Calculs de dérivées et de différentielles : Mise en pratique - Exercice 1

Il s'agit d'une fonction composée. On a alors :
$$f'(x) = \left( \cos\left( \sqrt{1+x^2} \right) \right)' = \cos'\left( \sqrt{1+x^2} \right) \times \left( \sqrt{1+x^2} \right)' = -\sin\left( \sqrt{1+x^2} \right) \times \dfrac{\left(1+x^2 \right)'}{2\sqrt{1+x^2}}$$
Ce qui nous donne :
$$f'(x) = -\sin\left( \sqrt{1+x^2} \right) \times \dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}$$
Finalement :
$${\color{red}{\boxed{f'(x) = -\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\sin\left( \sqrt{1+x^2} \right)}}}$$
On a alors :
$$f'(x) = \dfrac{df}{dx}(x)$$
En faisant usage de l'écriture de $$Leibniz$$, on peut donc écrire que :
$$df(x) = f'(x) \, dx$$
Ainsi, la différentielle de $$f$$ est donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{df(x) = -\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\sin\left( \sqrt{1+x^2} \right) \, dx}}}$$

Il s'agit d'une composée de fonctions. Ce qui nous donne :
$$f'(x) = \left(\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}}}}} \right)' = \dfrac{-\left( \sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}}}}\right)'}{\left( \sqrt{\dfrac{1}{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}}}} \right)^2} = \dfrac{-\left( \dfrac{1}{\sqrt{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}}}}\right)'}{ \dfrac{1}{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}}}}$$
Ce qui nous donne :
$$f'(x) = - \left( 1+\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}} \right) \left( \dfrac{1}{\sqrt{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}}}}\right)'$$
Soit encore :
$$f'(x) = - \left( 1+\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}} \right) \dfrac{-\left(\sqrt{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}}}\right)'}{\left(\sqrt{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}}}\right)^2}$$
On obtient alors :
$$f'(x) = \left( 1+\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}} \right) \dfrac{\left(\sqrt{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}}}\right)'}{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}}} = \left(\sqrt{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}}}\right)'$$
Ainsi, nous pouvons écrire que :
$$f'(x) = \dfrac{\left( 1+\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}} \right)'}{2\sqrt{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}}}} = \dfrac{\left( \sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}} \right)'}{2\sqrt{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}}}} = \dfrac{\dfrac{\left( \dfrac{1}{1+x^2\cos(x)} \right)'}{2\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}}}}{2\sqrt{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}}}}$$
On en déduit donc que :
$$f'(x) = \dfrac{\left( \dfrac{1}{1+x^2\cos(x)} \right)'}{4 \times \sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}} \times \sqrt{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}}}} = \dfrac{-\dfrac{\left(1+x^2\cos(x) \right)'}{\left(1+x^2\cos(x) \right)^2} }{4 \times \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2\cos(x)}} \times \sqrt{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}}}}$$
Ainsi :
$$f'(x) = - \dfrac{\left(x^2\cos(x) \right)' }{4 \times \left(1+x^2\cos(x) \right)^2 \times \dfrac{1}{\sqrt{1+x^2\cos(x)}} \times \sqrt{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+x^2\cos(x)}}}}$$
On en déduit donc que :
$$f'(x) = - \dfrac{2x\cos(x) -x^2\sin(x) }{4 \times \left(1+x^2\cos(x) \right)^\frac{3}{2} \times \sqrt{1+\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2\cos(x)}}}}$$
Soit encore :
$$f'(x) = \dfrac{x \left(x\sin(x) - 2\cos(x)\right) }{4 \times \left(1+x^2\cos(x) \right) \times \sqrt{1+x^2\cos(x)+\dfrac{1+x^2\cos(x)}{\sqrt{1+x^2\cos(x)}}}}$$
Après simplification, on obtient finalement :
$${\color{red}{\boxed{f'(x) = \dfrac{x \left(x\sin(x) - 2\cos(x)\right) }{4 \left(1+x^2\cos(x) \right) \sqrt{1+x^2\cos(x)+\sqrt{1+x^2\cos(x)}}}}}}$$
On a alors :
$$f'(x) = \dfrac{df}{dx}(x)$$
En faisant usage de l'écriture de $$Leibniz$$, on peut donc écrire que :
$$df(x) = f'(x) \, dx$$
Ainsi, la différentielle de $$f$$ est donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{df(x) = \dfrac{x \left(x\sin(x) - 2\cos(x)\right) }{4 \left(1+x^2\cos(x) \right) \sqrt{1+x^2\cos(x)+\sqrt{1+x^2\cos(x)}}} \, dx}}}$$

