Déterminant et systèmes linéaires

Matrices inversibles - Exercice 2

5 min
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Question 1

Déterminer la matrice inverse de A=(11202−103−2)A=\left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & -1\\ 0 & 3 & -2 \end{array}\right) où A∈M3(K)A \in \mathscr{M}_3 \left(\mathbb{K}\right) .

Correction
Première étape : Calcul du déterminant de la matrice AA.
det(A) =∣11202−103−2∣{\mathrm{det} \left(A\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & -1\\ 0 & 3 & -2 \end{array}\right|
Après calculs, on vérifie facilement que det(A) =−1≠0{\mathrm{det} \left(A\right)\ }=-1\ne0 .
  • Soit A∈Mn(K)A \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) .
    AA est inversible si et seulement si det(A) ≠0 {\mathrm{det} \left(A\right)\ }\ne 0
Il en résulte donc que la matrice AA est bien inversible.
Deuxième étape : Calcul de la comatrice AA que l'on note Com(A)\text{Com}\left(A\right)
    Définition de la comatrice
  • Soit A∈Mn(K)A \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right). On appelle comatrice de AA, notée Com(A)\text{Com}\left(A\right), la matrice dont les coefficients cijc_{ij} sont définis par :
    cij=(−1)i+jdet(Aij) c_{ij}={\left(-1\right)}^{i+j}{\mathrm{det} \left(A_{ij}\right)\ }
    où AijA_{ij} est la matrice carrée d’ordre n−1n − 1 obtenue en barrant la iième ligne et la jjème colonne de AA.
    • Com(A)=(+∣2−13−2∣−∣0−10−2∣+∣0203∣−∣123−2∣+∣120−2∣−∣1103∣+∣122−1∣−∣102−1∣+∣1102∣)\text{Com}\left(A\right)=\left( \begin{array}{ccc}\red{+}\left| \begin{array}{ccc}2 & -1 \\ 3 & -2 \end{array}\right| & {\color{blue}{-}}\left| \begin{array}{ccc}0 & -1 \\ 0 & -2 \end{array}\right| & \red{+}\left| \begin{array}{ccc}0& 2 \\ 0 & 3 \end{array}\right| \\\\{\color{blue}{-}}\left| \begin{array}{ccc}1 & 2 \\ 3 & -2 \end{array}\right| & \red{+}\left| \begin{array}{ccc}1 & 2 \\ 0 & -2 \end{array}\right| & {\color{blue}{-}}\left| \begin{array}{ccc}1 & 1 \\ 0 & 3 \end{array}\right|\\\\ \red{+}\left| \begin{array}{ccc}1 & 2 \\ 2 & -1 \end{array}\right| &{\color{blue}{-}} \left| \begin{array}{ccc}1 & 0 \\ 2 & -1 \end{array}\right| & \red{+}\left| \begin{array}{ccc}1 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right| \end{array}\right)

    Com(A)=(+(2×(−2)−3×(−1))−(0×(−2)−0×(−1))+(0×3−0×2)−(1×(−2)−3×2)+(1×(−2)−0×2)−(1×3−0×1)+(1×(−1)−2×2)−(1×(−1)−2×0)+(1×2−0×1))\text{Com}\left(A\right)=\left( \begin{array}{ccc}+\left(2\times \left(-2\right)-3\times \left(-1\right)\right) & -\left(0\times \left(-2\right)-0\times \left(-1\right)\right) & +\left(0\times 3-0\times 2\right) \\ -\left(1\times \left(-2\right)-3\times 2\right) & +\left(1\times \left(-2\right)-0\times 2\right) & -\left(1\times 3-0\times 1\right) \\ +\left(1\times \left(-1\right)-2\times 2\right) & -\left(1\times \left(-1\right)-2\times 0\right) & +\left(1\times 2-0\times 1\right) \end{array}\right)
    Com(A)=(−1008−2−3−512)\text{Com}\left(A\right)=\left( \begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 8 & -2 & -3 \\ -5 & 1 & 2 \end{array}\right)
    Troisième étape : calcul de la transposée de Com(A)\text{Com}\left(A\right) .
      Définition de la transposée
  • La transposée d’une matrice AA de Mn,p(K)\mathscr{M}_{n,p} \left(\mathbb{K}\right) est la matrice notée  tA~^tA de Mp,n(K)\mathscr{M}_{p,n} \left(\mathbb{K}\right) telle que la iième colonne de  tA~^tA correspond à la iième ligne de AA .
    •  tCom(A)=(−18−50−210−32)~^t\text{Com}\left(A\right)=\left( \begin{array}{ccc}-1 & 8 & -5 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & 2 \end{array}\right)
    Quatrième étape : Calcul de la matrice inverse de AA notée A−1A^{-1}
    • Si AA est inversible alors A−1=1det(A) × tCom(A)A^{-1}=\frac{1}{{\mathrm{det} \left(A\right)\ }}\times ~^t\text{Com}\left(A\right)
    A−1=1det(A) × tCom(A)A^{-1}=\frac{1}{{\mathrm{det} \left(A\right)\ }}\times ~^t\text{Com}\left(A\right)
    A−1=1−1×(−18−50−210−32)A^{-1}=\frac{1}{-1}\times \left( \begin{array}{ccc}-1 & 8 & -5 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & -3 & 2 \end{array}\right)
    Finalement :
    A−1=(1−8502−103−2)A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc}1 & -8 & 5 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & -2 \end{array}\right)