Sujet $$1$$ : mise en route - Exercice 2

On a le système linéaire suivant :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} 2a + 3b - 5c & = & 1 \\ a - c & = & 2 \\ b + c & = & 0 \\ a + b - c & = & 4 \\ \end{array} \right.$$
La matrice augmentée associée est :
$$\left( \begin{array}{rrr|r} 2 & 3 & -5 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 4 \end{array} \right)$$
Commençons par permuter les lignes $$L_1$$ et $$L_2$$ entre elles. On a alors :
$$\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 4 \end{array} \right)$$
A ce stade, effectuons les deux substitutions suivantes : $$L_2 \longleftarrow L_2 - 2 L_1$$ et $$L_4 \longleftarrow L_4 - L_1$$. On a alors :
$$\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{array} \right)$$
Puis, permutons les lignes $$L_2$$ et $$L_4$$ entre elles. On a alors :
$$\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & -3 & -3 \end{array} \right)$$
Maintenant, effectuons les deux substitutions suivantes : $$L_3 \longleftarrow L_3 - L_2$$ et $$L_4 \longleftarrow L_4 - 3L_2$$. On a alors :
$$\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -3 & -9 \end{array} \right)$$
Dès lors effectuons $$L_4 \longleftarrow L_4 + 3L_3$$. Ceci nous donne donc :
$$\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ {\color{red}{\bf{0}}} & {\color{red}{\bf{0}}} & {\color{red}{\bf{0}}} & {\color{red}{\bf{-15}}} \end{array} \right)$$
La quatrième et dernière ligne (la $${\color{red}{\bf{ligne}}}$$ en $${\color{red}{\bf{rouge}}}$$) s'exprime comme $$0a + 0b + 0c = -15$$. Ceci est rigoureusement $${\color{red}{\bf{impossible}}}$$. De fait, le système linéaire $$(S)$$ proposé n'a pas de solution.