La règle du marquis de L'Hôpital - Exercice 2

Soient $$f:x\longmapsto x^2-3x$$ et $$g\left(x\right)=5e^x-5$$ définies et continues sur $$\left]-1;1\right[$$
$$\forall x\in \left]-1;1\right[$$, on a : $$f'\left(x\right)=2x-3$$ et $$g'\left(x\right)=5e^x$$

$$f$$ et $$g$$ sont dérivables sur $$\left]-1;1\right[$$ .

$$g$$ ne s'annule pas sur $$\left]-1;0\right[ \cup \left]-0;1\right[$$ .

$$f\left(0\right)=g\left(0\right)=0$$

D'après la règle de l'Hospital :
$$\lim\limits_{x\to 0 } \frac{\mathrm{\ }f'\left(x\right)}{\mathrm{\ }g'\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 1^{-} }\frac{2x-3}{5e^{x}}\$$
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to 0 } \frac{\mathrm{\ }f'\left(x\right)}{\mathrm{\ }g'\left(x\right)}=\frac{-3}{5}$$
D'après la règle de l'Hospital, on peut affirmer que :

Soient $$f:x\longmapsto {\mathrm{arccos} \left(x\right)\ }$$ et $$g\left(x\right)=\sqrt{1-x^2}$$ définies et continues sur $$\left]0;1\right[$$
$$\forall x\in \left]0;1\right[$$, on a : $$f'\left(x\right)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$$ et $$g'\left(x\right)=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$f$$ et $$g$$ sont dérivables sur $$\left]0;1\right[$$ .

$$g$$ ne s'annule pas sur $$\left]0;1\right[$$ .

$$f\left(1\right)=g\left(1\right)=0$$

D'après la règle de l'Hospital :
$$\lim\limits_{x\to 1^{-} } \frac{\mathrm{\ }f'\left(x\right)}{\mathrm{\ }g'\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 1^{-} }\frac{\left(\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\right)}{\left(\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}\right)}\$$
$$\lim\limits_{x\to 1^{-} } \frac{\mathrm{\ }f'\left(x\right)}{\mathrm{\ }g'\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 1^{-} }\frac{\left(\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\right)}{\left(\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\right)}\$$
$$\lim\limits_{x\to 1^{-} } \frac{\mathrm{\ }f'\left(x\right)}{\mathrm{\ }g'\left(x\right)}=\lim\limits_{x\to 1^{-} }\frac{-1}{-x}\$$
Ainsi : $$\lim\limits_{x\to 1^{-} } \frac{\mathrm{\ }f'\left(x\right)}{\mathrm{\ }g'\left(x\right)}=1$$
D'après la règle de l'Hospital, on peut affirmer que :