Déterminant et systèmes linéaires

Comment calculer un déterminant n×nn\times n - Exercice 2

30 min
50
Soit aa un nombre réel. On note d=∣a111111101111111a111111101111111a111111101111111a∣d = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & a \end{vmatrix}.
Question 1

Calculer le déterminant dd.

Correction
On remarque de suite que si a=1a = 1 alors toutes les colonnes de numéro impair sont les mêmes et cela entraine immédiatement que d=0d = 0.
Supposons maintenant que a≠1a \neq 1.
Par symétrie de dd, retanchons la colonne centrale, la quatrième, à toutes les autres. On obtient :
d=∣a−10010000−10100000a−1100011101110001a−10000010−10000100a−1∣d = \begin{vmatrix} a-1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &-1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a-1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & a-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & a-1 \end{vmatrix}
A ce stade, nous allons réaliser la substitution L4⟵L4−1a−1L1−1a−1L3−1a−1L5−1a−1L7L_4 \longleftarrow L_4 -\dfrac{1}{a-1}L_1 - \dfrac{1}{a-1}L_3 - \dfrac{1}{a-1}L_5 - \dfrac{1}{a-1}L_7. On obtient alors :
d=∣a−10010000−10100000a−11000010−4a−10100001a−10000010−10000100a−1∣d = \begin{vmatrix} a-1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &-1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a-1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dfrac{-4}{a-1} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & a-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & a-1 \end{vmatrix}
Maintenant effectuons la substitution L4⟵L4+L2+L6L_4 \longleftarrow L_4 + L_2 + L_6. On trouve donc :
d=∣a−10010000−10100000a−11000000−4a−1+20000001a−10000010−10000100a−1∣d = \begin{vmatrix} a-1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &-1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a-1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{-4}{a-1} + 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & a-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & a-1 \end{vmatrix}
Mais on a −4a−1+2=−4a−1+2(a−1)a−1=−4+2a−2a−1=2a−6a−1=2(a−3)a−1\dfrac{-4}{a-1} + 2 = \dfrac{-4}{a-1} + \dfrac{2(a-1)}{a-1} = \dfrac{-4 + 2a - 2}{a-1} = \dfrac{2a - 6}{a-1} = \dfrac{2(a - 3)}{a-1}
D'où :
d=∣a−10010000−10100000a−110000002(a−3)a−10000001a−10000010−10000100a−1∣d = \begin{vmatrix} a-1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &-1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a-1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{2(a - 3)}{a-1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & a-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & a-1 \end{vmatrix}
Il semble donc évident que nous devons développer ce déterminant suivant la quatrième ligne pour laquelle, seule son quatrième élément est non nul puisqu'il vaut 2(a−3)a−1\dfrac{2(a - 3)}{a-1}. On a alors :
d=(−1)4+4×2(a−3)a−1×∣a−1000000−1000000a−1000000a−1000000−1000000a−1∣d = (-1)^{4+4} \times \dfrac{2(a - 3)}{a-1} \times \begin{vmatrix} a-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a-1 \end{vmatrix}
Ce qui nous donne :
d=2(a−3)a−1×∣a−1000000−1000000a−1000000a−1000000−1000000a−1∣d = \dfrac{2(a - 3)}{a-1} \times \begin{vmatrix} a-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 &-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a-1 \end{vmatrix}
Le déterminant qui reste à calculer ne présentent que des termes non nuls sur sa diagonale principale. Donc il suffit de multiplier tous ces éléments diagonaux entre eux. Donc :
d=2(a−3)a−1×(a−1)×(−1)×(a−1)×(a−1)×(−1)×(a−1)d = \dfrac{2(a - 3)}{a-1} \times (a-1) \times (-1) \times (a-1) \times (a-1) \times (-1) \times (a-1)
Soit :
d=2(a−3)×(a−1)×(a−1)×(a−1)d = 2(a - 3) \times (a-1) \times (a-1) \times (a-1)
Finalement on obtient :
d=2(a−3)(a−1)3d = 2(a - 3)(a-1)^3