Calculs de dérivées et de différentielles : Mise en pratique épisode 4 - Exercice 1

On a :
$$f'(x) = \left( \dfrac{1}{\ln\left( \ln\left( x\ln\left( \sin^2(x) \right) \right) \right)} \right)'$$
Soit :
$$f'(x) = - \dfrac{\left( \ln\left( \ln\left( x\ln\left( \sin^2(x) \right) \right) \right) \right)'}{\left( \ln\left( \ln\left( x\ln\left( \sin^2(x) \right) \right) \right) \right)^2} = - \dfrac{\dfrac{\left( \ln\left( x\ln\left( \sin^2(x) \right) \right) \right)'}{\ln\left( x\ln\left( \sin^2(x) \right) \right)}}{\left( \ln\left( \ln\left( x\ln\left( \sin^2(x) \right) \right) \right) \right)^2}$$
Soit :
$$f'(x) = \dfrac{\left( \ln\left( x\ln\left( \sin^2(x) \right) \right) \right)'}{\ln\left( x\ln\left( \sin^2(x) \right) \right) \left( \ln\left( \ln\left( x\ln\left( \sin^2(x) \right) \right) \right) \right)^2}$$
Soit encore :
$$f'(x) = \dfrac{\dfrac{\left( x\ln\left( \sin^2(x) \right) \right)'}{x\ln\left( \sin^2(x) \right)}}{\ln\left( x\ln\left( \sin^2(x) \right) \right) \left( \ln\left( \ln\left( x\ln\left( \sin^2(x) \right) \right) \right) \right)^2}$$
Qui va s'écrire comme :
$$f'(x) = \dfrac{\left( x\ln\left( \sin^2(x) \right) \right)'}{x\ln\left( \sin^2(x) \right)\ln\left( x\ln\left( \sin^2(x) \right) \right) \left( \ln\left( \ln\left( x\ln\left( \sin^2(x) \right) \right) \right) \right)^2}$$
Avec :
$$\left( x\ln\left( \sin^2(x) \right) \right)' = \ln\left( \sin^2(x) \right) + x\dfrac{(\sin^2(x))'}{\sin^2(x)} = \ln\left( \sin^2(x) \right) + x\dfrac{2 \cos(x)\sin(x)}{\sin^2(x)}$$
Soit :
$$\left( x\ln\left( \sin^2(x) \right) \right)' = \ln\left( \sin^2(x) \right) + 2x\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} = 2\ln\left( \sin(x) \right) + 2x \, \mathrm{cotan}(x)$$
Donc :
$$\left( x\ln\left( \sin^2(x) \right) \right)' = 2 \left(\ln\left( \sin(x) \right) + x \, \mathrm{cotan}(x) \right)$$
D'où :
$$f'(x) = \dfrac{2 \left(\ln\left( \sin(x) \right) + x \, \mathrm{cotan}(x) \right)}{x\ln\left( \sin^2(x) \right)\ln\left( x\ln\left( \sin^2(x) \right) \right) \left( \ln\left( \ln\left( x\ln\left( \sin^2(x) \right) \right) \right) \right)^2}$$
Soit encore :
$$f'(x) = \dfrac{2 \left(\ln\left( \sin(x) \right) + x \, \mathrm{cotan}(x) \right)}{2x\ln\left( \sin(x) \right)\ln\left( 2x\ln\left( \sin(x) \right) \right) \left( \ln\left( \ln\left( 2x\ln\left( \sin(x) \right) \right) \right) \right)^2}$$
Finalement, en simplifiant par $$2$$, on trouve que :
$${\color{red}{\boxed{f'(x) = \dfrac{\ln\left( \sin(x) \right) + x \, \mathrm{cotan}(x) }{x\ln\left( \sin(x) \right)\ln\left( 2x\ln\left( \sin(x) \right) \right) \left( \ln\left( \ln\left( 2x\ln\left( \sin(x) \right) \right) \right) \right)^2}}}}$$
On a alors :
$$f'(x) = \dfrac{df}{dx}(x)$$
En faisant usage de l'écriture de $$Leibniz$$, on peut donc écrire que :
$$df(x) = f'(x) \, dx$$
Ainsi, la différentielle de $$f$$ est donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{df(x) = \dfrac{\ln\left( \sin(x) \right) + x \, \mathrm{cotan}(x) }{x\ln\left( \sin(x) \right)\ln\left( 2x\ln\left( \sin(x) \right) \right) \left( \ln\left( \ln\left( 2x\ln\left( \sin(x) \right) \right) \right) \right)^2} \, dx}}}$$

On a :
$$f'(x) = \left(\dfrac{x}{e^{e^{xe^x}}} \right)' = \dfrac{x'e^{e^{xe^x}} - x \left( e^{e^{xe^x}} \right)'}{\left( e^{e^{xe^x}}\right)^2} = \dfrac{e^{e^{xe^x}} - x \left( e^{xe^x} \right)'e^{e^{xe^x}}}{\left( e^{e^{xe^x}}\right)^2}$$
