{rcl} a & = & -\dfrac{2\beta + \delta}{6} \\ \\ b & = & \dfrac{6\gamma - 10\beta - 11\delta - 18d}{6} \\ \\ c & = & -\dfrac{\delta}{2} - d \\ \\ d & \in & \mathbb{R} \end{array} \right.}}
∙∙  Si  2α−6β+4γ−7δ≠0  alors  le  systeˋme  lineˊaire  (S)  n′a  pas  de  solution.{\color{red}{\bullet \bullet\,\, Si \,\, 2\alpha - 6\beta + 4\gamma - 7\delta \neq 0 \,\, alors \,\, le \,\, système \,\, linéaire \,\, (S) \,\, n'a \,\, pas \,\, de \,\, solution.}}