Dérivation et Calcul différentiel

Dérivations partielles - Exercice 1

1 h
90
Pour les fonctions ff proposées, déterminer les dérivées partielles par rapport à toutes les variables, puis écrire l'expression de la différentielle associée dfdf.
Question 1

Soit (x ; y)∈R2⟼f(x ; y)=xln⁡(1+y2)+exy+xcos⁡(xy)+ycosh⁡(x)(x\,;\,y) \in \mathbb{R}^2 \longmapsto f(x\,;\,y) = x\ln(1+y^2) + e^{xy} + x\cos(xy) + \dfrac{y}{\cosh(x)}
Sur le pavé x∈[−1 ; 1]×y∈[−1 ; 1]x \in [-1\,;\,1] \times y \in [-1\,;\,1] la surface représentative de ff est :

Correction
On a la dérivée partielle, par rapport à la variable xx, suivante :
∂f∂x(x ; y)=∂∂x(xln⁡(1+y2)+exy+xcos⁡(xy)+ycosh⁡(x))\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( x\ln(1+y^2) + e^{xy} + x\cos(xy) + \dfrac{y}{\cosh(x)} \right)
Soit :
∂f∂x(x ; y)=ln⁡(1+y2)∂∂x(x)+∂∂x(xy)exy+∂∂x(xcos⁡(xy))+y∂∂x(1cosh⁡(x))\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y) = \ln(1+y^2)\dfrac{\partial }{\partial x}(x) + \dfrac{\partial }{\partial x}(xy)e^{xy} + \dfrac{\partial }{\partial x}\left(x\cos(xy) \right) + y\dfrac{\partial }{\partial x}\left(\dfrac{1}{\cosh(x)}\right)
Soit encore :
∂f∂x(x ; y)=ln⁡(1+y2)∂∂x(x)+yexy∂∂x(x)+(∂∂x(x)cos⁡(xy)+x∂∂x(cos⁡(xy)))+y(−cosh⁡′(x)cosh⁡2(x))\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y) = \ln(1+y^2)\dfrac{\partial }{\partial x}(x) + ye^{xy}\dfrac{\partial }{\partial x}(x) + \left(\dfrac{\partial }{\partial x}(x)\cos(xy) + x \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \cos(xy) \right) \right) + y\left(\dfrac{-\cosh'(x)}{\cosh^2(x)}\right)
Comme ∂∂x(x)=1\dfrac{\partial }{\partial x}(x) = 1 et que ∂∂x(cos⁡(xy))=−ysin⁡(xy)\dfrac{\partial }{\partial x} \left( \cos(xy) \right) = -y\sin(xy), on en déduit que :
∂f∂x(x ; y)=ln⁡(1+y2)+yexy+cos⁡(xy)−xysin⁡(xy)−ysinh⁡(x)cosh⁡2(x)\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y) = \ln(1+y^2) + ye^{xy} + \cos(xy) - xy\sin(xy) - y\dfrac{\sinh(x)}{\cosh^2(x)}
Soit encore :
∂f∂x(x ; y)=ln⁡(1+y2)+yexy+cos⁡(xy)−xysin⁡(xy)−y1cosh⁡(x)sinh⁡(x)cosh⁡(x)\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y) = \ln(1+y^2) + ye^{xy} + \cos(xy) - xy\sin(xy) - y\dfrac{1}{\cosh(x)}\dfrac{\sinh(x)}{\cosh(x)}
D'où :
∂f∂x(x ; y)=ln⁡(1+y2)+yexy+cos⁡(xy)−xysin⁡(xy)−y1cosh⁡(x)tanh⁡(x)\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y) = \ln(1+y^2) + ye^{xy} + \cos(xy) - xy\sin(xy) - y\dfrac{1}{\cosh(x)} \tanh(x)
Finalement, on obtient :
∂f∂x(x ; y)=ln⁡(1+y2)+yexy+cos⁡(xy)−xysin⁡(xy)−ytanh⁡(x)cosh⁡(x){\color{red}{\boxed{ \dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y) = \ln(1+y^2) + ye^{xy} + \cos(xy) - xy\sin(xy) - y\dfrac{\tanh(x)}{\cosh(x)} }}}
Puis, on a la dérivée partielle, par rapport à la variable yy, suivante :
∂f∂y(x ; y)=∂∂y(xln⁡(1+y2)+exy+xcos⁡(xy)+ycosh⁡(x))\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( x\ln(1+y^2) + e^{xy} + x\cos(xy) + \dfrac{y}{\cosh(x)} \right)
Soit :
∂f∂y(x ; y)=x∂∂y(ln⁡(1+y2))+∂∂y(exy)+x∂∂y(cos⁡(xy))+1cosh⁡(x)∂∂y(y)\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y) = x\dfrac{\partial }{\partial y} \left(\ln(1+y^2) \right) + \dfrac{\partial }{\partial y} \left(e^{xy}\right) + x \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\cos(xy) \right) + \dfrac{1}{\cosh(x)} \dfrac{\partial }{\partial y} (y)
Avec ∂∂y(y)=1\dfrac{\partial }{\partial y} (y) = 1, on obtient :
∂f∂y(x ; y)=x(1+y2)′1+y2+xexy∂∂y(y)−x2sin⁡(xy)+1cosh⁡(x)\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y) = x\dfrac{(1+y^2)'}{1+y^2} + xe^{xy}\dfrac{\partial }{\partial y}(y) - x^2\sin(xy) + \dfrac{1}{\cosh(x)}
D'où :
∂f∂y(x ; y)=x2y1+y2+xexy−x2sin⁡(xy)+1cosh⁡(x)\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y) = x\dfrac{2y}{1+y^2} + xe^{xy} - x^2\sin(xy) + \dfrac{1}{\cosh(x)}
Finalement, on obtient :
∂f∂y(x ; y)=2xy1+y2+xexy−x2sin⁡(xy)+1cosh⁡(x){\color{red}{\boxed{ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y) = \dfrac{2xy}{1+y^2} + xe^{xy} - x^2\sin(xy) + \dfrac{1}{\cosh(x)} }}}
