Dérivation et Calcul différentiel

Simplifications autours des fonctions trigonométriques - Exercice 1

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Question 1

Soit x]1;1]x \in \,\,]-1 \,;\,1]. Démontrer que :
2arctan(1x1+x)=arccos(x)2\arctan\left(\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \right) = \arccos(x)

Correction
Les deux fonctions qui interviennent dans l'égalité à démontrer sur l'intervalle ]1;1]]-1 \,;\,1] sont bien évidemment dérivables sur ce même intervalle. On a alors :
(2arctan(1x1+x))=2(arctan(1x1+x))\left( 2\arctan\left(\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \right) \right)' = 2\left( \arctan\left(\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \right) \right)'
Soit :
(2arctan(1x1+x))=2arctan(1x1+x)(1x1+x)\left( 2\arctan\left(\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \right) \right)' = 2 \arctan'\left(\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \right) \left( \sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \right)'
Soit encore :
(2arctan(1x1+x))=211+(1x1+x)2(1x1+x)\left( 2\arctan\left(\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \right) \right)' = 2 \dfrac{1}{1 + \left( \sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \right)^2} \left( \sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \right)'
Donc :
(2arctan(1x1+x))=211+1x1+x(1x1+x)21x1+x\left( 2\arctan\left(\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \right) \right)' = 2 \dfrac{1}{1 + \dfrac{1 - x}{1 + x}} \dfrac{\left( \dfrac{1 - x}{1 + x} \right)'}{2\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}}}
On obtient donc :
(2arctan(1x1+x))=211+x+1x1+x(1x)(1+x)(1x)(1+x)(1+x)221x1+x\left( 2\arctan\left(\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \right) \right)' = 2 \dfrac{1}{\dfrac{1 + x + 1 - x}{1 + x}} \dfrac{\dfrac{(1 - x)'(1 + x) - (1 - x)(1 + x)'}{(1 + x)^2} }{2\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}}}
Ainsi :
(2arctan(1x1+x))=2121+x1(1+x)(1x)1(1+x)221x1+x\left( 2\arctan\left(\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \right) \right)' = 2 \dfrac{1}{\dfrac{2}{1 + x}} \dfrac{\dfrac{-1(1 + x) - (1 - x)1}{(1 + x)^2} }{2\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}}}
On a alors :
(2arctan(1x1+x))=(1+x)1x1+x(1+x)221x1+x\left( 2\arctan\left(\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \right) \right)' = (1 + x) \dfrac{\dfrac{-1 - x - 1 + x}{(1 + x)^2} }{2\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}}}
On obtient donc :
(2arctan(1x1+x))=(1+x)2(1+x)221x1+x\left( 2\arctan\left(\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \right) \right)' = (1 + x) \dfrac{\dfrac{-2}{(1 + x)^2} }{2\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}}}
Soit encore :
(2arctan(1x1+x))=(1+x)1(1+x)21x1+x\left( 2\arctan\left(\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \right) \right)' = -(1 + x) \dfrac{\dfrac{1}{(1 + x)^2} }{\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}}}
On en déduit que :
(2arctan(1x1+x))=(1+x)1(1+x)21+x1x\left( 2\arctan\left(\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \right) \right)' = -(1 + x) \dfrac{1}{(1 + x)^2} \sqrt{\dfrac{1 + x}{1 - x}}
Dès lors, en simplifiant par (1+x)0(1+x) \neq 0, on trouve que :
(2arctan(1x1+x))=11+x1+x1x=11+x1+x1x\left( 2\arctan\left(\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \right) \right)' = - \dfrac{1}{1 + x} \sqrt{\dfrac{1 + x}{1 - x}} = - \dfrac{1}{1 + x} \dfrac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}
Dès lors, en simplifiant par 1+x0\sqrt{1+x} \neq 0, on trouve que :
(2arctan(1x1+x))=11+x11x=1(1+x)(1x)=112x2\left( 2\arctan\left(\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \right) \right)' = - \dfrac{1}{\sqrt{1+x}} \dfrac{1}{\sqrt{1-x}} = - \dfrac{1}{\sqrt{(1+x)(1-x)}} = - \dfrac{1}{\sqrt{1^2-x^2}}
On a alors :
(2arctan(1x1+x))=11x2\left( 2\arctan\left(\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \right) \right)' = - \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
Ceci peut également s'écrire comme :
(2arctan(1x1+x))=(arccos(x))\left( 2\arctan\left(\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \right) \right)' = \left( \arccos(x) \right)'
Directement, par intégration, on trouve (avec CRC \in \mathbb{R}) que :
2arctan(1x1+x)=arccos(x)+C2\arctan\left(\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \right) = \arccos(x) + C
Or, pour x=01;1]x = 0 \in -1 \,;\,1], on a :
2arctan(101+0)=arccos(0)+C2\arctan\left(\sqrt{\dfrac{1 - 0}{1 + 0}} \right) = \arccos(0) + C
Donc :
2arctan(1)=π2+C2\arctan\left(1\right) = \dfrac{\pi}{2} + C
Or arctan(1)=π4\arctan\left(1\right) = \dfrac{\pi}{4}. D'où :
2×π4=π2+C2 \times \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} + C
Ce qui nous donne :
π4=π2+C\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} + C
D'où :
π4π2=C\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{2} = C
Soit C=0C = 0.
Finalement, on a bien démontrer que :
x]1;1],2arctan(1x1+x)=arccos(x){\color{red}{\boxed{\forall x \in \,\,]-1 \,;\,1], \,\, 2\arctan\left(\sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}} \right) = \arccos(x) }}}