En simplifiant par le terme $$e^{e^{xe^x}}$$ non nul sur l'intervalle $$[0\,;\,1]$$, on obtient :
$$f'(x) = \dfrac{1 - x \left( e^{xe^x} \right)'}{e^{e^{xe^x}}}$$
Ce qui nous donne :
$$f'(x) = \dfrac{1 - x \left( xe^x \right)'e^{xe^x}}{e^{e^{xe^x}}}$$
Soit :
$$f'(x) = \dfrac{1 - x \left( e^x + xe^x\right)e^{xe^x}}{e^{e^{xe^x}}}$$
Soit encore :
$$f'(x) = \dfrac{1 - x \left( 1 + x\right)e^x e^{xe^x}}{e^{e^{xe^x}}}$$
Or, on a $$e^x e^{xe^x} = e^{x+xe^x} = e^{x(1+e^x)}$$. On a donc :
$$f'(x) = \dfrac{1 - x \left( 1 + x\right)e^{x(1+e^x)}}{e^{e^{xe^x}}}$$
Ceci peut également s'écrire comme :
$$f'(x) = e^{-e^{xe^x}}\left( 1 - x \left( 1 + x\right)e^{x(1+e^x)}\right)$$
On obtient alors :
$$f'(x) = e^{-e^{xe^x}} - x \left( 1 + x\right) e^{x(1+e^x)} e^{-e^{xe^x}}$$
Finalement, on trouve que :
$${\color{red}{\boxed{f'(x) = e^{-e^{xe^x}} - x \left( 1 + x\right) e^{x(1+e^x)-e^{xe^x}} }}}$$
On a alors :
$$f'(x) = \dfrac{df}{dx}(x)$$
En faisant usage de l'écriture de $$Leibniz$$, on peut donc écrire que :
$$df(x) = f'(x) \, dx$$
Ainsi, la différentielle de $$f$$ est donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{df(x) = \left( e^{-e^{xe^x}} - x \left( 1 + x\right) e^{x(1+e^x)-e^{xe^x}} \right) \, dx}}}$$

On a :
$$f'(x) = \left(e^{1+\ln\left( 1 + e^{\cos(x)} \right)}\right)' = \left(1+\ln\left( 1 + e^{\cos(x)} \right)\right)' \times e^{1+\ln\left( 1 + e^{\cos(x)} \right)} = \left(\ln\left( 1 + e^{\cos(x)} \right)\right)' \times e^{1+\ln\left( 1 + e^{\cos(x)} \right)}$$
Soit :
$$f'(x) = \dfrac{\left(1 + e^{\cos(x)}\right)'}{1 + e^{\cos(x)} } \times e^{1+\ln\left( 1 + e^{\cos(x)} \right)} = \dfrac{\left(e^{\cos(x)}\right)'}{1 + e^{\cos(x)} } \times e^{1+\ln\left( 1 + e^{\cos(x)} \right)}$$
Donc :
$$f'(x) = \dfrac{\cos'(x)e^{\cos(x)}}{1 + e^{\cos(x)} } \times e^{1+\ln\left( 1 + e^{\cos(x)} \right)}$$
Ce qui nous donne :
$$f'(x) = \dfrac{-\sin(x)e^{\cos(x)}}{1 + e^{\cos(x)} } \times e^{1+\ln\left( 1 + e^{\cos(x)} \right)}$$
Puis, on a :
$$e^{1+\ln\left( 1 + e^{\cos(x)} \right)} = e^1 \times e^{\ln\left( 1 + e^{\cos(x)} \right)} = e \times \left( 1 + e^{\cos(x)} \right)$$
Donc, on en déduit que :
$$f'(x) = \dfrac{-\sin(x)e^{\cos(x)}}{1 + e^{\cos(x)} } \times e \times \left( 1 + e^{\cos(x)} \right)$$
En simplifiant par l'expression non nulle $$1 + e^{\cos(x)}$$, on trouve que :
$$f'(x) = -\sin(x)e^{\cos(x)} \times e = -\sin(x)e^{\cos(x)} \times e^1$$
Finalement, on trouve que :
$${\color{red}{\boxed{f'(x) = -\sin(x)e^{1+\cos(x)} }}}$$
On a alors :
$$f'(x) = \dfrac{df}{dx}(x)$$
En faisant usage de l'écriture de $$Leibniz$$, on peut donc écrire que :
$$df(x) = f'(x) \, dx$$
Ainsi, la différentielle de $$f$$ est donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{df(x) = -\sin(x)e^{1+\cos(x)} \, dx}}}$$

On a :
$$f'(x) = \left(e^{\cos\left(x^{\ln\left(1+\tan(\left(x^{\sin(x)}\right)\right)}\right)}\right)' = \left(\cos\left(x^{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)}\right) \right)' \times e^{\cos\left(x^{\ln\left(1+\tan(x^{\sin(x)}\right)}\right)}$$
Soit :
$$f'(x) = \left(x^{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)} \right)' \cos'\left(x^{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)}\right) \times e^{\cos\left(x^{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)}\right)}$$
Soit encore :