La différentielle dfdf est donc donnée par l'expression suivante :
df(x ; y)=(ln⁡(1+y2)+yexy+cos⁡(xy)−xysin⁡(xy)−ytanh⁡(x)cosh⁡(x)) dx+(2xy1+y2+xexy−x2sin⁡(xy)+1cosh⁡(x)) dy{\color{red}{\boxed{ df(x\,;\,y) = \left( \ln\left(1+y^2\right) + ye^{xy} + \cos(xy) - xy\sin(xy) - y\dfrac{\tanh(x)}{\cosh(x)} \right) \, dx + \left(\dfrac{2xy}{1+y^2} + xe^{xy} - x^2\sin(xy) + \dfrac{1}{\cosh(x)} \right) \, dy }}}
Question 2

Soit (x ; y ; z)∈R3⟼f(x ; y ; z)=xyzyxzzxy(x\,;\,y\,;\,z) \in \mathbb{R}^3 \longmapsto f(x\,;\,y\,;\,z) = x^{yz}y^{xz}z^{xy}

Correction
On a la dérivée partielle, par rapport à la variable xx, suivante :
∂f∂x(x ; y ; z)=∂∂x(xyzyxzzxy)\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( x^{yz}y^{xz}z^{xy} \right)
Soit :
∂f∂x(x ; y ; z)=∂∂x(xyz)yxzzxy+xyz∂∂x(yxz)zxy+xyzyxz∂∂x(zxy)\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( x^{yz}\right) y^{xz}z^{xy} + x^{yz} \dfrac{\partial }{\partial x} \left( y^{xz}\right) z^{xy} + x^{yz}y^{xz} \dfrac{\partial }{\partial x} \left( z^{xy} \right)
Dans l'expression ∂∂x(xyz) \dfrac{\partial }{\partial x} \left( x^{yz}\right) la puissance yzyz est indépendante de xx, donc ∂∂x(xyz)=yzxyz−1\dfrac{\partial }{\partial x} \left( x^{yz}\right) = yz x^{yz-1} Puis, dans les termes ∂∂x(yxz)\dfrac{\partial }{\partial x} \left( y^{xz}\right) et ∂∂x(zxy)\dfrac{\partial }{\partial x} \left( z^{xy} \right) les puissances dépendes de xx, c'est pourquoi :
∂∂x(yxz)=∂∂x(eln⁡(yxz))=∂∂x(exzln⁡(y))=∂∂x(xzln⁡(y))exzln⁡(y)=zln⁡(y)exzln⁡(y)=zln⁡(y)yxz\dfrac{\partial }{\partial x} \left( y^{xz}\right) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( e^{\ln\left(y^{xz}\right)}\right) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( e^{xz\ln\left(y\right)}\right) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( xz\ln\left(y\right)\right) e^{xz\ln\left(y\right)} = z\ln\left(y\right)e^{xz\ln\left(y\right)} = z\ln\left(y\right)y^{xz}
De même :
∂∂x(zxy)=∂∂x(eln⁡(zxy))=∂∂x(exyln⁡(z))=∂∂x(xyln⁡(z))exyln⁡(z)=yln⁡(z)exyln⁡(z)=yln⁡(z)zxy\dfrac{\partial }{\partial x} \left( z^{xy} \right) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( e^{\ln\left(z^{xy}\right)}\right) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( e^{xy\ln\left(z\right)}\right) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( xy\ln\left(z\right)\right) e^{xy\ln\left(z\right)} = y\ln\left(z\right)e^{xy\ln\left(z\right)} = y\ln\left(z\right)z^{xy}
On obtient alors :
∂f∂x(x ; y ; z)=yzxyz−1yxzzxy+xyzzln⁡(y)yxzzxy+xyzyxzyln⁡(z)zxy\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = yz x^{yz-1}y^{xz}z^{xy} + x^{yz} z\ln\left(y\right)y^{xz} z^{xy} + x^{yz}y^{xz} y\ln\left(z\right)z^{xy}
Soit encore :
∂f∂x(x ; y ; z)=(yzx+zln⁡(y)+yln⁡(z))xyzyxzzxy\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \left( \dfrac{yz}{x} + z\ln\left(y\right) + y\ln\left(z\right)\right) x^{yz}y^{xz}z^{xy}
On a encore :
∂f∂x(x ; y ; z)=(yzx+ln⁡(yz)+ln⁡(zy))xyzyxzzxy\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \left( \dfrac{yz}{x} + \ln\left(y^z\right) + \ln\left(z^y\right)\right) x^{yz}y^{xz}z^{xy}
En utilisant des propriétés de la fonction logarithme naturel, on obtient finalement :
∂f∂x(x ; y ; z)=(yzx+ln⁡(yzzy))xyzyxzzxy{\color{red}{\boxed{ \dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y\,;\,z) = \left( \dfrac{yz}{x} + \ln\left(y^zz^y\right)\right) x^{yz}y^{xz}z^{xy} }}}
On a la dérivée partielle, par rapport à la variable yy, suivante :
∂f∂y(x ; y ; z)=∂∂y(xyzyxzzxy)=∂∂y(xyz)yxzzxy+xyz∂∂y(yxz)zxy+xyzyxz∂∂y(zxy)\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( x^{yz}y^{xz}z^{xy} \right) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( x^{yz} \right) y^{xz}z^{xy} + x^{yz} \dfrac{\partial }{\partial y} \left(y^{xz} \right) z^{xy} + x^{yz}y^{xz} \dfrac{\partial }{\partial y} \left( z^{xy} \right)
On a donc :
∂∂y(yxz)=xz yxz−1\dfrac{\partial }{\partial y} \left(y^{xz} \right) = xz \, y^{xz-1}
Puis :
