Déterminant et systèmes linéaires

Comment calculer un déterminant 3×33\times 3 en faisant apparaitre une matrice triangulaire - Exercice 1

20 min
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Question 1

Calculer le déterminant de la matrice A=(3−1−204200−1)A=\left( \begin{array}{ccc}3 & -1 & -2 \\ 0 & 4& 2\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) .

Correction
  • Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux.
On a :
det(A) =∣3−1−204200−1∣{\mathrm{det} \left(A\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}\red{3} & -1 & -2 \\ 0 & \green{4}& 2\\ 0 & 0 & \pink{-1} \end{array}\right|
Il vient alors que :
det(A) =3×4×(−1){\mathrm{det} \left(A\right)\ }=\red{3}\times \green{4} \times \left(\pink{-1}\right)
Ainsi :
det(A) =−12{\mathrm{det} \left(A\right)\ }=-12
Question 2

Calculer le déterminant de la matrice B=(12−121−13−12)B=\left( \begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 2 & 1& -1\\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right) .

Correction
  • En utilisant les opérations sur les lignes et colonnes d’un déterminant, on peut simplifier les calculs de déterminant, en se ramenant à une matrice triangulaire.
det(B) =∣12−121−13−12∣L1L2L3{\mathrm{det} \left(B\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right| \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3 \end{array}
  • L’opération Li⟵Li−αLjL_i\longleftarrow L_i-\alpha L_j avec LjL_j une autre ligne ne change pas la valeur du déterminant.
det(B) =∣12−10−310−75∣L1L2⟵L2−2L1L3⟵L3−3L1{\mathrm{det} \left(B\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & -7 & 5 \end{array}\right| \begin{array}{c}L_1 \\ L_2\longleftarrow L_2-2L_1 \\ L_3\longleftarrow L_3-3L_1 \end{array}
det(B) =∣12−10−310083∣L1L2L3⟵L3−73L2{\mathrm{det} \left(B\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}\red{1} & 2 & -1 \\ 0 & \green{-3} & 1 \\ 0 & 0 & \pink{\frac{8}{3}} \end{array}\right| \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3\longleftarrow L_3-\frac{7}{3}L_2\end{array}
  • Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux.
Il en résulte donc que :
det(B) =1×−3×(83){\mathrm{det} \left(B\right)\ }=\red{1}\times \green{-3} \times \left(\pink{\frac{8}{3}}\right)
Ainsi :
det(B) =−8{\mathrm{det} \left(B\right)\ }=-8
  • Ici il est important de comprendre que si nous écrivons L3⟵3L3−7L2L_3\longleftarrow 3L_3-7L_2, nous aurions alors det(B) =∣12−10−31008∣L1L2L3⟵3L3−7L2{\mathrm{det} \left(B\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}\red{1} & 2 & -1 \\ 0 & \green{-3} & 1 \\ 0 & 0 & \pink{8} \end{array}\right| \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3\longleftarrow 3L_3-7L_2\end{array} mais dans cette situation la valeur du déterminant aurait multiplié par 33 qui correspond au coefficient que nous avons affecté à la ligne L3L_3 .
  • C'est pour cette raison qu'il ne faut jamais multiplier la ligne que l'on veut modifier par un coefficient.
    • Question 3

    Calculer le déterminant de la matrice C=(135−14−3−22−2)C=\left( \begin{array}{ccc}1 & 3 & 5 \\ -1 & 4& -3\\ -2 & 2 & -2 \end{array}\right) .

    Correction
    • En utilisant les opérations sur les lignes et colonnes d’un déterminant, on peut simplifier les calculs de déterminant, en se ramenant à une matrice triangulaire.
    det(C) =∣135−14−3−22−2∣L1L2L3{\mathrm{det} \left(C\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}1 & 3 & 5 \\ -1 & 4& -3\\ -2 & 2 & -2 \end{array}\right| \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3 \end{array}
    • L’opération Li⟵Li−αLjL_i\longleftarrow L_i-\alpha L_j avec LjL_j une autre ligne ne change pas la valeur du déterminant.
    det(C) =∣135072088∣L1L2⟵L2+L1L3⟵L3+2L1{\mathrm{det} \left(C\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}1 & 3 & 5 \\ 0 & 7 & 2 \\ 0 & 8 & 8 \end{array}\right| \begin{array}{c}L_1 \\ L_2\longleftarrow L_2+L_1 \\ L_3\longleftarrow L_3+2L_1 \end{array}
    det(C) =∣13507200407∣L1L2L3⟵L3−87L2{\mathrm{det} \left(C\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}\red{1} & 3& 5 \\ 0 & \green{7} & 2 \\ 0 & 0 & \pink{\frac{40}{7}} \end{array}\right| \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3\longleftarrow L_3-\frac{8}{7}L_2\end{array}
    • Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux.
    Il en résulte donc que :
    det(C) =1×7×(407){\mathrm{det} \left(C\right)\ }=\red{1}\times \green{7} \times \left(\pink{\frac{40}{7}}\right)
    Ainsi :
    det(C) =40{\mathrm{det} \left(C\right)\ }=40
  • Ici il est important de comprendre que si nous écrivons L3⟵7L3−8L2L_3\longleftarrow 7L_3-8L_2, nous aurions alors det(C) =∣1350720040∣L1L2L3⟵7L3−8L2{\mathrm{det} \left(C\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}\red{1} & 3 & 5 \\ 0 & \green{7} & 2 \\ 0 & 0 & \pink{40} \end{array}\right| \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3\longleftarrow 7L_3-8L_2\end{array} mais dans cette situation la valeur du déterminant aurait multiplié par 77 qui correspond au coefficient que nous avons affecté à la ligne L3L_3 .
  • C'est pour cette raison qu'il ne faut jamais multiplier la ligne que l'on veut modifier par un coefficient.
    • Question 4

