Méthode de Cramer : systèmes linéaires 2×2 - Exercice 2
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Question 1
Discuter et résoudre le système d’inconnue (x,y)∈R2 et de paramètre m∈R . S1:{mx4x++y2y==0−1
Correction
Première étape : Ecrivons le système sous forme matricielle. Le système S1 s'écrit sous forme matricielle AX=B avec A=(m412) ; X=(xy) et B=(0−1) . Deuxième étape : Calculons le déterminant de A .
Soit A=(acbd) une matrice carrée d'ordre 2. On appelle deˊterminant de A le nombre det(A)=a×d−b×c
Nous avons A=(m412) Ainsi : det(A)=m×2−1×4 det(A)=2m−4 Le système est de Cramer si et seulement si ce déterminant est non nul, donc 2m−4=0⟺m=2 Premier cas : si m=2 le système est de Cramer et il admet donc un unique couple solution. Calcul de x: x=det(A)Δx où Δx=∣∣0−112∣∣ . Ainsi : Δx=0×2−(−1)×1 d'où Δx=1. Il en résulte donc que :
x=2m−41
. Calcul de y: y=det(A)Δy où Δy=∣∣m40−1∣∣ . Ainsi : Δy=m×(−1)−4×0 d'où Δy=−m. Il en résulte donc que :
y=2m−4−m
.
Deuxième cas : Si m=2, le système linéaire s'écrit alors : S1:{2x4x++y2y==0−1 S1:{2x+y0==0−2L1L2⟵L2−2L1 L'équation 0=−2 est une une équation fausse. Le système S1 est alors incompatible. Il n'y a donc pas de solution.
Conclusion :
Si m=2 le système admet un unique couple solution
(x;y)={(2m−41;2m−4−m)}
Si m=2 le système n'admet pas de solution.
Question 2
Discuter et résoudre le système d’inconnue (x,y)∈R2 et de paramètre m∈R . S2:{mx2mx++3ymy==25
Correction
Première étape : Ecrivons le système sous forme matricielle. Le système S2 s'écrit sous forme matricielle AX=B avec A=(m2m3m) ; X=(xy) et B=(25) . Deuxième étape : Calculons le déterminant de A .
Soit A=(acbd) une matrice carrée d'ordre 2. On appelle deˊterminant de A le nombre det(A)=a×d−b×c
Nous avons A=(m2m3m) Ainsi : det(A)=m×m−3×2m det(A)=m2−6m Le système est de Cramer si et seulement si ce déterminant est non nul, donc m2−6m=0⟺m(m−6)=0⟺m=0 et m=6 Premier cas : si m∈R\{0;6} le système est de Cramer et il admet donc un unique couple solution. Calcul de x: x=det(A)Δx où Δx=∣∣253m∣∣ . Ainsi : Δx=2×m−5×3 d'où Δx=2m−15. Il en résulte donc que :
x=m2−6m2m−15
. Calcul de y: y=det(A)Δy où Δy=∣∣m2m25∣∣ . Ainsi : Δy=m×5−2m×2 d'où Δy=5m−4m=m. Il en résulte donc que :
y=m2−6mm
.
Deuxième cas : Si m=0, le système linéaire s'écrit alors : S2:{0×x2×0×x++3y0×y==25 S2:{3y0==25 L'équation 0=5 est une une équation fausse. Le système S2 est alors incompatible. Il n'y a donc pas de solution lorsque m=0 .
Troisième cas : Si m=6, le système linéaire s'écrit alors : S2:{6×x2×6×x++3y6×y==25 S2:{6x+3y12x+6y==25
Soit le système linéaire S:{axcx++bydy==ef
Soit A=(acbd) une matrice carrée d'ordre 2. Si det(A)=0 alors le système S n'est pas de Cramer.
Le système est indéterminé si Δy=0 où Δy=∣∣acef∣∣
Le système est incompatible si Δy=0 où Δy=∣∣acef∣∣
Calculons Δy . Δy=∣∣61225∣∣ Δy=6×5−12×2 Δy=30−24 Δy=6 Comme Δy=0 . Le système S2 est alors incompatible. Il n'y a donc pas de solution lorsque m=6 . Conclusion :
Si m∈R\{0;6} le système admet un unique couple solution
(x;y)={(m2−6m2m−15;m2−6mm)}
Si m=0 le système n'admet pas de solution.
Si m=6 le système n'admet pas de solution.
Question 3
Discuter et résoudre le système d’inconnue (x,y)∈R2 et de paramètre m∈R . S3:{mx(1+m)x++(m−1)y2my==21
Correction
Première étape : Ecrivons le système sous forme matricielle. Le système S3 s'écrit sous forme matricielle AX=B avec A=(m1+mm−12m) ; X=(xy) et B=(21) . Deuxième étape : Calculons le déterminant de A .
Soit A=(acbd) une matrice carrée d'ordre 2. On appelle deˊterminant de A le nombre det(A)=a×d−b×c
Nous avons A=(m1+mm−12m) Ainsi : det(A)=m×2m−(m−1)×(1+m) det(A)=2m2−(m2−1) det(A)=2m2−m2+1 det(A)=m2+1 Pour tout réel m, det(A)=0 . Le système est de Cramer et il admet donc un unique couple solution. Calcul de x: x=det(A)Δx où Δx=∣∣21m−12m∣∣ . Ainsi : Δx=2×2m−1×(m−1) d'où Δx=4m−m+1=3m+1. Il en résulte donc que :
x=m2+13m+1
. Calcul de y: y=det(A)Δy où Δy=∣∣m1+m21∣∣ . Ainsi : Δy=m×1−(1+m)×2 d'où Δy=m−2−2m=−m−2. Il en résulte donc que :
y=m2+1−m−2
.
Si m∈R, le système admet un unique couple solution