∂∂y(xyz)=∂∂y(eln⁡(xyz))=∂∂y(eyzln⁡(x))=∂∂y(yzln⁡(x))eyzln⁡(x)=zln⁡(x)eyzln⁡(x)=ln⁡(xz)xyz\dfrac{\partial }{\partial y} \left( x^{yz} \right) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( e^{\ln\left(x^{yz}\right)} \right) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( e^{yz\ln\left(x\right)} \right) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( yz\ln\left(x\right) \right)e^{yz\ln\left(x\right)} = z\ln\left(x\right) e^{yz\ln\left(x\right)} = \ln\left(x^z\right) x^{yz}
De même :
∂∂y(zxy)=∂∂y(eln⁡(zxy))=∂∂y(exyln⁡(z))=∂∂y(xyln⁡(z))exyln⁡(z)=xln⁡(z)exyln⁡(z)=ln⁡(zx)zxy\dfrac{\partial }{\partial y} \left( z^{xy} \right) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( e^{\ln\left(z^{xy}\right)} \right) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( e^{xy\ln\left(z\right)} \right) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( xy\ln\left(z\right) \right)e^{xy\ln\left(z\right)} = x\ln\left(z\right) e^{xy\ln\left(z\right)} = \ln\left(z^x\right) z^{xy}
Ce qui nous donne :
∂f∂y(x ; y ; z)=ln⁡(xz)xyzyxzzxy+xyzxz yxz−1zxy+xyzyxzln⁡(zx)zxy\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y\,;\,z) = \ln\left(x^z\right) x^{yz} y^{xz}z^{xy} + x^{yz} xz \, y^{xz-1} z^{xy} + x^{yz}y^{xz} \ln\left(z^x\right) z^{xy}
Soit encore :
∂f∂y(x ; y ; z)=ln⁡(xz)xyzyxzzxy+xyzxzyyxzzxy+xyzyxzln⁡(zx)zxy\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y\,;\,z) = \ln\left(x^z\right) x^{yz} y^{xz}z^{xy} + x^{yz} \dfrac{xz}{y} y^{xz} z^{xy} + x^{yz}y^{xz} \ln\left(z^x\right) z^{xy}
En factorisant par xyzyxzzxyx^{yz} y^{xz}z^{xy}, on obtient :
∂f∂y(x ; y ; z)=(ln⁡(xz)+xzy+ln⁡(zx))xyzyxzzxy\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y\,;\,z) = \left(\ln\left(x^z\right) + \dfrac{xz}{y} + \ln\left(z^x\right) \right) x^{yz} y^{xz}z^{xy}
En faisant usages des propriétés du logarithme, on obtient finalement :
∂f∂y(x ; y ; z)=(ln⁡(xzzx)+xzy)xyzyxzzxy{\color{red}{\boxed{ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y\,;\,z) = \left(\ln\left(x^zz^x\right) + \dfrac{xz}{y} \right) x^{yz} y^{xz}z^{xy} }}}
On a la dérivée partielle, par rapport à la variable zz, suivante :
∂f∂z(x ; y ; z)=∂∂z(xyzyxzzxy)=∂∂z(xyz)yxzzxy+xyz∂∂z(yxz)zxy+xyzyxz∂∂z(zxy)\dfrac{\partial f}{\partial z}(x\,;\,y\,;\,z) = \dfrac{\partial }{\partial z} \left( x^{yz}y^{xz}z^{xy} \right) = \dfrac{\partial }{\partial z} \left( x^{yz} \right) y^{xz}z^{xy} + x^{yz} \dfrac{\partial }{\partial z} \left(y^{xz} \right) z^{xy} + x^{yz}y^{xz} \dfrac{\partial }{\partial z} \left( z^{xy} \right)
On a donc :
∂∂z(zxy)=xy zxy−1\dfrac{\partial }{\partial z} \left(z^{xy} \right) = xy \, z^{xy-1}
Puis :
∂∂z(xyz)=∂∂z(eln⁡(xyz))=∂∂z(eyzln⁡(x))=∂∂z(yzln⁡(x))eyzln⁡(x)=yln⁡(x)eyzln⁡(x)=ln⁡(xy)xyz\dfrac{\partial }{\partial z} \left( x^{yz} \right) = \dfrac{\partial }{\partial z} \left( e^{\ln\left(x^{yz}\right)} \right) = \dfrac{\partial }{\partial z} \left( e^{yz\ln\left(x\right)} \right) = \dfrac{\partial }{\partial z} \left( yz\ln\left(x\right) \right)e^{yz\ln\left(x\right)} = y\ln\left(x\right) e^{yz\ln\left(x\right)} = \ln\left(x^y\right) x^{yz}
De même :
∂∂z(yxz)=∂∂z(eln⁡(yxz))=∂∂z(exzln⁡(y))=∂∂z(xzln⁡(y))exzln⁡(y)=xln⁡(y)exzln⁡(y)=ln⁡(yx)yxz\dfrac{\partial }{\partial z} \left( y^{xz} \right) = \dfrac{\partial }{\partial z} \left( e^{\ln\left(y^{xz}\right)} \right) = \dfrac{\partial }{\partial z} \left( e^{xz\ln\left(y\right)} \right) = \dfrac{\partial }{\partial z} \left( xz\ln\left(y\right) \right)e^{xz\ln\left(y\right)} = x\ln\left(y\right) e^{xz\ln\left(y\right)} = \ln\left(y^x\right) y^{xz}
Ce qui nous donne :
∂f∂z(x ; y ; z)=ln⁡(xy)xyzyxzzxy+xyzln⁡(yx)yxzzxy+xyzyxzxy zxy−1\dfrac{\partial f}{\partial z}(x\,;\,y\,;\,z) = \ln\left(x^y\right) x^{yz} y^{xz}z^{xy} + x^{yz} \ln\left(y^x\right) y^{xz} z^{xy} + x^{yz}y^{xz} xy \, z^{xy-1}
Soit encore :
∂f∂z(x ; y ; z)=ln⁡(xy)xyzyxzzxy+ln⁡(yx)xyzyxzzxy+xyz xyzyxzzxy\dfrac{\partial f}{\partial z}(x\,;\,y\,;\,z) = \ln\left(x^y\right) x^{yz} y^{xz}z^{xy} + \ln\left(y^x\right) x^{yz} y^{xz} z^{xy} + \dfrac{xy}{z} \, x^{yz} y^{xz} z^{xy}