    Calculer le déterminant de la matrice D=(2−141211−2−1)D=\left( \begin{array}{ccc}2 & -1 & 4 \\ 1 & 2& 1\\ 1 & -2 & -1 \end{array}\right) .

    Correction
    Dans cette situation nous allons faire apparaitre une matrice triangulaire en utilisant cette fois-ci les opérations sur les colonnes.
    L’opération Ci⟵Ci−αCjC_i\longleftarrow C_i-\alpha C_j avec CjC_j une autre colonne ne change pas la valeur du déterminant.
    det(D) =∣2−141211−2−1∣C1C2C3{\mathrm{det} \left(D\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}2 & -1 & 4 \\ 1 & 2& 1\\ 1 & -2 & -1 \end{array}\right| \begin{array}{c}C_1 \\ C_2 \\ C_3 \end{array}
    • L’opération Ci⟵Ci−αCjC_i\longleftarrow C_i-\alpha C_j avec CjC_j une autre colonne ne change pas la valeur du déterminant.
    det(D) =∣200152−11−32−3∣C1C2⟵C2+12C1C3⟵C3−2C1{\mathrm{det} \left(D\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 1 & \frac{5}{2} & -1\\ 1 & -\frac{3}{2} & -3 \end{array}\right| \begin{array}{c}C_1 \\ C_2\longleftarrow C_2+\frac{1}{2}C_1 \\ C_3\longleftarrow C_3-2C_1 \end{array}
    det(D) =∣20015201−32−185∣C1C2C3⟵C3+25C2{\mathrm{det} \left(D\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}\red{2} & 0& 0 \\ 1 & \green{\frac{5}{2}} & 0 \\ 1 & -\frac{3}{2} & \pink{-\frac{18}{5}} \end{array}\right| \begin{array}{c}C_1 \\ C_2 \\ C_3\longleftarrow C_3+\frac{2}{5}C_2\end{array}
    • Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux.
    Il en résulte donc que :
    det(D) =2×52×(−185){\mathrm{det} \left(D\right)\ }=\red{2}\times \green{\frac{5}{2}} \times \left(\pink{-\frac{18}{5}}\right)
    Ainsi :
    det(D) =−18{\mathrm{det} \left(D\right)\ }=-18
  • Ici il est important de comprendre que si nous écrivons C3⟵5C3+2C2C_3\longleftarrow 5C_3+2C_2, nous aurions alors det(D) =∣20015201−32−18∣C1C2C3⟵5C3+2C2{\mathrm{det} \left(D\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}\red{2} & 0 & 0 \\ 1 & \green{\frac{5}{2}} & 0 \\ 1 & -\frac{3}{2} & \pink{-18} \end{array}\right| \begin{array}{c}C_1 \\ C_2 \\ C_3\longleftarrow 5C_3+2C_2\end{array} mais dans cette situation la valeur du déterminant aurait multiplié par 55 qui correspond au coefficient que nous avons affecté à la colonne C3C_3 .
  • C'est pour cette raison qu'il ne faut jamais multiplier la ligne que l'on veut modifier par un coefficient.
    • Question 5

    Soient (x;y;z)∈R3\left(x;y;z\right)\in \mathbb{R}^3. Calculer le déterminant de la matrice E=(xyzyzxzxy)E=\left( \begin{array}{ccc}x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{array}\right) en fonction de xx ; yy et zz .

