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Déterminant et systèmes linéaires
Comment calculer un déterminant
2
×
2
2\times 2
2
×
2
- Exercice 1
10 min
15
Question 1
Calculer le déterminant de la matrice
A
=
(
2
1
5
3
)
A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {1} \\ {5} & {3} \end{array}\right)
A
=
(
2
5
1
3
)
Correction
Soit
A
=
(
a
b
c
d
)
A=\left(\begin{array}{cc} {\red{a}} & {\blue{b}} \\ {\pink{c}} & {\green{d}} \end{array}\right)
A
=
(
a
c
b
d
)
une matrice carrée d'ordre
2
2
2
. On appelle
d
e
ˊ
terminant
\red{\text{déterminant}}
d
e
ˊ
terminant
de
A
A
A
le nombre
det
(
A
)
=
a
×
d
−
b
×
c
\det \left(A\right)=\red{a}\times \green{d}-\blue{b}\times \pink{c}
det
(
A
)
=
a
×
d
−
b
×
c
Nous avons
A
=
(
2
1
5
3
)
A=\left(\begin{array}{cc} {\red{2}} & {\blue{1}} \\ {\pink{5}} & {\green{3}} \end{array}\right)
A
=
(
2
5
1
3
)
Ainsi :
det
(
A
)
=
2
×
3
−
1
×
5
\det \left(A\right)=\red{2}\times \green{3}-\blue{1}\times \pink{5}
det
(
A
)
=
2
×
3
−
1
×
5
det
(
A
)
=
6
−
5
\det \left(A\right)=6-5
det
(
A
)
=
6
−
5
Finalement :
det
(
A
)
=
1
\det \left(A\right)=1
det
(
A
)
=
1
Question 2
Calculer le déterminant de la matrice
B
=
(
−
1
4
2
−
7
)
B=\left(\begin{array}{cc} {-1} & {4} \\ {2} & {-7} \end{array}\right)
B
=
(
−
1
2
4
−
7
)
Correction
Soit
A
=
(
a
b
c
d
)
A=\left(\begin{array}{cc} {\red{a}} & {\blue{b}} \\ {\pink{c}} & {\green{d}} \end{array}\right)
A
=
(
a
c
b
d
)
une matrice carrée d'ordre
2
2
2
. On appelle
d
e
ˊ
terminant
\red{\text{déterminant}}
d
e
ˊ
terminant
de
A
A
A
le nombre
det
(
A
)
=
a
×
d
−
b
×
c
\det \left(A\right)=\red{a}\times \green{d}-\blue{b}\times \pink{c}
det
(
A
)
=
a
×
d
−
b
×
c
Nous avons
B
=
(
−
1
4
2
−
7
)
B=\left(\begin{array}{cc} {\red{-1}} & {\blue{4}} \\ {\pink{2}} & {\green{-7}} \end{array}\right)
B
=
(
−
1
2
4
−
7
)
Ainsi :
det
(
B
)
=
(
−
1
)
×
(
−
7
)
−
4
×
2
\det \left(B\right)=\left(\red{-1}\right)\times \left(\green{-7}\right)-\blue{4}\times \pink{2}
det
(
B
)
=
(
−
1
)
×
(
−
7
)
−
4
×
2
det
(
B
)
=
7
−
8
\det \left(B\right)=7-8
det
(
B
)
=
7
−
8
Finalement :
det
(
B
)
=
−
1
\det \left(B\right)=-1
det
(
B
)
=
−
1
Question 3
Soit
i
∈
C
i\in \mathbb{C}
i
∈
C
tel que
i
2
=
−
1
i^2=-1
i
2
=
−
1
.
Calculer le déterminant de la matrice
C
=
(
i
5
2
−
2
i
)
C=\left(\begin{array}{cc} {i} & {5} \\ {2} & {-2i} \end{array}\right)
C
=
(
i
2
5
−
2
i
)
Correction
Soit
A
=
(
a
b
c
d
)
A=\left(\begin{array}{cc} {\red{a}} & {\blue{b}} \\ {\pink{c}} & {\green{d}} \end{array}\right)
A
=
(
a
c
b
d
)
une matrice carrée d'ordre
2
2
2
. On appelle
d
e
ˊ
terminant
\red{\text{déterminant}}
d
e
ˊ
terminant
de
A
A
A
le nombre
det
(
A
)
=
a
×
d
−
b
×
c
\det \left(A\right)=\red{a}\times \green{d}-\blue{b}\times \pink{c}
det
(
A
)
=
a
×
d
−
b
×
c
Nous avons
C
=
(
i
5
2
−
2
i
)
C=\left(\begin{array}{cc} {\red{i}} & {\blue{5}} \\ {\pink{2}} & {\green{-2i}} \end{array}\right)
C
=
(
i
2
5
−
2
i
)
Ainsi :
det
(
C
)
=
i
×
(
−
2
i
)
−
5
×
2
\det \left(C\right)=\red{i}\times \left(\green{-2i}\right)-\blue{5}\times \pink{2}
det
(
C
)
=
i
×
(
−
2
i
)
−
5
×
2
det
(
C
)
=
−
2
i
2
−
10
\det \left(C\right)=-2i^2-10
det
(
C
)
=
−
2
i
2
−
10
det
(
C
)
=
−
2
×
(
−
1
)
−
10
\det \left(C\right)=-2\times\left(-1\right)-10
det
(
C
)
=
−
2
×
(
−
1
)
−
10
Finalement :
det
(
C
)
=
−
8
\det \left(C\right)=-8
det
(
C
)
=
−
8
Question 4
Soit
m
∈
R
m\in \mathbb{R}
m
∈
R
.
Calculer le déterminant de la matrice
D
=
(
m
3
3
m
m
+
1
)
D=\left(\begin{array}{cc} {m} & {3} \\ {3m} & {m+1} \end{array}\right)
D
=
(
m
3
m
3
m
+
1
)
Correction
Soit
A
=
(
a
b
c
d
)
A=\left(\begin{array}{cc} {\red{a}} & {\blue{b}} \\ {\pink{c}} & {\green{d}} \end{array}\right)
A
=
(
a
c
b
d
)
une matrice carrée d'ordre
2
2
2
. On appelle
d
e
ˊ
terminant
\red{\text{déterminant}}
d
e
ˊ
terminant
de
A
A
A
le nombre
det
(
A
)
=
a
×
d
−
b
×
c
\det \left(A\right)=\red{a}\times \green{d}-\blue{b}\times \pink{c}
det
(
A
)
=
a
×
d
−
b
×
c
Nous avons
D
=
(
m
3
3
m
m
+
1
)
D=\left(\begin{array}{cc} {\red{m}} & {\blue{3}} \\ {\pink{3m}} & {\green{m+1}} \end{array}\right)
D
=
(
m
3
m
3
m
+
1
)
Ainsi :
det
(
D
)
=
m
×
(
m
+
1
)
−
3
×
3
m
\det \left(D\right)=\red{m}\times \left(\green{m+1}\right)-\blue{3}\times \pink{3m}
det
(
D
)
=
m
×
(
m
+
1
)
−
3
×
3
m
det
(
D
)
=
m
2
+
m
−
9
m
\det \left(D\right)=m^2+m-9m
det
(
D
)
=
m
2
+
m
−
9
m
Finalement :
det
(
D
)
=
m
2
−
8
m
\det \left(D\right)=m^2-8m
det
(
D
)
=
m
2
−
8
m