En factorisant par xyzyxzzxyx^{yz} y^{xz}z^{xy}, on obtient :
∂f∂z(x ; y ; z)=(ln⁡(xy)+ln⁡(yx)+xyz)xyzyxzzxy\dfrac{\partial f}{\partial z}(x\,;\,y\,;\,z) = \left( \ln\left(x^y\right) + \ln\left(y^x\right) + \dfrac{xy}{z} \right) x^{yz} y^{xz} z^{xy}
En faisant usages des propriétés du logarithme, on obtient finalement :
∂f∂z(x ; y ; z)=(ln⁡(xyyx)+xyz)xyzyxzzxy{\color{red}{\boxed{ \dfrac{\partial f}{\partial z}(x\,;\,y\,;\,z) = \left(\ln\left(x^yy^x\right) + \dfrac{xy}{z} \right) x^{yz} y^{xz}z^{xy} }}}
Ainsi, la différentielle dfdf prend l'expression suivante :
df(x ; y ; z)=(yzx+ln⁡(yzzy))xyzyxzzxy dx+(ln⁡(xzzx)+xzy)xyzyxzzxy dy+(ln⁡(xyyx)+xyz)xyzyxzzxy dzdf(x\,;\,y\,;\,z) = \left( \dfrac{yz}{x} + \ln\left(y^zz^y\right)\right) x^{yz}y^{xz}z^{xy} \, dx + \left(\ln\left(x^zz^x\right) + \dfrac{xz}{y} \right) x^{yz} y^{xz}z^{xy} \, dy + \left(\ln\left(x^yy^x\right) + \dfrac{xy}{z} \right) x^{yz} y^{xz}z^{xy} \, dz
Finalement :
df(x ; y ; z)=((yzx+ln⁡(yzzy)) dx+(ln⁡(xzzx)+xzy) dy+(ln⁡(xyyx)+xyz) dz)xyzyxzzxy{\color{red}{\boxed{ df(x\,;\,y\,;\,z) = \left( \left( \dfrac{yz}{x} + \ln\left(y^zz^y\right)\right) \, dx + \left(\ln\left(x^zz^x\right) + \dfrac{xz}{y} \right) \, dy + \left(\ln\left(x^yy^x\right) + \dfrac{xy}{z} \right) \, dz \right) x^{yz} y^{xz}z^{xy} }}}
Question 3

Soit (x ; y ; z ; t)∈R4⟼f(x ; y ; z ; t)=xxyyzztt(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) \in \mathbb{R}^4 \longmapsto f(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = x^x y^y z^z t^t

Correction
On a la dérivée partielle de ff, par rapport à la variable xx, suivante :
∂f∂x(x ; y ; z ; t)=∂∂x(xxyyzztt)=yyzztt∂∂x(xx)=yyzztt∂∂x(eln⁡(xx))=yyzztt∂∂x(exln⁡(x))\dfrac{\partial f}{\partial x} (x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(x^x y^y z^z t^t \right) = y^y z^z t^t \dfrac{\partial }{\partial x} \left(x^x\right) = y^y z^z t^t \dfrac{\partial }{\partial x} \left(e^{\ln\left(x^x\right)}\right) = y^y z^z t^t \dfrac{\partial }{\partial x} \left(e^{x\ln\left(x\right)}\right)
Soit :
∂f∂x(x ; y ; z ; t)=yyzztt∂∂x(xln⁡(x))exln⁡(x)=yyzztt(x′ln⁡(x)+x(ln⁡(x))′)xx\dfrac{\partial f}{\partial x} (x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = y^y z^z t^t \dfrac{\partial }{\partial x} \left(x\ln\left(x\right)\right) e^{x\ln\left(x\right)} = y^y z^z t^t \left(x'\ln(x) + x \left( \ln(x)\right)'\right) x^x
Donc :
∂f∂x(x ; y ; z ; t)=(1×ln⁡(x)+x×1x)xxyyzztt\dfrac{\partial f}{\partial x} (x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left(1 \times \ln(x) + x \times\dfrac{1}{x}\right) x^x y^y z^z t^t
Finalement :
∂f∂x(x ; y ; z ; t)=(ln⁡(x)+1)xxyyzztt{\color{red}{\boxed{\dfrac{\partial f}{\partial x} (x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left(\ln(x) + 1\right) x^x y^y z^z t^t }}}
Les rôles parfaitement symétriques des quatre variables xx, yy, zz et tt, nous permettent d'écrire que :
{∂f∂x(x ; y ; z ; t)=(ln⁡(x)+1)xxyyzztt∂f∂y(x ; y ; z ; t)=(ln⁡(y)+1)xxyyzztt∂f∂z(x ; y ; z ; t)=(ln⁡(z)+1)xxyyzztt∂f∂t(x ; y ; z ; t)=(ln⁡(t)+1)xxyyzztt{\color{red}{\boxed{\left\lbrace \begin{array}{rcl} \dfrac{\partial f}{\partial x} (x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) & = & \left(\ln(x) + 1\right) x^x y^y z^z t^t \\ & & \\ \dfrac{\partial f}{\partial y} (x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) & = & \left(\ln(y) + 1\right) x^x y^y z^z t^t \\ & & \\ \dfrac{\partial f}{\partial z} (x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) & = & \left(\ln(z) + 1\right) x^x y^y z^z t^t \\ & & \\ \dfrac{\partial f}{\partial t} (x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) & = & \left(\ln(t) + 1\right) x^x y^y z^z t^t \\ & & \\ \end{array}\right. }}}
Donc, la différentielle dfdf prend la forme suivante :