$$f'(x) = -\left(e^{\ln\left(x^{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)} \right)} \right)' \sin\left(x^{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)}\right) \times e^{\cos\left(x^{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)}\right)}$$
Avec :
$$\left(e^{\ln\left(x^{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)} \right)} \right)' = \left(e^{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)\ln\left(x \right)} \right)'$$
On peut donc écrire que :
$$\left(e^{\ln\left(x^{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)} \right)} \right)' = \left( \ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)\ln(x) \right)'\times e^{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)\ln(x)}$$
Et on a la dérivée suivante :
$$\left( \ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)\ln\left(x \right) \right)' = \dfrac{\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)'}{1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)} \ln(x) + \dfrac{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)}{x}$$
Soit :
$$\left( \ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)\ln\left(x \right) \right)' = \dfrac{\left(\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)'}{1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)} \ln(x) + \dfrac{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)}{x}$$
Soit encore :
$$\left( \ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)\ln\left(x \right) \right)' = \dfrac{\left(x^{\sin(x)}\right)'}{\cos^2\left( x^{\sin(x)} \right) \times \left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)} \ln(x) + \dfrac{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)}{x}$$
Ceci nous donne donc :
$$\left( \ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)\ln\left(x \right) \right)' = \dfrac{\left(e^{\ln\left(x^{\sin(x)}\right)}\right)'}{\cos^2\left( x^{\sin(x)} \right) \times \left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)} \ln(x) + \dfrac{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)}{x}$$
Ou encore :
$$\left( \ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)\ln\left(x \right) \right)' = \dfrac{\left(e^{\sin(x)\ln(x)}\right)'}{\cos^2\left( x^{\sin(x)} \right) \times \left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)} \ln(x) + \dfrac{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)}{x}$$
On en déduit donc que :
$$\left( \ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)\ln\left(x \right) \right)' = \dfrac{\left(\sin(x)\ln(x)\right)'e^{\sin(x)\ln(x)}}{\cos^2\left( x^{\sin(x)} \right) \times \left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)} \ln(x) + \dfrac{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)}{x}$$
D'où :
$$\left( \ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)\ln\left(x \right) \right)' = \dfrac{\left(\cos(x)\ln(x) + \dfrac{\sin(x)}{x}\right)e^{\sin(x)\ln(x)}}{\cos^2\left( x^{\sin(x)} \right) \times \left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)} \ln(x) + \dfrac{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)}{x}$$
Ce qui s'écrit aussi comme :
$$\left( \ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)\ln\left(x \right) \right)' = \dfrac{\left(\dfrac{x\cos(x)\ln(x)}{x} + \dfrac{\sin(x)}{x}\right)e^{\sin(x)\ln(x)}}{\cos^2\left( x^{\sin(x)} \right) \times \left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)} \ln(x) + \dfrac{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)}{x}$$
