Déterminant et systèmes linéaires

Comment calculer un déterminant n×nn\times n - Exercice 1

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Question 1

Calculer le déterminant de la matrice A=(12−2113212−1−1−112−11)A=\left( \begin{array}{cccc}1 & 2 & -2& 1 \\ 1 & 3 & 2& 1\\ 2 & -1 & -1 &-1\\ 1 & 2 & -1 & 1\end{array}\right)

Correction
  • En utilisant les opérations sur les lignes et colonnes d’un déterminant, on peut simplifier les calculs de déterminant, en se ramenant à une matrice triangulaire.
det(A) =∣12−2113212−1−1−112−11∣L1L2L3L4{\mathrm{det} \left(A\right)\ }=\left| \begin{array}{cccc}1 & 2 & -2& 1 \\ 1 & 3 & 2& 1\\ 2 & -1 & -1 &-1\\ 1 & 2 & -1 & 1 \end{array}\right| \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3\\ L_4 \end{array}
  • L’opération Li⟵Li−αLjL_i\longleftarrow L_i-\alpha L_j avec LjL_j une autre ligne ne change pas la valeur du déterminant.
det(A) =∣12−2101−400−53−30010∣L1L2⟵L2−L1L3⟵L3−2L1L4⟵L4−L1{\mathrm{det} \left(A\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}1 & 2 & -2& 1 \\ 0& 1 & -4& 0\\ 0 & -5& 3 &-3\\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right| \begin{array}{c}L_1 \\ L_2\longleftarrow L_2-L_1 \\ L_3\longleftarrow L_3-2L_1 \\ L_4\longleftarrow L_4-L_1 \end{array}
det(A) =∣12−2101−4000−17−30010∣L1L2L3⟵L3+5L2L4{\mathrm{det} \left(A\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}1 & 2 & -2& 1 \\ 0& 1 & -4& 0\\ 0 & 0& -17 &-3\\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right| \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3\longleftarrow L_3+5L_2 \\ L_4 \end{array}
det(A) =∣12−2101−4000−17−3000−317∣L1L2L3L4⟵L4+117L3{\mathrm{det} \left(A\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}\red{1} & 2 & -2& 1 \\ 0& \blue{1} & -4& 0\\ 0 & 0& \pink{-17} &-3\\ 0 & 0 & 0 & \green{-\frac{3}{17}}\end{array}\right| \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3 \\ L_4\longleftarrow L_4+\frac{1}{17}L_3 \end{array}
Ainsi :
det(A) =1×1×(−17)×(−317){\mathrm{det} \left(A\right)\ }=\red{1}\times \blue{1} \times \left(\pink{-17}\right) \times \left(\green{-\frac{3}{17}}\right)
Finalement :
det(A) =3{\mathrm{det} \left(A\right)\ }=3

Question 2

Soient (x;y;z;t)∈R4\left(x;y;z;t\right) \in \mathbb{R}^4 . Calculer le déterminant de la matrice B=(xxxxxyyyxyzzxyzt)B=\left( \begin{array}{cccc}x & x & x & x \\ x & y & y& y\\ x & y & z &z\\ x & y & z & t\end{array}\right) en fonction de xx, yy, zz et tt .

Correction
  • En utilisant les opérations sur les lignes et colonnes d’un déterminant, on peut simplifier les calculs de déterminant, en se ramenant à une matrice triangulaire.
det(B) =∣xxxxxyyyxyzzxyzt∣L1L2L3L4{\mathrm{det} \left(B\right)\ }=\left| \begin{array}{cccc}x & x & x & x \\ x & y & y& y\\ x & y & z &z\\ x & y & z & t \end{array}\right| \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3\\ L_4 \end{array}
  • L’opération Li⟵Li−αLjL_i\longleftarrow L_i-\alpha L_j avec LjL_j une autre ligne ne change pas la valeur du déterminant.
det(B) =∣xxxx0y−xy−xy−x0y−xz−xz−x0y−xz−xt−x∣L1L2⟵L2−L1L3⟵L3−L1L4⟵L4−L1{\mathrm{det} \left(B\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}x & x & x & x \\ 0 & y-x & y-x& y-x\\ 0 & y-x & z-x &z-x\\ 0 & y-x & z-x & t-x\end{array}\right| \begin{array}{c}L_1 \\ L_2\longleftarrow L_2-L_1 \\ L_3\longleftarrow L_3-L_1 \\ L_4\longleftarrow L_4-L_1 \end{array}
det(B) =∣xxxx0y−xy−xy−x00z−yz−y00z−yt−y∣L1L2L3⟵L3−L2L4⟵L4−L2{\mathrm{det} \left(B\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}x & x & x & x \\ 0 & y-x & y-x& y-x\\ 0 & 0 & z-y &z-y\\ 0 & 0 & z-y & t-y\end{array}\right| \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3\longleftarrow L_3-L_2 \\ L_4\longleftarrow L_4-L_2 \end{array}
det(B) =∣xxxx0y−xy−xy−x00z−yz−y000t−z∣L1L2L3L4⟵L4−L3{\mathrm{det} \left(B\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}\red{x} & x & x & x \\ 0 & \blue{y-x} & y-x& y-x\\ 0 & 0 & \pink{z-y} &z-y\\ 0 & 0 & 0 & \green{t-z}\end{array}\right| \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3\\ L_4\longleftarrow L_4-L_3 \end{array}
Ainsi :
det(B) =x×(y−x)×(z−y)×(t−z){\mathrm{det} \left(B\right)\ }=\red{x}\times \left(\blue{y-x}\right) \times \left(\pink{z-y}\right) \times \left(\green{t-z}\right)