d(x ; y ; z ; t)=(ln⁡(x)+1)xxyyzztt dx+(ln⁡(y)+1)xxyyzztt dy+(ln⁡(z)+1)xxyyzztt dz+(ln⁡(t)+1)xxyyzztt dtd(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left(\ln(x) + 1\right) x^x y^y z^z t^t \, dx + \left(\ln(y) + 1\right) x^x y^y z^z t^t \, dy + \left(\ln(z) + 1\right) x^x y^y z^z t^t \, dz + \left(\ln(t) + 1\right) x^x y^y z^z t^t \, dt
En factorisant par xxyyzzttx^x y^y z^z t^t, on obtient :
d(x ; y ; z ; t)=((ln⁡(x)+1) dx+(ln⁡(y)+1) dy+(ln⁡(z)+1) dz+(ln⁡(t)+1) dt)xxyyzztt{\color{red}{\boxed{ d(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left(\left(\ln(x) + 1\right) \, dx + \left(\ln(y) + 1\right) \, dy + \left(\ln(z) + 1\right) \, dz + \left(\ln(t) + 1\right) \, dt \right) x^x y^y z^z t^t }}}
Question 4

Soit (x ; y ; z ; t)∈R4⟼f(x ; y ; z ; t)=cos⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))+zcos⁡(z)+yln⁡(1+tsinh⁡2(x2))(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) \in \mathbb{R}^4 \longmapsto f(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \cos\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) +z^{\cos(z)} + y\ln\left( 1 + t\sinh^2\left(x^2\right)\right)

Correction
La dérivée partielle de ff par rapport à xx est donnée par :
∂f∂x(x ; y ; z ; t)=∂∂x(cos⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))+zcos⁡(z)+yln⁡(1+tsinh⁡2(x2)))\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\cos\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) + z^{\cos(z)} + y\ln\left( 1 + t\sinh^2\left(x^2\right)\right) \right)
Soit :
∂f∂x(x ; y ; z ; t)=∂∂x(cos⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t)))+0+∂∂x(yln⁡(1+tsinh⁡2(x2)))\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\cos\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) \right) + 0 + \dfrac{\partial }{\partial x} \left(y\ln\left( 1 + t\sinh^2\left(x^2\right)\right) \right)
Soit encore :
∂f∂x(x ; y ; z ; t)=−∂∂x(3x2+ycosh⁡(xyz+t))sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))+0+y∂∂x(1+tsinh⁡2(x2))1+tsinh⁡2(x2)\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = -\dfrac{\partial }{\partial x} \left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) \sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right)+ 0 + y\dfrac{\dfrac{\partial }{\partial x} \left( 1 + t\sinh^2\left(x^2\right)\right)}{1 + t\sinh^2\left(x^2\right)}
Ce qui nous donne :
∂f∂x(x ; y ; z ; t)=−(6x+y∂∂x(cosh⁡(xyz+t)))sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))+0+yt∂∂x(sinh⁡2(x2))1+tsinh⁡2(x2)\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = - \left(6x + y \dfrac{\partial }{\partial x} \left(\cosh(xyz+t) \right)\right) \sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right)+ 0 + y\dfrac{t\dfrac{\partial }{\partial x} \left(\sinh^2\left(x^2\right)\right)}{1 + t\sinh^2\left(x^2\right)}
Avec :
∂∂x(sinh⁡2(x2))=2sinh⁡(x2)∂∂x(sinh⁡(x2))=2sinh⁡(x2)∂∂x(x2)cosh⁡(x2)=4xsinh⁡(x2)cosh⁡(x2)\dfrac{\partial }{\partial x} \left(\sinh^2\left(x^2\right)\right) = 2 \sinh\left(x^2\right)\dfrac{\partial }{\partial x} \left(\sinh\left(x^2\right)\right) = 2 \sinh\left(x^2\right)\dfrac{\partial }{\partial x} \left(x^2\right) \cosh\left(x^2\right) = 4x \sinh\left(x^2\right) \cosh\left(x^2\right)
Ce qui nous donne donc :
∂∂x(sinh⁡2(x2))=2xsinh⁡(2x2)\dfrac{\partial }{\partial x} \left(\sinh^2\left(x^2\right)\right) = 2x\sinh\left(2x^2\right)
Puis :
∂∂x(cosh⁡(xyz+t))=∂∂x(xyz+t)sinh⁡(xyz+t)=yzsinh⁡(xyz+t)\dfrac{\partial }{\partial x} \left(\cosh(xyz+t) \right) = \dfrac{\partial }{\partial x} \left(xyz+t \right) \sinh(xyz+t) = yz \sinh(xyz+t)
On en déduit alors que :
∂f∂x(x ; y ; z ; t)=−(6x+yyzsinh⁡(xyz+t))sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))+yt2xsinh⁡(2x2)1+tsinh⁡2(x2)\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = - \left(6x + y yz \sinh(xyz+t)\right) \sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) + y\dfrac{t2x\sinh\left(2x^2\right)}{1 + t\sinh^2\left(x^2\right)}
Ainsi, on obtient :
