Méthode de Cramer : systèmes linéaires $$3\times 3$$ - Exercice 4

On a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcr} a - b + c & = & 1 \\ 2a + 3b + c & = & 6 \\ a - 2b + 3c & = & 2 \\ a - 2b - 4c & = & \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, AX = B$$
Donc la matrice $$A$$ est donnée par l'expression :
$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & -2 & -4 \end{pmatrix}$$
Cette matrice n'est pas inversible et le système $$(S)$$ n'est pas de $$Cramer$$.
Cependant on remarque que la matrice $$A' = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$$ à un déterminant non nul donc elle est inversible. En effet, on a :
$$\det A' = \det \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} = 9$$.
Ceci implique que le système linéaire $$(S')$$ suivant $$\left\lbrace \begin{array}{rcr} a - b + c & = & 1 \\ 2a + 3b + c & = & 6 \\ a - 2b + 3c & = & 2 \end{array}\right.$$ est de $$Cramer$$.
On a donc :
$$a = \dfrac{\det \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 6 & 3 & 1 \\ 2 & -2 & 3 \end{pmatrix}}{\det A'} = \dfrac{9}{9} = 1$$
Puis :
$$b = \dfrac{\det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 6 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}}{\det A'} = \dfrac{9}{9} = 1$$
Enfin :
$$c = \dfrac{\det \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 6 \\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix}}{\det A'} = \dfrac{9}{9} = 1$$
Les valeurs trouvées, à savoir $$a=b=c=1$$ solutionnent le système linéaire $$(S)$$ uniquement si elles permettent de vérifier la quatrième égalité du système linéaire $$(S)$$. On a alors :
$$a - 2b - 4c = 3 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 - 2 - 4 = 3 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, - 5 = 3$$
Ce qui est manifestement FAUX !
En conclusion, le système linéaire $$(S)$$ n'admet pas de solution.