Déterminant et systèmes linéaires

La méthode du pivot de Gauss - Exercice 1

15 min
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Toujours dans l'optique de l'acquisitions des méthodes fondamentales. On introduit ici l'usage de la "matrice augmentée" qui s'avère pratique dans l'usage.
Si on considère un système linéaire AX=BAX=B, de nn équations à pp inconnus la matrice augmentée du système est la matrice obtenue en ajoutant à la matrice AA la matrice BB comme nouvelle et dernière colonne en marquant une séparation verticale :
(A∣B)=(a1,1⋯a1,pb1⋮⋱⋮⋮an,1⋯an,pbn)(A∣B) = \left( \begin{array}{ccc|c} a_{1,1} & \cdots & a_{1,p} & b_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,p} & b_n \end{array} \right)
Question 1

Soient aa, bb et cc trois nombre réels. On considère le système linéaire (S)(S) suivant :
{a−b+2c=0a+b+c=0a−2b+3c=3\left\lbrace \begin{array}{rcr} a - b + 2c & = & 0 \\ a + b + c & = & 0 \\ a - 2b + 3c & = & 3 \end{array} \right.
Par la méthode de la "matrice augmentée" résoudre le système linéaire (S)(S)

Correction
On a le système linéaire (S)(S) suivant :
{a−b+2c=0a+b+c=1a−2b+3c=3\left\lbrace \begin{array}{rcr} a - b + 2c & = & 0 \\ a + b + c & = & 1 \\ a - 2b + 3c & = & 3 \end{array} \right.
On va lui associer la représentation suivante, dite de la la "matrice augmentée" suivante (on ne considère que les coefficients et pas les inconnus recherchés) :
(A∣B)=(1−12011111−233)(A∣B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 & 3 \end{array} \right)
Effectuons les opérations suivantes L2⟵L2−L1L_2 \longleftarrow L_2 - L_1 et L3⟵L3−L1L_3 \longleftarrow L_3 - L_1. On obtient alors :
(A∣B)=(1−12002−110−113)(A∣B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 3 \end{array} \right)
Effectuons maintenant l'opération L3⟵−L3L_3 \longleftarrow -L_3. On obtient alors :
(A∣B)=(1−12002−1101−1−3)(A∣B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \end{array} \right)
Effectuons l'opération suivante L2⟵L2−L3L_2 \longleftarrow L_2 - L_3
(A∣B)=(1−120010401−1−3)(A∣B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \end{array} \right)
Effectuons l'opération suivante L3⟵L2−L3L_3 \longleftarrow L_2 - L_3. Donc on obtient :
(A∣B)=(1−12001040017)(A∣B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array} \right)
Effectuons l'opération suivante L1⟵L1−2L3L_1 \longleftarrow L_1 - 2L_3 afin de trouver :
(A∣B)=(1−10−1401040017)(A∣B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & -14 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array} \right)
Enfin, effectuons l'opération suivante L1⟵L1+L2L_1 \longleftarrow L_1 + L_2 afin de trouver :
(A∣B)=(100−1001040017)(A∣B) = \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -10 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \end{array} \right)
Finalement, on obtient les solutions, du système linéaire (S)(S), suivantes :
{a=−10b=4c=7\left\lbrace \begin{array}{rcr} a & = & {\color{green}{\bf{-10}}} \\ b & = & {\color{green}{\bf{4}}} \\ c & = & {\color{green}{\bf{7}}} \end{array} \right.

Question 2

Soient aa, bb et cc trois nombres réels. On considère le système linéaire (S)(S) suivant :
{a+b−c=2a+c=4\left\lbrace \begin{array}{rcr} a + b - c & = & 2 \\ a + c & = & 4 \end{array} \right.
Résoudre le système linéaire (S)(S).

Correction
Par la méthode de la "matrice augmentée", on a :
(A∣B)=(11−121014)(A|B) = \left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & - 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 4 \end{array} \right)
Effectuons l'opération L2⟵L2−L1L_2 \longleftarrow L_2 - L_1 pour obtenir :
(A∣B)=(11−120−122)(A|B) = \left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 2 & 2 \end{array} \right)
Prenons l'opposée de la deuxième ligne, à savoir L2⟵−L2L_2 \longleftarrow -L_2. Ainsi :
(A∣B)=(11−1201−2−2)(A|B) = \left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \end{array} \right)
Puis, effectuons l'opération L1⟵L1−L2L_1 \longleftarrow L_1 - L_2 pour trouver :
(A∣B)=(101401−2−2)(A|B) = \left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -2 & -2 \end{array} \right)
Ceci signifie que :
{a+c=4b−2c=−2   ⟺   {a=4−cb=−2+2c\left\lbrace \begin{array}{rcr} a + c & = & 4 \\ b - 2c & = & -2 \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} a & = & 4 - c \\ b & = & -2 + 2c \end{array} \right.
Les solutions (car il y en a une infinités) sont donc :
{a=4−cb=2(c−1)c∈R\left\lbrace \begin{array}{rcl} a & = & 4 - c \\ b & = & 2(c-1) \\ c & \in & \mathbb{R} \end{array} \right.

Question 3

Soient aa et bb deux nombres réels. On désigne par (S)(S) le système linéaire suivant :
{a+2b=42a−3b=13a−b=5\left\lbrace \begin{array}{rcr} a + 2b & = & 4 \\ 2a - 3b & = & 1 \\ 3a - b & = & 5 \end{array} \right.
Résoudre le système linéaire (S)(S).

Correction
On a le système linéaire suivant :
{a+2b=42a−3b=13a−b=5\left\lbrace \begin{array}{rcr} a + 2b & = & 4 \\ 2a - 3b & = & 1 \\ 3a - b & = & 5 \end{array} \right.
Utilisons la méthode de la "matrice augmentée". On a alors :
(A∣B)=(1242−313−15)(A|B) = \left( \begin{array}{rr|c} 1 & 2 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & -1 & 5 \end{array} \right)
On effectue les transformations suivantes : L2⟵L2−2L1L_2 \longleftarrow L_2 - 2L_1 et L3⟵L3−3L1L_3 \longleftarrow L_3 - 3L_1. On a alors :
(A∣B)=(1240−7−70−7−7)(A|B) = \left( \begin{array}{rr|c} 1 & 2 & 4 \\ 0 & -7 & -7 \\ 0 & -7 & -7 \end{array} \right)
Puis L3⟵L3−L2L_3 \longleftarrow L_3 - L_2. On a alors :
(A∣B)=(1240−7−7000)(A|B) = \left( \begin{array}{rr|c} 1 & 2 & 4 \\ 0 & -7 & -7 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
Faisons maintenant L2⟵−17L2L_2 \longleftarrow -\dfrac{1}{7}L_2. Ainsi :
(A∣B)=(124011000)(A|B) = \left( \begin{array}{rr|c} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
On effectue la transformation suivante : L1⟵L1−2L2L_1 \longleftarrow L_1 - 2L_2. On trouve donc :
(A∣B)=(102011000)(A|B) = \left( \begin{array}{rr|c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
Et de fait, la solution recherchée est donc :
{a=2b=1\left\lbrace \begin{array}{rcr} a & = & {\color{green}{\bf{2}}} \\ b & = & {\color{green}{\bf{1}}} \end{array} \right.