∂f∂x(x ; y ; z ; t)=−(6x+y2zsinh⁡(xyz+t))sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))+2xytsinh⁡(2x2)1+tsinh⁡2(x2)\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = - \left(6x + y^2z \sinh(xyz+t)\right) \sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) + \dfrac{2xyt\sinh\left(2x^2\right)}{1 + t\sinh^2\left(x^2\right)}
Finalement :
∂f∂x(x ; y ; z ; t)=2xytsinh⁡(2x2)1+tsinh⁡2(x2)−(6x+y2zsinh⁡(xyz+t))sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t)){\color{red}{\boxed{\dfrac{\partial f}{\partial x}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{2xyt\sinh\left(2x^2\right)}{1 + t\sinh^2\left(x^2\right)} - \left(6x + y^2z \sinh(xyz+t)\right) \sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) }}}
La dérivée partielle de ff par rapport à yy est donnée par :
∂f∂y(x ; y ; z ; t)=∂∂y(cos⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))+zcos⁡(z)+yln⁡(1+tsinh⁡2(x2)))\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\cos\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) + z^{\cos(z)} + y\ln\left( 1 + t\sinh^2\left(x^2\right)\right) \right)
Soit :
∂f∂y(x ; y ; z ; t)=∂∂y(cos⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t)))+0+∂∂y(yln⁡(1+tsinh⁡2(x2)))\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\cos\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) \right) + 0 + \dfrac{\partial }{\partial y} \left(y\ln\left( 1 + t\sinh^2\left(x^2\right)\right) \right)
Soit encore :
∂f∂y(x ; y ; z ; t)=−∂∂y(3x2+ycosh⁡(xyz+t))sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))+0+ln⁡(1+tsinh⁡2(x2))∂∂y(y)\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = -\dfrac{\partial }{\partial y} \left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right)\sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) + 0 + \ln\left( 1 + t\sinh^2\left(x^2\right)\right)\dfrac{\partial }{\partial y} \left(y \right)
Avec :
∂∂y(y)=1\dfrac{\partial }{\partial y} \left(y \right) = 1
Puis :
∂∂y(3x2+ycosh⁡(xyz+t))=∂∂y(ycosh⁡(xyz+t))=∂∂y(y)×cosh⁡(xyz+t)+y∂∂y(cosh⁡(xyz+t))\dfrac{\partial }{\partial y} \left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left(y\cosh(xyz+t) \right) = \dfrac{\partial }{\partial y} \left(y\right) \times \cosh(xyz+t) + y \dfrac{\partial }{\partial y} \left(\cosh(xyz+t) \right)
Soit :
∂∂y(3x2+ycosh⁡(xyz+t))=1×cosh⁡(xyz+t)+y∂∂y(xyz+t)sinh⁡(xyz+t)\dfrac{\partial }{\partial y} \left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) = 1 \times\cosh(xyz+t) + y \dfrac{\partial }{\partial y} \left(xyz+t \right)\sinh(xyz+t)
Soit encore :
∂∂y(3x2+ycosh⁡(xyz+t))=cosh⁡(xyz+t)+yxzsinh⁡(xyz+t)\dfrac{\partial }{\partial y} \left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) = \cosh(xyz+t) + y xz\sinh(xyz+t)
On obtient alors :
∂f∂y(x ; y ; z ; t)=−(cosh⁡(xyz+t)+xyzsinh⁡(xyz+t))sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))+ln⁡(1+tsinh⁡2(x2))\dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = -\left(\cosh(xyz+t) + xyz \sinh(xyz+t) \right) \sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) + \ln\left( 1 + t\sinh^2\left(x^2\right)\right)
Finalement :
∂f∂y(x ; y ; z ; t)=ln⁡(1+tsinh⁡2(x2))−(cosh⁡(xyz+t)+xyzsinh⁡(xyz+t))sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t)){\color{red}{\boxed{ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \ln\left( 1 + t\sinh^2\left(x^2\right)\right) - \left(\cosh(xyz+t) + xyz \sinh(xyz+t) \right) \sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right)}}}
La dérivée partielle de ff par rapport à zz est donnée par :
∂f∂z(x ; y ; z ; t)=∂∂z(cos⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))+zcos⁡(z)+yln⁡(1+tsinh⁡2(x2)))\dfrac{\partial f}{\partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial z} \left(\cos\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) + z^{\cos(z)} + y\ln\left( 1 + t\sinh^2\left(x^2\right)\right) \right)
Soit :
