Sujet $$1$$ : mise en route - Exercice 3

On a :
$$d = \begin{vmatrix} -a & b & 1 \\ 1 & -a & b \\ b & 1 & -a \\ \end{vmatrix}$$
On remarque que la somme de tous les éléments présents sur une ligne fait $$1+b-a$$ pour toutes les lignes.
Donc on va réaliser la substitution suivante : $$C_1 \longleftarrow C_1 + C_2 + C_3$$. Ainsi on obtient :
$$d = \begin{vmatrix} 1+b-a & b & 1 \\ 1+b-a & -a & b \\ 1+b-a & 1 & -a \\ \end{vmatrix}$$
Nous allons donc pouvoir factoriser par le terme $$1+b-a$$ car il est la valeur de tous les éléments présents dans la première colonne. Donc :
$$d = (1+b-a) \begin{vmatrix} 1 & b & 1 \\ 1 & -a & b \\ 1 & 1 & -a \\ \end{vmatrix}$$
On va maintenant effectuer les deux transformations suivantes : $$L_2 \longleftarrow L_1 - L_2$$ et $$L_3 \longleftarrow L_1 - L_3$$. Donc on trouve que :
$$d = (1+b-a) \begin{vmatrix} 1 & b & 1 \\ 0 & b+a & 1-b \\ 0 & b-1 & 1+a \\ \end{vmatrix}$$
On remarque que la première colonne n'a que son premier élément de non nul. Donc on va développer le déterminant $$d$$ selon cette première colonne. On a alors :
$$d = (1+b-a) \times (-1)^{1+1} \times 1 \times \begin{vmatrix} b+a & 1-b \\ b-1 & 1+a \\ \end{vmatrix} = (1+b-a) \times \begin{vmatrix} b+a & 1-b \\ b-1 & 1+a \\ \end{vmatrix}$$
Ce qui nous donne :
$$d = (1+b-a) \times ((b+a)(1+a) - (b-1)(1-b)) = (1+b-a) \times ((b+a)(1+a) + (b-1)(b-1))$$
De fait :
$$d = (1+b-a) \times ((b+a)(1+a) + (b-1)^2) = (1+b-a) \times (b + ab + a + a^2 + b^2-2b+1)$$
Finalement :