Calculs de dérivées et de différentielles : Mise en pratique épisode 2 - Exercice 1

On a :
$$f'(x) = \left( \sqrt{\dfrac{1+x\cos(x)}{1+x\sin(x)}} \right)' = \dfrac{\left( \dfrac{1+x\cos(x)}{1+x\sin(x)} \right)'}{2\sqrt{\dfrac{1+x\cos(x)}{1+x\sin(x)}}}$$
Soit :
$$f'(x) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{(x\cos(x))'(1+x\sin(x))-(1+x\cos(x))(x\sin(x))'}{(1+x\sin(x))^2} \times\sqrt{\dfrac{1+x\sin(x)}{1+x\cos(x)}}$$
Donc :
$$f'(x) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{(\cos(x) - x\sin(x))(1+x\sin(x))-(1+x\cos(x))(\sin(x) + x\cos(x))}{(1+x\sin(x))^2} \times\sqrt{\dfrac{1+x\sin(x)}{1+x\cos(x)}}$$
Notons $$N = (\cos(x) - x\sin(x))(1+x\sin(x))-(1+x\cos(x))(\sin(x) + x\cos(x))$$. En développant, on obtient :
$$N = \cos(x) + x\cos(x)\sin(x) - x \sin(x) - x^2\sin^2(x) - \sin(x) - x \cos(x) - x\cos(x)\sin(x) - x^2\cos^2(x)$$
Ce qui s'écrit également :
$$N = -(x+1)\sin(x) - (x-1)\cos(x) - x^2\left( \sin^2(x) + \cos^2(x) \right) = -(x+1)\sin(x) - (x-1)\cos(x) - x^2$$
Soit encore :
$$N = - \left( (x+1)\sin(x) + (x-1)\cos(x) + x^2 \right)$$
Donc l'expression de $$f'(x)$$ devient :
$$f'(x) = -\dfrac{1}{2} \times \dfrac{(x+1)\sin(x) + (x-1)\cos(x) + x^2}{(1+x\sin(x))^2} \times\sqrt{\dfrac{1+x\sin(x)}{1+x\cos(x)}}$$
Finalement, on obtient :
$${\color{red}{\boxed{ f'(x) = - \dfrac{(x+1)\sin(x) + (x-1)\cos(x) + x^2}{2(1+x\sin(x))^\frac{3}{2} \sqrt{1+x\cos(x)}} }}}$$
On a alors :
$$f'(x) = \dfrac{df}{dx}(x)$$
En faisant usage de l'écriture de $$Leibniz$$, on peut donc écrire que :
$$df(x) = f'(x) \, dx$$
Ainsi, la différentielle de $$f$$ est donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{df(x) = - \dfrac{(x+1)\sin(x) + (x-1)\cos(x) + x^2}{2(1+x\sin(x))^\frac{3}{2} \sqrt{1+x\cos(x)}} \, dx}}}$$

