Sujet $$1$$ : mise en route - Exercice 4

On a :
$$A = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ -b & a & -d & c \\ -c & d & a & -b \\ -d & -c & b & a \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_4(\mathbb{R})$$
Donc :
$$^tA = \begin{pmatrix} a & -b & -c & -d \\ b & a & d & -c \\ c & -d & a & b \\ d & c & -b & a \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_4(\mathbb{R})$$
Ainsi :
$$A \times \, ^tA = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ -b & a & -d & c \\ -c & d & a & -b \\ -d & -c & b & a \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a & -b & -c & -d \\ b & a & d & -c \\ c & -d & a & b \\ d & c & -b & a \end{pmatrix}$$
Soit :
$$A \times \, ^tA = \begin{pmatrix} a^2+b^2+c^2+d^2 & -ab + ab - cd + cd & -ac + bd + ac -bd & -ad -bc + bc +ad \\ -ab + ab -cd +cd & a^2+b^2+c^2+d^2 & bc + ad -ad-bc & bd -ac -bd +ac \\ -ac + bd + ac -bd & bc +ad -ad-bc & a^2+b^2+c^2+d^2 & cd -cd + ab - ab \\ -ad -bc + bc + ad & bd -ac -bd +ac & cd -cd+ab -ab & a^2+b^2+c^2+d^2 \end{pmatrix}$$
Ce qui nous donne donc :
$$A \times \, ^tA = \begin{pmatrix} a^2+b^2+c^2+d^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a^2+b^2+c^2+d^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a^2+b^2+c^2+d^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a^2+b^2+c^2+d^2 \end{pmatrix}$$
Soit :
$$A \times \, ^tA = (a^2+b^2+c^2+d^2) \times \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Soit encore :

On sait que :
$$A \times \, ^tA = (a^2+b^2+c^2+d^2) \times I_4$$
Donc :
$$\det (A \times \, ^tA) = \det \big((a^2+b^2+c^2+d^2) \times I_4 \big)$$
Ce qui nous donne :
$$\det A \times \det (^tA) = (a^2+b^2+c^2+d^2)^4 \times \det I_4$$
Mais $$\det I_4 = 1$$. Donc :
$$\det A \times \det (^tA) = (a^2+b^2+c^2+d^2)^4 \times 1$$
Donc :
$$\det A \times \det (^tA) = (a^2+b^2+c^2+d^2)^4$$
Cependant, on sait que $$\det A = \det (^tA)$$. Ceci nous permet d'écrire :
$$\det A \times \det A = (a^2+b^2+c^2+d^2)^4$$
Ce qui nous donne :
$$\big( \det A \big)^2 = (a^2+b^2+c^2+d^2)^4$$
Ceci peut également être écrit sous la forme :
$$\big( \det A \big)^2 = \big( (a^2+b^2+c^2+d^2)^2 \big)^2$$
On en déduit donc que :
$$\det A = \pm (a^2+b^2+c^2+d^2)^2$$
Cependant, si nous calculons directement le déterminant de la matrice $$A$$ en développant suivant la première colonne, nous aurions comme début de séquence calculatoire :
$$\det A = (-1)^{1+1} \times a \times \det\begin{pmatrix} a & -d & c \\ d & a & -b \\ -c & b & a \end{pmatrix} + ...$$
Ce qui nous donne également :
$$\det A = a \times \det\begin{pmatrix} a & -d & c \\ d & a & -b \\ -c & b & a \end{pmatrix} + ...$$
D'où :
$$\det A = a \times (-1)^{1+1} \times a \times \det\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} + ...$$
Soit :
$$\det A = a\times a \times (a^2+b^2) + ...$$
Soit encore :
$$\det A = a^2 \times (a^2+b^2) + ...$$
Ainsi le déterminant de la matrice $$A$$ débute par la séquence :
$$\det A = a^4 + a^2b^2 + ...$$
Mais, on constate que ceci est possible uniquement si on conserve la solution $$+$$ (car la $$-$$ ne permet pas ce début de séquence calculatoire) dans l'expression précédemment établie $$\det A = \pm (a^2+b^2+c^2+d^2)^2$$.
Finalement, on peut donc affirmer que :