Dérivation et Calcul différentiel

Dérivations partielles en Physique - Exercice 1

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La réalité impose à la Physique, comme à la Chimie, l'usage des fonctions à plusieurs variable. Ceci explique l'extrême présence des dérivées partielles dans ces deux disciplines. En voici un exercice, à connotation thermodynamique, qui illustre nos propos.
La loi d'état des gaz parfait est :
PV=nRTPV = nRT
Dans cette équation PP est la pression du gaz, VV son volume, TT sa température absolue, et nn le nombre de moles qu'il contient. La constante R>0R>0 est la constante des gaz parfaits.
Question 1

Montrer que : PVVTTP=1\dfrac{\partial P}{\partial V} \dfrac{\partial V}{\partial T} \dfrac{\partial T}{\partial P} = -1.

Correction
On a :
PVVTTP=V(nRTV)T(nRTP)P(PVnR)\dfrac{\partial P}{\partial V} \dfrac{\partial V}{\partial T} \dfrac{\partial T}{\partial P} = \dfrac{\partial }{\partial V} \left( \dfrac{nRT}{V} \right) \dfrac{\partial }{\partial T} \left( \dfrac{nRT} {P} \right)\dfrac{\partial }{\partial P}\left( \dfrac{PV}{nR} \right)
Soit :
PVVTTP=nRTV(1V)nRPT(T)VnRP(P)\dfrac{\partial P}{\partial V} \dfrac{\partial V}{\partial T} \dfrac{\partial T}{\partial P} = nRT \dfrac{\partial }{\partial V} \left( \dfrac{1}{V} \right) \dfrac{nR}{P} \dfrac{\partial }{\partial T} \left( T \right)\dfrac{V}{nR} \dfrac{\partial }{\partial P}\left( P \right)
D'où :
PVVTTP=nRT×1V2×nRP×1×VnR×1\dfrac{\partial P}{\partial V} \dfrac{\partial V}{\partial T} \dfrac{\partial T}{\partial P} = nRT \times -\dfrac{1}{V^2} \times \dfrac{nR}{P} \times 1 \times \dfrac{V}{nR} \times 1
Ainsi :
PVVTTP=nRT×1V2×nRP×1×VnR×1\dfrac{\partial P}{\partial V} \dfrac{\partial V}{\partial T} \dfrac{\partial T}{\partial P} = nRT \times -\dfrac{1}{V^2} \times \dfrac{nR}{P} \times 1 \times \dfrac{V}{nR} \times 1
Ce qui nous donne :
PVVTTP=nRTPV=nRTnRT\dfrac{\partial P}{\partial V} \dfrac{\partial V}{\partial T} \dfrac{\partial T}{\partial P} = -\dfrac{nRT}{PV} = - \dfrac{nRT}{nRT}
Finalement, comme nRT0nRT \neq 0, on obtient alors :
PVVTTP=1{\color{red}{\boxed{\dfrac{\partial P}{\partial V} \dfrac{\partial V}{\partial T} \dfrac{\partial T}{\partial P} = - 1 }}}
Question 2

Montrer que pour un gaz parfait, on a : TPTVT=nRT \dfrac{\partial P}{\partial T} \dfrac{\partial V}{\partial T}= nR.

Correction
On a :
TPTVT=TT(nRTV)T(nRTP)T \dfrac{\partial P}{\partial T} \dfrac{\partial V}{\partial T} = T \dfrac{\partial}{\partial T} \left( \dfrac{nRT}{V} \right)\dfrac{\partial }{\partial T} \left( \dfrac{nRT}{P} \right)
Soit :
TPTVT=TnRVT(T)nRPT(T)T \dfrac{\partial P}{\partial T} \dfrac{\partial V}{\partial T} = T \dfrac{nR}{V}\dfrac{\partial}{\partial T} \left( T \right) \dfrac{nR}{P}\dfrac{\partial }{\partial T} \left( T \right)
D'où :
TPTVT=TnRV×1×nRP×1T \dfrac{\partial P}{\partial T} \dfrac{\partial V}{\partial T} = T \dfrac{nR}{V} \times 1 \times \dfrac{nR}{P} \times 1
Ainsi :
TPTVT=TnRVnRP=nR×nRTPV=nRTnRT=nR×1(nRT0)T \dfrac{\partial P}{\partial T} \dfrac{\partial V}{\partial T} = T \dfrac{nR}{V} \dfrac{nR}{P} = nR \times \dfrac{nRT}{PV} = \dfrac{nRT}{nRT} = nR \times 1 \,\,\,\,\,\, \left( nRT \neq 0 \right)
Finalement, on obtient :
TPTVT=nR{\color{red}{\boxed{T \dfrac{\partial P}{\partial T} \dfrac{\partial V}{\partial T} = nR }}}