∂f∂z(x ; y ; z ; t)=∂∂z(cos⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t)))+∂∂z(zcos⁡(z))+0\dfrac{\partial f}{\partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial z} \left(\cos\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) \right) + \dfrac{\partial }{\partial z} \left( z^{\cos(z)}\right) + 0
Soit encore :
∂f∂z(x ; y ; z ; t)=−∂∂z(3x2+ycosh⁡(xyz+t))sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))+∂∂z(eln⁡(zcos⁡(z)))\dfrac{\partial f}{\partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = - \dfrac{\partial }{\partial z} \left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) \sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) + \dfrac{\partial }{\partial z} \left( e^{\ln\left(z^{\cos(z)}\right)}\right)
Qui s'écrit encore comme :
∂f∂z(x ; y ; z ; t)=−y∂∂z(cosh⁡(xyz+t))sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))+∂∂z(ecos⁡(z)ln⁡(z))\dfrac{\partial f}{\partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = - y\dfrac{\partial }{\partial z} \left(\cosh(xyz+t) \right) \sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) + \dfrac{\partial }{\partial z} \left( e^{\cos(z)\ln\left(z\right)}\right)
Où encore :
∂f∂z(x ; y ; z ; t)=−y∂∂z(xyz+t)sinh⁡(xyz+t)sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))+∂∂z(cos⁡(z)ln⁡(z))ecos⁡(z)ln⁡(z)\dfrac{\partial f}{\partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = - y\dfrac{\partial }{\partial z} \left(xyz+t \right) \sinh(xyz+t)\sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) + \dfrac{\partial }{\partial z} \left( \cos(z)\ln\left(z\right)\right) e^{\cos(z)\ln\left(z\right)}
Ce qui nous donne :
∂f∂z(x ; y ; z ; t)=−yxysinh⁡(xyz+t)sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))+∂∂z(cos⁡(z)ln⁡(z))zcos⁡(z)\dfrac{\partial f}{\partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = - yxy \sinh(xyz+t)\sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) + \dfrac{\partial }{\partial z} \left( \cos(z)\ln\left(z\right)\right) z^{\cos(z)}
Avec :
∂∂z(cos⁡(z)ln⁡(z))=−sin⁡(z)ln⁡(z)+cos⁡(z)1z=cos⁡(z)z−sin⁡(z)ln⁡(z)\dfrac{\partial }{\partial z} \left( \cos(z)\ln\left(z\right)\right) = -\sin(z)\ln\left(z\right) + \cos(z)\dfrac{1}{z} = \dfrac{\cos(z)}{z} - \sin(z)\ln(z)
Dès lors, l'expression de la dérivée partielle de ff, par rapport à zz, devient :
∂f∂z(x ; y ; z ; t)=−xy2sinh⁡(xyz+t)sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))+(cos⁡(z)z−sin⁡(z)ln⁡(z))zcos⁡(z)\dfrac{\partial f}{\partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = - xy^2 \sinh(xyz+t)\sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) + \left( \dfrac{\cos(z)}{z} - \sin(z)\ln(z)\right) z^{\cos(z)}
De même :
∂f∂z(x ; y ; z ; t)=−xy2sinh⁡(xyz+t)sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))+(cos⁡(z)−zsin⁡(z)ln⁡(z)z)zcos⁡(z)\dfrac{\partial f}{\partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = - xy^2 \sinh(xyz+t)\sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) + \left( \dfrac{\cos(z)- z\sin(z)\ln(z)}{z} \right) z^{\cos(z)}
Finalement :
∂f∂z(x ; y ; z ; t)=(cos⁡(z)−zsin⁡(z)ln⁡(z))zcos⁡(z)−1−xy2sinh⁡(xyz+t)sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t)){\color{red}{\boxed{ \dfrac{\partial f}{\partial z}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \left( \cos(z)- z\sin(z)\ln(z) \right) z^{\cos(z)-1} - xy^2 \sinh(xyz+t)\sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) }}}
La dérivée partielle de ff par rapport à tt est donnée par :
∂f∂t(x ; y ; z ; t)=∂∂t(cos⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))+zcos⁡(z)+yln⁡(1+tsinh⁡2(x2)))\dfrac{\partial f}{\partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial t} \left(\cos\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) + z^{\cos(z)} + y\ln\left( 1 + t\sinh^2\left(x^2\right)\right) \right)
Soit :
∂f∂t(x ; y ; z ; t)=∂∂t(cos⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t)))+0+∂∂t(yln⁡(1+tsinh⁡2(x2)))\dfrac{\partial f}{\partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = \dfrac{\partial }{\partial t} \left(\cos\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) \right) + 0 + \dfrac{\partial }{\partial t} \left(y\ln\left( 1 + t\sinh^2\left(x^2\right)\right) \right)