A savoir :
$$\left( \ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)\ln\left(x \right) \right)' = \dfrac{\left(x\cos(x)\ln(x) + \sin(x)\right)e^{\sin(x)\ln(x)}}{x\cos^2\left( x^{\sin(x)} \right) \left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)} \ln(x) + \dfrac{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)}{x}$$
Ou encore :
$$\left( \ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)\ln\left(x \right) \right)' = \dfrac{1}{x} \left(\dfrac{\left(x\cos(x)\ln(x) + \sin(x)\right)e^{\sin(x)\ln(x)}}{\cos^2\left( x^{\sin(x)} \right) \left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)} \ln(x) + \ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right) \right)$$
Ainsi, on peut donc écrire que :
$$\begin{array}{rcl} \left(e^{\ln\left(x^{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)} \right)} \right)' & = & \dfrac{1}{x} \left(\dfrac{\left(x\cos(x)\ln(x) + \sin(x)\right)e^{\sin(x)\ln(x)}}{\cos^2\left( x^{\sin(x)} \right) \left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)} \ln(x) + \ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right) \right) \\ & \times & e^{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)\ln(x)} \end{array}$$
Et on obtient alors :
$$\begin{array}{rcl} f'(x) & = & - \dfrac{1}{x} \left(\dfrac{\left(x\cos(x)\ln(x) + \sin(x)\right)e^{\sin(x)\ln(x)}}{\cos^2\left( x^{\sin(x)} \right) \left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)} \ln(x) + \ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right) \right) \\ & \times & e^{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)\ln(x)} \sin\left(x^{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)}\right) e^{\cos\left(x^{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)}\right)} \end{array}$$
Finalement, en regroupant les exponentielles, on trouve que :
$${\color{red}{\boxed{ \begin{array}{rcl} f'(x) & = & \dfrac{1}{x} \left(\dfrac{\left(x\cos(x)\ln(x) + \sin(x)\right)e^{\sin(x)\ln(x)}}{\cos^2\left( x^{\sin(x)} \right) \left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)} \ln(x) + \ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right) \right) \\ & & \\ & \times & \sin\left(x^{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)}\right) \, e^{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)\ln(x) + \cos\left(x^{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)}\right)} \\ \end{array} }}}$$
On a alors :
$$f'(x) = \dfrac{df}{dx}(x)$$
En faisant usage de l'écriture de $$Leibniz$$, on peut donc écrire que :
$$df(x) = f'(x) \, dx$$
Ainsi, la différentielle de $$f$$ est donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{\begin{array}{rcl} df(x) & = & \dfrac{1}{x} \left(\dfrac{\left(x\cos(x)\ln(x) + \sin(x)\right)e^{\sin(x)\ln(x)}}{\cos^2\left( x^{\sin(x)} \right) \left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)} \ln(x) + \ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right) \right) \\ & & \\ & \times & \sin\left(x^{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)}\right) \, e^{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)\ln(x) + \cos\left(x^{\ln\left(1+\tan\left(x^{\sin(x)}\right)\right)}\right)} \, dx \\ \end{array} }}}$$