Déterminant et systèmes linéaires

Comment calculer un déterminant 3×33\times 3 selon une ligne ou une colonne - Exercice 2

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Question 1

Calculer le déterminant de la matrice A=(−12−5−4−1−3312)A=\left( \begin{array}{ccc}-1 & 2 & -5 \\ -4 & -1 & -3\\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right) .

Correction
  • L’opération Li⟵Li−αLjL_i\longleftarrow L_i-\alpha L_j avec LjL_j une autre ligne ne change pas la valeur du déterminant.
det(A) =∣−12−5−4−1−3312∣L1L2L3{\mathrm{det} \left(A\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}-1 & 2 & -5 \\ -4 & -1 & -3\\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right| \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3 \end{array}
det(A) =∣−90−11−4−1−3−10−1∣L1⟵L1+2L2L2L3⟵L3+L2{\mathrm{det} \left(A\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}-9 & 0 & -11 \\ -4 & -1 & -3 \\ -1 & 0 & -1 \end{array}\right| \begin{array}{c}L_1\longleftarrow L_1+2L_2 \\ L_2 \\ L_3\longleftarrow L_3+L_2 \end{array}
On développe par rapport à la deuxième colonne, on a alors :
det(A) =−∣−9−11−1−1∣{\mathrm{det} \left(A\right)\ }=-\left| \begin{array}{cc}-9 & -11 \\ -1 & -1 \end{array}\right|
Ainsi :
det(A) =2{\mathrm{det} \left(A\right)\ }=2