Dérivation et Calcul différentiel

Dérivations partielles en Physique (plus compliqué) - Exercice 2

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Voici un autre exercice qui met en évidence le rôle des dérivées partielles secondes en Physique. On retrouve, par exemple, cet exercice en Gravitation newtonienne et en électromagnétisme.
Soit (x ; y ; z)∈R⋆3⟼U(x ; y ; z)=(x2+y2+z2)−1/2(x\,;\,y\,;\,z)\in \mathbb{R}^{\star 3} \longmapsto U(x\,;\,y\,;\,z) = (x^2+y^2+z^2)^{-1/2}.
Question 1

Calculer la quantité, appelée laplacien{\color{red}{\textbf{laplacien}}} de UU et notée ΔU(x ; y ; z)\Delta U(x\,;\,y\,;\,z), suivante :
ΔU(x ; y ; z)=∂2U∂x2(x ; y ; z)+∂2U∂y2(x ; y ; z)+∂2U∂z2(x ; y ; z)\Delta U(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2}(x\,;\,y\,;\,z) + \dfrac{\partial^2 U}{\partial y^2}(x\,;\,y\,;\,z) + \dfrac{\partial^2 U}{\partial z^2}(x\,;\,y\,;\,z)

Correction
Il y a une parfaite symétrie des rôles entre xx, yy et zz. De fait, on va calculer les variations de UU selon xx, et on en déduira les résultats pour les variations de UU selon yy et zz. On a alors :
∂U∂x(x ; y ; z)=∂∂x(1x2+y2+z2)\dfrac{\partial U}{\partial x} (x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \right)
Soit :
∂U∂x(x ; y ; z)=−∂∂xx2+y2+z2x2+y2+z22\dfrac{\partial U}{\partial x} (x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{-\dfrac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}^2}
Ce qui nous donne :
∂U∂x(x ; y ; z)=−∂∂x(x2+y2+z2)2x2+y2+z2x2+y2+z2\dfrac{\partial U}{\partial x} (x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\dfrac{-\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2+z^2)} {2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}{x^2+y^2+z^2}
Ainsi, on obtient :
∂U∂x(x ; y ; z)=−2x2x2+y2+z2x2+y2+z2\dfrac{\partial U}{\partial x} (x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\dfrac{-2x}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}{x^2+y^2+z^2}
Ce qui nous permet d'écrire que :
∂U∂x(x ; y ; z)=−x(x2+y2+z2)x2+y2+z2\dfrac{\partial U}{\partial x} (x\,;\,y\,;\,z) = - \dfrac{x}{(x^2+y^2+z^2)\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
D'où :
∂U∂x(x ; y ; z)=−x(x2+y2+z2)3/2\dfrac{\partial U}{\partial x} (x\,;\,y\,;\,z) = - \dfrac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}
Puis, on a :
∂2U∂x2(x ; y ; z)=∂∂x(∂U∂x)(x ; y ; z)=∂∂x(−x(x2+y2+z2)3/2)\dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\dfrac{\partial U}{\partial x} \right)(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( - \dfrac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \right)
Ce qui nous donne :
∂2U∂x2(x ; y ; z)=−(∂x∂x(x2+y2+z2)3/2−x∂∂x(x2+y2+z2)3/2(x2+y2+z2)322)\dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2}(x\,;\,y\,;\,z) = - \left( \dfrac{\dfrac{\partial x}{\partial x}(x^2+y^2+z^2)^{3/2} - x\dfrac{\partial }{\partial x} (x^2+y^2+z^2)^{3/2}}{{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}^2} \right)
Soit encore :
∂2U∂x2(x ; y ; z)=−((x2+y2+z2)3/2−x×32×2x×(x2+y2+z2)1/2(x2+y2+z2)3)\dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2}(x\,;\,y\,;\,z) = - \left( \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^{3/2} - x \times \dfrac{3}{2} \times 2x \times (x^2+y^2+z^2)^{1/2}}{{(x^2+y^2+z^2)^3}} \right)
En simplifiant par (x2+y2+z2)1/2≠0(x^2+y^2+z^2)^{1/2} \neq 0, on trouve que :
∂2U∂x2(x ; y ; z)=−((x2+y2+z2)−3x2(x2+y2+z2)52)\dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2}(x\,;\,y\,;\,z) = - \left( \dfrac{(x^2+y^2+z^2) - 3x^2} {{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}} \right)
D'où :
∂2U∂x2(x ; y ; z)=−y2+z2−2x2(x2+y2+z2)52\dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2}(x\,;\,y\,;\,z) = - \dfrac{y^2+z^2 - 2x^2}{{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}}
Finalement, on trouve que :
∂2U∂x2(x ; y ; z)=2x2−y2−z2(x2+y2+z2)52\dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{2x^2 - y^2 - z^2}{{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}}
Par symétrie et identification, on trouve que :
{∂2U∂y2(x ; y ; z)=2y2−x2−z2(x2+y2+z2)52∂2U∂z2(x ; y ; z)=2z2−x2−y2(x2+y2+z2)52\left\lbrace \begin{array}{rcl} \dfrac{\partial^2 U}{\partial y^2}(x\,;\,y\,;\,z) & = & \dfrac{2y^2 - x^2 -z^2}{{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}} \\ & & \\ \dfrac{\partial^2 U}{\partial z^2}(x\,;\,y\,;\,z) & = & \dfrac{2z^2 - x^2 - y^2}{{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}} \\ \end{array} \right.
Ainsi, on a :
∂2U∂x2(x ; y ; z)+∂2U∂y2(x ; y ; z)+∂2U∂z2(x ; y ; z)=2x2−y2−z2+2y2−x2−z2+2z2−x2−y2(x2+y2+z2)52\dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2}(x\,;\,y\,;\,z) + \dfrac{\partial^2 U}{\partial y^2}(x\,;\,y\,;\,z) + \dfrac{\partial^2 U}{\partial z^2}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{2x^2 - y^2 - z^2+2y^2 - x^2 - z^2 +2z^2 - x^2 - y^2}{{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{5}{2}}}}
Finalement, on a :
ΔU(x ; y ; z)=∂2U∂x2(x ; y ; z)+∂2U∂y2(x ; y ; z)+∂2U∂z2(x ; y ; z)=0{\color{red}{\boxed{\Delta U(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial^2 U}{\partial x^2}(x\,;\,y\,;\,z) +\dfrac{\partial^2 U}{\partial y^2}(x\,;\,y\,;\,z) +\dfrac{\partial^2 U}{\partial z^2}(x\,;\,y\,;\,z) = 0}}}
C'est une EDP très connues des physiciens qui porte le nom d'équation aux dérivées partielles de LaplaceLaplace et ses solutions sont des souvent des fonctions "spéciales" très bien connues des mathématiciens et des physiciens théoriciens. En terme de vocabulaire, toute fonction UU qui satisfait à l'équation de LaplaceLaplace ΔU=0\Delta U = 0 est qualifiée de fonction harmonique{\color{red}{\textbf{harmonique}}}.