Déterminant et systèmes linéaires

Matrices inversibles - Exercice 1

10 min
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Pour quelles valeurs de m∈Km\in \mathbb{K} les matrices suivantes sont-elles inversibles ?
Question 1

A=(020m−102m−36)A=\left( \begin{array}{ccc}0 & 2 & 0 \\ m-1 & 0 & 2\\ m & -3 & 6 \end{array}\right) où A∈M3(K)A \in \mathscr{M}_3 \left(\mathbb{K}\right) .

Correction
  • Soit A∈Mn(K)A \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) .
    AA est inversible si et seulement si det(A) ≠0 {\mathrm{det} \left(A\right)\ }\ne 0
det(A) =∣020m−102m−36∣{\mathrm{det} \left(A\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}\red{0} & \green{2} & \pink{0} \\ m-1 & 0 & 2 \\ m & -3 & 6 \end{array}\right|
Pour calculer le déterminant de AA, nous allons développer suivant la première ligne.
det(A) =0×(−1)1+1×∣02−36∣+2×(−1)1+2×∣m−12m6∣+(0)×(−1)1+3×∣m−10m−3∣{\mathrm{det} \left(A\right)\ }=\red{0}\times {\left(-1\right)}^{1+1}\times \left| \begin{array}{cc}0 & 2 \\ -3 & 6 \end{array}\right|+\green{2}\times {\left(-1\right)}^{1+2}\times \left| \begin{array}{cc}m-1 & 2 \\ m & 6 \end{array}\right|+\left(\pink{0}\right)\times {\left(-1\right)}^{1+3}\times \left| \begin{array}{cc}m-1 & 0 \\ m & -3 \end{array}\right|
det(A) =2×(−1)×((m−1)×6−2m){\mathrm{det} \left(A\right)\ }=2\times \left(-1\right)\times \left(\left(m-1\right)\times6-2m\right)
det(A) =−2×(6m−6−2m){\mathrm{det} \left(A\right)\ }=-2\times \left(6m-6-2m\right)
Ainsi :
det(A) =−2(4m−6){\mathrm{det} \left(A\right)\ }=-2 \left(4m-6\right)

AA est inversible si et seulement si det(A) ≠0 {\mathrm{det} \left(A\right)\ }\ne 0
Résolvons alors :
−2(4m−6)=0⇔m=32-2\left(4m-6\right)=0\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}
Finalement, AA est inversible si et seulement si
m∈R−{32}m\in \mathbb{R}-\left\{\frac{3}{2}\right\}
Question 2

B=(mm12m2−1−m−3m2)B=\left( \begin{array}{ccc}m & m & 1 \\ 2m & 2 &-1\\ -m & -3m & 2 \end{array}\right) où B∈M3(K)B \in \mathscr{M}_3 \left(\mathbb{K}\right) .

Correction
  • Soit A∈Mn(K)A \in \mathscr{M}_n \left(\mathbb{K}\right) .
    AA est inversible si et seulement si det(A) ≠0 {\mathrm{det} \left(A\right)\ }\ne 0
det(B) =∣mm12m2−1−m−3m2∣L1L2L3{\mathrm{det} \left(B\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}m & m & 1 \\ 2m & 2 &-1\\ -m & -3m & 2 \end{array}\right| \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3 \end{array}
  • L’opération Li⟵Li−αLjL_i\longleftarrow L_i-\alpha L_j avec LjL_j une autre ligne ne change pas la valeur du déterminant.
det(B) =∣mm102−2m−30−2m3∣L1L2⟵L2−2L1L3⟵L3+L1{\mathrm{det} \left(B\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}m & m & 1 \\ 0 & 2-2m & -3 \\ 0 & -2m & 3 \end{array}\right| \begin{array}{c}L_1 \\ L_2\longleftarrow L_2-2L_1 \\ L_3\longleftarrow L_3+L_1 \end{array}
det(B) =∣mm102−2m−302−4m0∣L1L2L3⟵L3+L2{\mathrm{det} \left(B\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}m & m & 1 \\ 0 & 2-2m & -3 \\ \red{0} & \green{2-4m} & \pink{0} \end{array}\right| \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3\longleftarrow L_3+L_2 \end{array}
Pour calculer le déterminant de BB, nous allons développer suivant la dernière ligne.
det(B) =0×(−1)3+1×∣m12−2m−3∣+(2−4m)×(−1)3+2×∣m10−3∣+(0)×(−1)3+3×∣mm02−2m∣{\mathrm{det} \left(B\right)\ }=\red{0}\times {\left(-1\right)}^{3+1}\times \left| \begin{array}{cc}m & 1 \\ 2-2m & -3 \end{array}\right|+\left(\green{2-4m}\right)\times {\left(-1\right)}^{3+2}\times \left| \begin{array}{cc}m & 1 \\ 0 & -3 \end{array}\right|+\left(\pink{0}\right)\times {\left(-1\right)}^{3+3}\times \left| \begin{array}{cc}m & m \\ 0 & 2-2m \end{array}\right|
det(B) =(2−4m)×(−1)×(m×(−3)−0×1){\mathrm{det} \left(B\right)\ }=\left(2-4m\right)\times\left(-1\right)\times\left(m\times\left(-3\right)-0\times1\right)
Ainsi : det(B) =3m(2−4m){\mathrm{det} \left(B\right)\ }=3m\left(2-4m\right)
BB est inversible si et seulement si det(B) ≠0 {\mathrm{det} \left(B\right)\ }\ne 0
Résolvons alors :
3m(2−4m)=0⇔(m=0 ou m=12)3m\left(2-4m\right)=0\Leftrightarrow \left(m=0 \text{ ou } m=\frac{1}{2}\right)
Finalement, BB est inversible si et seulement si
m∈R−{0;12}m\in \mathbb{R}-\left\{0;\frac{1}{2}\right\}