    Correction
    • En utilisant les opérations sur les lignes et colonnes d’un déterminant, on peut simplifier les calculs de déterminant, en se ramenant à une matrice triangulaire.
    det(E) =∣xyzyzxzxy∣C1C2C3{\mathrm{det} \left(E\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}x & y & z \\ y & z & x \\ z & x & y \end{array}\right| \begin{array}{c}C_1 \\ C_2 \\ C_3 \end{array}
    • L’opération Li⟵Li−αLjL_i\longleftarrow L_i-\alpha L_j avec LjL_j une autre ligne ne change pas la valeur du déterminant.
    det(E) =∣x+y+zyzx+y+zzxx+y+zxy∣C1⟵C1+C2+C3C2C3{\mathrm{det} \left(E\right)\ }=\left| \begin{array}{ccc}x+y+z & y & z \\ x+y+z & z & x \\ x+y+z & x & y \end{array}\right| \begin{array}{c}C_1\longleftarrow C_1+C_2+C_3 \\ C_2 \\ C_3 \end{array}
    det(E) =(x+y+z)∣1yz1zx1xy∣C1⟵C1+C2+C3C2C3{\mathrm{det} \left(E\right)\ }=\left(x+y+z\right)\left| \begin{array}{ccc}1 & y & z \\ 1 & z & x \\ 1 & x & y \end{array}\right| \begin{array}{c}C_1\longleftarrow C_1+C_2+C_3 \\ C_2 \\ C_3 \end{array}
    det(E) =(x+y+z)∣1yz1zx1xy∣L1L2L3{\mathrm{det} \left(E\right)\ }=\left(x+y+z\right)\left| \begin{array}{ccc}1 & y & z \\ 1 & z & x \\ 1 & x & y \end{array}\right| \begin{array}{c}L_1 \\ L_2 \\ L_3 \end{array}
    det(E) =(x+y+z)∣1yz0z−yx−z0x−yy−z∣L1L2⟵L2−L1L3⟵L3−L1{\mathrm{det} \left(E\right)\ }=\left(x+y+z\right)\left| \begin{array}{ccc}1 & y & z \\ 0 & z-y & x-z \\ 0 & x-y & y-z \end{array}\right| \begin{array}{c}L_1 \\ L_2\longleftarrow L_2-L_1 \\ L_3\longleftarrow L_3-L_1 \end{array}
    Nous allons développer le déterminant suivant la première colonne.
    det(E) =(x+y+z)∣1yz0z−yx−z0x−yy−z∣{\mathrm{det} \left(E\right)\ }=\left(x+y+z\right)\left| \begin{array}{ccc}\red{1} & y & z \\ \green{0} & z-y & x-z \\ \pink{0} & x-y & y-z \end{array}\right|
    det(E) =(x+y+z)×[1×(−1)1+1×∣z−yx−zx−yy−z∣+0+0]{\mathrm{det} \left(E\right)\ }=\left(x+y+z\right)\times \left[1\times {\left(-1\right)}^{1+1}\times \left| \begin{array}{cc}z-y & x-z \\ x-y & y-z \end{array}\right|+0+0\right]
    det(E) =(x+y+z)×∣z−yx−zx−yy−z∣{\mathrm{det} \left(E\right)\ }=\left(x+y+z\right)\times \left| \begin{array}{cc}z-y & x-z \\ x-y & y-z \end{array}\right|
    det(E) =(x+y+z)×((z−y)(y−z)−(x−y)(x−z)){\mathrm{det} \left(E\right)\ }=\left(x+y+z\right)\times \left(\left(z-y\right)\left(y-z\right)-\left(x-y\right)\left(x-z\right)\right)
    det(E) =(x+y+z)×(zy−z2−y2+yz−(x2−xz−yx+yz)){\mathrm{det} \left(E\right)\ }=\left(x+y+z\right)\times \left(zy-z^2-y^2+yz-\left(x^2-xz-yx+yz\right)\right)
    det(E) =(x+y+z)×(2zy−z2−y2−x2+xz+yx−yz){\mathrm{det} \left(E\right)\ }=\left(x+y+z\right)\times \left(2zy-z^2-y^2-x^2+xz+yx-yz\right)
    det(E) =(x+y+z)×(−z2−y2−x2+xz+yx+yz){\mathrm{det} \left(E\right)\ }=\left(x+y+z\right)\times \left(-z^2-y^2-x^2+xz+yx+yz\right)
    det(E) =−z2x−y2x−x3+x2z+yx2+xyz−yz2−y3−yx2+yxz+y2x+y2z−z3−zy2−zx2+xz2+zyx+yz2{\mathrm{det} \left(E\right)\ }=-z^2x-y^2x-x^3+x^2z+yx^2+xyz-yz^2-y^3-yx^2+yxz+y^2x+y^2z-z^3-zy^2-zx^2+xz^2+zyx+yz^2
    Ainsi :
    det(E) =−x3−y3−z3+3xyz{\mathrm{det} \left(E\right)\ }=-x^3-y^3-z^3+3xyz