Soit encore :
∂f∂t(x ; y ; z ; t)=−∂∂t(3x2+ycosh⁡(xyz+t))sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))+y∂∂t(ln⁡(1+tsinh⁡2(x2)))\dfrac{\partial f}{\partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = -\dfrac{\partial }{\partial t} \left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) \sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) + y\dfrac{\partial }{\partial t} \left(\ln\left( 1 + t\sinh^2\left(x^2\right)\right) \right)
De même :
∂f∂t(x ; y ; z ; t)=−y∂∂t(cosh⁡(xyz+t))sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))+y∂∂t(1+tsinh⁡2(x2))1+tsinh⁡2(x2)\dfrac{\partial f}{\partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = -y \dfrac{\partial }{\partial t} \left(\cosh(xyz+t) \right) \sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) + y\dfrac{\dfrac{\partial }{\partial t} \left( 1 + t\sinh^2\left(x^2\right) \right)}{1 + t\sinh^2\left(x^2\right)}
Ou encore :
∂f∂t(x ; y ; z ; t)=−y∂∂t(xyz+t)sinh⁡(xyz+t)sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))+ysinh⁡2(x2)1+tsinh⁡2(x2)\dfrac{\partial f}{\partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = -y \dfrac{\partial }{\partial t} \left(xyz+t \right) \sinh(xyz+t) \sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) + y\dfrac{\sinh^2\left(x^2\right)}{1 + t\sinh^2\left(x^2\right)}
On obtient alors :
∂f∂t(x ; y ; z ; t)=−y∂∂t(t)sinh⁡(xyz+t)sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))+ysinh⁡2(x2)1+tsinh⁡2(x2)\dfrac{\partial f}{\partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = -y \dfrac{\partial }{\partial t} \left(t\right) \sinh(xyz+t) \sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) + \dfrac{y\sinh^2\left(x^2\right)}{1 + t\sinh^2\left(x^2\right)}
Comme ∂∂t(t)=1\dfrac{\partial }{\partial t} \left(t\right) = 1 :
∂f∂t(x ; y ; z ; t)=−ysinh⁡(xyz+t)sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))+ysinh⁡2(x2)1+tsinh⁡2(x2)\dfrac{\partial f}{\partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = - y \sinh(xyz+t) \sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) + \dfrac{y\sinh^2\left(x^2\right)}{1 + t\sinh^2\left(x^2\right)}
Finalement, en factorisant par yy, on trouve que :
∂f∂t(x ; y ; z ; t)=y(sinh⁡2(x2)1+tsinh⁡2(x2)−sinh⁡(xyz+t)sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))){\color{red}{\boxed{ \dfrac{\partial f}{\partial t}(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) = y \left( \dfrac{\sinh^2\left(x^2\right)}{1 + t\sinh^2\left(x^2\right)} - \sinh(xyz+t) \sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right)\right) }}}
La différentielle dfdf prend donc la forme suivante :
df(x ; y ; z ; t)=(2xytsinh⁡(2x2)1+tsinh⁡2(x2)−(6x+y2zsinh⁡(xyz+t))sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))) dx+(ln⁡(1+tsinh⁡2(x2))−(cosh⁡(xyz+t)+xyzsinh⁡(xyz+t))sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))) dy+((cos⁡(z)−zsin⁡(z)ln⁡(z))zcos⁡(z)−1−xy2sinh⁡(xyz+t)sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))) dz+y(sinh⁡2(x2)1+tsinh⁡2(x2)−sinh⁡(xyz+t)sin⁡(3x2+ycosh⁡(xyz+t))) dt{\color{red}{\boxed{\begin{array}{rcl} df(x\,;\,y\,;\,z\,;\,t) & = & \left( \dfrac{2xyt\sinh\left(2x^2\right)}{1 + t\sinh^2\left(x^2\right)} - \left(6x + y^2z \sinh(xyz+t)\right) \sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) \right) \, dx \\ & & \\ & + & \left( \ln\left( 1 + t\sinh^2\left(x^2\right)\right) - \left(\cosh(xyz+t) + xyz \sinh(xyz+t) \right) \sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) \right) \, dy \\ & & \\ & + & \left(\left( \cos(z)- z\sin(z)\ln(z) \right) z^{\cos(z)-1} - xy^2 \sinh(xyz+t)\sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right) \right) \, dz \\ & & \\ & + & y \left( \dfrac{\sinh^2\left(x^2\right)}{1 + t\sinh^2\left(x^2\right)} - \sinh(xyz+t) \sin\left(3x^2+y\cosh(xyz+t) \right)\right) \, dt \\ \end{array} }}}