Déterminant et systèmes linéaires

Méthode de Cramer : systèmes linéaires 3×33\times 3 - Exercice 2

20 min
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Soient aa, bb et cc trois nombres réels. On désigne par (S)(S) le système linéaire suivant :
{2a+b−c=3a+3b+c=−13a+b−3c=2\left\lbrace \begin{array}{rcr} 2a + b - c & = & 3 \\ a + 3b + c & = & -1 \\ 3a + b - 3c & = & 2 \end{array} \right.
Question 1

Déterminer la matrice AA associée au système linéaire (S)(S).

Correction
On a le système linéaire suivant :
{2a+b−c=3a+3b+c=−13a+b−3c=2\left\lbrace \begin{array}{rcr} 2a + b - c & = & 3 \\ a + 3b + c & = & -1 \\ 3a + b - 3c & = & 2 \end{array} \right.
Donc :
A=(21−113131−3)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & -3 \end{pmatrix}

Question 2

Déterminer la valeur de det⁡A\det A.

Correction
On a (suivant le développement selon la première colonne) :
det⁡A=det⁡(21−113131−3)=(−1)1+1×2×∣311−3∣+(−1)2+1×1×∣1−11−3∣+(−1)3+1×3×∣1−131∣\det A = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & -3 \end{pmatrix} = (-1)^{1+1} \times 2 \times \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} + (-1)^{2+1} \times 1 \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} + (-1)^{3+1} \times 3 \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}
Soit :
det⁡A=det⁡(21−113131−3)=2×∣311−3∣−∣1−11−3∣+3×∣1−131∣\det A = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & -3 \end{pmatrix} = 2 \times \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} + 3 \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}
Soit encore :
det⁡A=det⁡(21−113131−3)=2×(−9−1)−(−3+1)+3×(1+3)\det A = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & -3 \end{pmatrix} = 2 \times (-9-1) - (-3+1) + 3 \times (1+3)
Donc :
det⁡A=det⁡(21−113131−3)=2×(−10)−(−2)+3×4\det A = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & -3 \end{pmatrix} = 2 \times (-10) - (-2) + 3 \times 4
Ce qui nous donne :
det⁡A=det⁡(21−113131−3)=−20+2+12\det A = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & -3 \end{pmatrix} = -20 + 2 + 12
Donc :
det⁡A=det⁡(21−113131−3)=−20+14\det A = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & -3 \end{pmatrix} = -20 + 14
Finalement :
det⁡A=−6\det A = -6

Question 3

Déterminer les solutions réelles du système linéaire (S)(S).

Correction
On a le système linéaire (S)(S) suivant :
{2a+b−c=3a+3b+c=−13a+b−3c=2\left\lbrace \begin{array}{rcr} 2a + b - c & = & {\color{blue}{3}} \\ a + 3b + c & = & {\color{blue}{-1}} \\ 3a + b - 3c & = & {\color{blue}{2}} \end{array} \right.
Donc on a :
a=det⁡(31−1−13121−3)det⁡A=−24−6=4×−6−6=4×1=4a = \dfrac{ \det \begin{pmatrix} {\color{blue}{3}} & 1 & -1 \\ {\color{blue}{-1}} & 3 & 1 \\ {\color{blue}{2}} & 1 & -3 \end{pmatrix} }{\det A} = \dfrac{-24}{-6} = 4 \times \dfrac{-6}{-6} = 4 \times 1 = 4
Puis :
b=det⁡(23−11−1132−3)det⁡A=15−6=−5×32×3=−52b = \dfrac{ \det \begin{pmatrix} 2 & {\color{blue}{3}} & -1 \\ 1 & {\color{blue}{-1}} & 1 \\ 3 & {\color{blue}{2}} & -3 \end{pmatrix} }{\det A} = \dfrac{15}{-6} = -\dfrac{5 \times 3}{2 \times 3} = -\dfrac{5}{2}
Enfin :
c=det⁡(21313−1312)det⁡A=−15−6=−15−6=5×32×3=52c = \dfrac{ \det \begin{pmatrix} 2 & 1 & {\color{blue}{3}} \\ 1 & 3 & {\color{blue}{-1}} \\ 3 & 1 & {\color{blue}{2}} \end{pmatrix} }{\det A} = \dfrac{-15}{-6} = \dfrac{-15}{-6} = \dfrac{5 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{5}{2}
Finalement, les solutions du système linéaire (S)(S) sont :
{a=4b=−52c=52\left\lbrace \begin{array}{rcr} a & = & {\color{green}{\bf{4}}} \\ \\ b & = & {\color{green}{\bf{-\dfrac{5}{2}}}} \\ \\ c & = & {\color{green}{\bf{\dfrac{5}{2}}}} \end{array} \right.