Question 2

Soit x]1;1[x \in \,\,]-1 \,;\,1[. Démontrer que :
sin(arccos(x))=1x2\sin\left(\arccos(x) \right) = \sqrt{1-x^2}

Correction
On a sur l'intervalle ]1;1[]-1 \,;\,1[ les fonctions, impliquées dans l'égalité à démontrer, sont dérivables. Donc :
(sin(arccos(x)))=sin(arccos(x))×arccos(x)\left( \sin\left(\arccos(x) \right) \right)' = \sin'\left(\arccos(x) \right) \times \arccos'(x)
Soit :
(sin(arccos(x)))=cos(arccos(x))×11x2\left( \sin\left(\arccos(x) \right) \right)' = \cos\left(\arccos(x) \right) \times \dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
Or, comme on travaille sur l'intervalle ]1;1[[1;1]]-1 \,;\,1[ \subset [-1 \,;\,1], on a donc :
cos(arccos(x))=x\cos\left(\arccos(x) \right) = x
Ainsi, on en déduit que :
(sin(arccos(x)))=x×11x2\left( \sin\left(\arccos(x) \right) \right)' = x \times \dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}
Soit encore :
(sin(arccos(x)))=x1x2\left( \sin\left(\arccos(x) \right) \right)' = - \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}
Puis, on a :
(1x2)=(1x2)21x2\left( \sqrt{1-x^2} \right)' = \dfrac{\left( 1-x^2 \right)'}{2\sqrt{1-x^2}}
D'où :
(1x2)=2x21x2\left( \sqrt{1-x^2} \right)' = \dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}
En simplifiant par 22, on obtient :
(1x2)=x1x2\left( \sqrt{1-x^2} \right)' = -\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}
Dès lors, on peut écrire que :
(sin(arccos(x)))=(1x2)\left( \sin\left(\arccos(x) \right) \right)' = \left( \sqrt{1-x^2} \right)'
Soit CC une constante réelle. Par intégration, on trouve que :
sin(arccos(x))=1x2+C\sin\left(\arccos(x) \right) = \sqrt{1-x^2} + C
Posons maintenant x=0]1;1[x = 0 \in ]-1 \,;\,1[. Dans ce cas, l'égalité précédente nous conduit à :
sin(arccos(0))=102+C\sin\left(\arccos(0) \right) = \sqrt{1-0^2} + C
Comme arccos(0)=π2\arccos(0) = \dfrac{\pi}{2}, on en déduit que :
sin(π2)=1+C\sin\left(\dfrac{\pi}{2} \right) = \sqrt{1} + C
Mais, on sait que sin(π2)=1\sin\left(\dfrac{\pi}{2} \right) = 1, donc :
1=1+C1 = 1 + C
Soit C=11=0C = 1 - 1 = 0
Et de fait, on a finalement bien démontrer que l'on a :
x]1;1[,sin(arccos(x))=1x2{\color{red}{\boxed{\forall x \in \,\,]-1 \,;\,1[, \,\, \sin\left(\arccos(x) \right) = \sqrt{1-x^2} }}}