On a :
$$f'(x) = \left( \sqrt{\dfrac{\cos(x)}{\pi + x^2\cos(x^3)}} \right)' = \dfrac{\left( \dfrac{\cos(x)}{\pi + x^2\cos(x^3)} \right)'}{2\sqrt{\dfrac{\cos(x)}{\pi + x^2\cos(x^3)}}} = \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\cos(x)}{\pi + x^2\cos(x^3)} \right)' \sqrt{\dfrac{\pi + x^2\cos(x^3)}{\cos(x)}}$$
Soit encore :
$$f'(x) = \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{-\sin(x)(\pi + x^2\cos(x^3))-\cos(x)(\pi + x^2\cos(x^3))'}{(\pi + x^2\cos(x^3))^2} \right) \sqrt{\dfrac{\pi + x^2\cos(x^3)}{\cos(x)}}$$
De plus, on a :
$$(\pi + x^2\cos(x^3))' = (x^2\cos(x^3))' = 2x\cos(x^3) + x^2(\cos(x^3))' = 2x\cos(x^3) - x^2(x^3)'\sin(x^3)$$
Donc :
$$(\pi + x^2\cos(x^3))' = 2x\cos(x^3) - 3x^2x^2\sin(x^3) = 2x\cos(x^3) - 3x^4\sin(x^3)$$
Ce qui nous donne :
$$(\pi + x^2\cos(x^3))' = 2x\cos(x^3) - 3x^2x^2\sin(x^3) = x \left(2\cos(x^3) - 3x^3\sin(x^3) \right)$$
Ainsi, la fonction dérivée pernd l'expression suivante :
$$f'(x) = \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{-\sin(x)(\pi + x^2\cos(x^3))-\cos(x)x \left(2\cos(x^3) - 3x^3\sin(x^3) \right)}{(\pi + x^2\cos(x^3))^2} \right) \sqrt{\dfrac{\pi + x^2\cos(x^3)}{\cos(x)}}$$
En développant le numérateur :
$$f'(x) = -\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\pi\sin(x) + x^2\cos(x^3)\sin(x) + 2x\cos(x)\cos(x^3) - 3x^4\sin(x^3)\cos(x)}{(\pi + x^2\cos(x^3))^2} \right) \sqrt{\dfrac{\pi + x^2\cos(x^3)}{\cos(x)}}$$
Ce qui nous donne donc :
$$f'(x) = -\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\pi\sin(x) + x\left( x\sin(x) + 2\cos(x) \right) \cos(x^3) - 3x^4\sin(x^3)\cos(x)}{(\pi + x^2\cos(x^3))^2} \right) \sqrt{\dfrac{\pi + x^2\cos(x^3)}{\cos(x)}}$$
Soit encore :
$$f'(x) = -\left( \dfrac{\pi\sin(x) + x\left( x\sin(x) + 2\cos(x) \right) \cos(x^3) - 3x^4\sin(x^3)\cos(x)}{2(\pi + x^2\cos(x^3))^2} \right) \dfrac{\sqrt{\pi + x^2\cos(x^3)}}{\sqrt{\cos(x)}}$$
Finalement, on obtient :
$${\color{red}{\boxed{ f'(x) = \dfrac{ 3x^4\sin(x^3)\cos(x) - x\left( x\sin(x) + 2\cos(x) \right) \cos(x^3) - \pi\sin(x) }{2(\pi + x^2\cos(x^3))^\frac{3}{2} \sqrt{\cos(x)}} }}}$$
On a alors :
$$f'(x) = \dfrac{df}{dx}(x)$$
En faisant usage de l'écriture de $$Leibniz$$, on peut donc écrire que :
$$df(x) = f'(x) \, dx$$
Ainsi, la différentielle de $$f$$ est donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{df(x) = \dfrac{ 3x^4\sin(x^3)\cos(x) - x\left( x\sin(x) + 2\cos(x) \right) \cos(x^3) - \pi\sin(x) }{2(\pi + x^2\cos(x^3))^\frac{3}{2} \sqrt{\cos(x)}} \, dx}}}$$

on a :
$$f'(x) = \left(\sin\left(\sqrt{\sin(x)}\right)\right)' = \left(\sqrt{\sin(x)}\right)'\sin'\left(\sqrt{\sin(x)}\right) = \dfrac{\left(\sin(x)\right)'}{2\sqrt{\sin(x)}} \cos\left(\sqrt{\sin(x)}\right)$$
Soit :
$${\color{red}{\boxed{ f'(x) = \dfrac{\cos(x)}{2\sqrt{\sin(x)}} \cos\left(\sqrt{\sin(x)}\right) }}}$$
On a alors :
$$f'(x) = \dfrac{df}{dx}(x)$$
En faisant usage de l'écriture de $$Leibniz$$, on peut donc écrire que :
$$df(x) = f'(x) \, dx$$
Ainsi, la différentielle de $$f$$ est donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{df(x) = \dfrac{\cos(x)}{2\sqrt{\sin(x)}} \cos\left(\sqrt{\sin(x)}\right) \, dx}}}$$

On a :
$$f'(x) = \left(\tan\left(\sqrt{\sin(\cos(x))}\right)\right)' = \left( \sqrt{\sin(\cos(x))} \right)' \times \tan'\left(\sqrt{\sin(\cos(x))}\right)$$
Ce qui nous donne :
$$f'(x) = \dfrac{\left( \sin(\cos(x)) \right)'}{2\sqrt{\sin(\cos(x))}} \times \dfrac{1}{\cos^2\left(\sqrt{\sin(\cos(x))}\right)}$$
Soit encore :
$$f'(x) = \dfrac{\left( \cos(x) \right)'\sin'(\cos(x))}{2\sqrt{\sin(\cos(x))}} \times \dfrac{1}{\cos^2\left(\sqrt{\sin(\cos(x))}\right)}$$
Ce qui nous donne :
$$f'(x) = \dfrac{-\cos(x) \cos(\cos(x))}{2\sqrt{\sin(\cos(x))}} \times \dfrac{1}{\cos^2\left(\sqrt{\sin(\cos(x))}\right)}$$
$${\color{red}{\boxed{ f'(x) = - \dfrac{\cos(x) \cos(\cos(x))}{2\sqrt{\sin(\cos(x))}\cos^2\left(\sqrt{\sin(\cos(x))}\right)} }}}$$
On a alors :
$$f'(x) = \dfrac{df}{dx}(x)$$
En faisant usage de l'écriture de $$Leibniz$$, on peut donc écrire que :
$$df(x) = f'(x) \, dx$$
Ainsi, la différentielle de $$f$$ est donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{df(x) = - \dfrac{\cos(x) \cos(\cos(x))}{2\sqrt{\sin(\cos(x))}\cos^2\left(\sqrt{\sin(\cos(x))}\right)} \, dx}}}$$