On a :
$$f'(x) = \left( \sin\left( \dfrac{1}{1+\cos^2(x^2)}\right) \right)' = \sin'\left( \dfrac{1}{1+\cos^2(x^2)}\right) \times \left( \dfrac{1}{1+\cos^2(x^2)}\right)'$$
Donc :
$$f'(x) = \cos\left( \dfrac{1}{1+\cos^2(x^2)}\right) \times \left( \dfrac{-\left(1+\cos^2(x^2) \right)'}{\left(1+\cos^2(x^2)\right)^2}\right)$$
Ainsi :
$$f'(x) = -\cos\left( \dfrac{1}{1+\cos^2(x^2)}\right) \times \dfrac{\left(\cos^2(x^2) \right)'}{\left(1+\cos^2(x^2)\right)^2}$$
Soit encore :
$$f'(x) = -\cos\left( \dfrac{1}{1+\cos^2(x^2)}\right) \times \dfrac{2\cos(x^2) \times \left( \cos(x^2)\right)'}{\left(1+\cos^2(x^2)\right)^2}$$
Ce qui nous donne :
$$f'(x) = -\cos\left( \dfrac{1}{1+\cos^2(x^2)}\right) \times \dfrac{2\cos(x^2) \times \left(-\left( x^2\right)'\sin(x^2)\right)}{\left(1+\cos^2(x^2)\right)^2}$$
On obtient :
$$f'(x) = \cos\left( \dfrac{1}{1+\cos^2(x^2)}\right) \times \dfrac{2\cos(x^2) \times 2x\sin(x^2)}{\left(1+\cos^2(x^2)\right)^2}$$
On peut donc écrire ceci comme :
$$f'(x) = \cos\left( \dfrac{1}{1+\cos^2(x^2)}\right) \times \dfrac{2x \times 2\cos(x^2) \sin(x^2)}{\left(1+\cos^2(x^2)\right)^2}$$
Or, pour $$X \in \mathbb{R}$$, on a $$2\cos(X)\sin(X) = \sin(2X)$$. Donc, on en déduit que :
$$f'(x) = \cos\left( \dfrac{1}{1+\cos^2(x^2)}\right) \times \dfrac{2x \times \sin(2x^2)}{\left(1+\cos^2(x^2)\right)^2}$$
Finalement, on trouve que :
$${\color{red}{\boxed{f'(x) = \dfrac{2x \sin(2x^2)}{\left(1+\cos^2(x^2)\right)^2} \cos\left( \dfrac{1}{1+\cos^2(x^2)}\right)}}}$$
On a alors :
$$f'(x) = \dfrac{df}{dx}(x)$$
En faisant usage de l'écriture de $$Leibniz$$, on peut donc écrire que :
$$df(x) = f'(x) \, dx$$
Ainsi, la différentielle de $$f$$ est donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{df(x) = \dfrac{2x \sin(2x^2)}{\left(1+\cos^2(x^2)\right)^2} \cos\left( \dfrac{1}{1+\cos^2(x^2)}\right) \, dx}}}$$

On a :
$$f'(x) = \left(\sin\left( \tan\left( 3x^2 + \left(\dfrac{\cos(x)}{\cos(3x)}\right)^2\right) \right)\right)'$$
Il s'agit d'une composée (successive) de fonctions. On a alors :
$$f'(x) = \sin'\left( \tan\left( 3x^2 + \left(\dfrac{\cos(x)}{\cos(3x)}\right)^2\right) \right) \times \left( \tan\left( 3x^2 + \left(\dfrac{\cos(x)}{\cos(3x)}\right)^2\right) \right)'$$
Soit :
$$f'(x) = \cos\left( \tan\left( 3x^2 + \left(\dfrac{\cos(x)}{\cos(3x)}\right)^2\right) \right) \times \tan'\left( 3x^2 + \left(\dfrac{\cos(x)}{\cos(3x)}\right)^2\right) \times \left( 3x^2 + \left(\dfrac{\cos(x)}{\cos(3x)}\right)^2\right)'$$
Soit encore :
$$f'(x) = \cos\left( \tan\left( 3x^2 + \left(\dfrac{\cos(x)}{\cos(3x)}\right)^2\right) \right) \times \dfrac{1}{\cos^2\left( 3x^2 + \left(\dfrac{\cos(x)}{\cos(3x)}\right)^2\right)} \times \left( 6x + 2\left(\dfrac{\cos(x)}{\cos(3x)}\right)\left(\dfrac{\cos(x)}{\cos(3x)}\right)'\right)$$
Ainsi, on obtient :
$$f'(x) = \dfrac{\cos\left( \tan\left( 3x^2 + \left(\dfrac{\cos(x)}{\cos(3x)}\right)^2\right) \right)}{\cos^2\left( 3x^2 + \left(\dfrac{\cos(x)}{\cos(3x)}\right)^2\right)} \times \left(6x + \dfrac{2\cos(x)}{\cos(3x)} \left(\dfrac{-\sin(x)\cos(3x)+3\sin(3x)\cos(x)}{\cos^2(3x)}\right) \right)$$
Donc :
$$f'(x) = \dfrac{\cos\left( \tan\left( 3x^2 + \left(\dfrac{\cos(x)}{\cos(3x)}\right)^2\right) \right)}{\cos^2\left( 3x^2 + \left(\dfrac{\cos(x)}{\cos(3x)}\right)^2\right)} \times \left(6x + \dfrac{-2\cos(x)\sin(x)\cos(3x)+6\sin(3x)\cos^2(x)}{\cos^3(3x)}\right)$$
Or, pour tout $$x$$ réel, on a $$2\cos(x)\sin(x) = \sin(2x)$$. Donc, on obtient :
$$f'(x) = \dfrac{\cos\left( \tan\left( 3x^2 + \left(\dfrac{\cos(x)}{\cos(3x)}\right)^2\right) \right)}{\cos^2\left( 3x^2 + \left(\dfrac{\cos(x)}{\cos(3x)}\right)^2\right)} \times \left(6x + \dfrac{-\sin(2x)\cos(3x)+6\sin(3x)\cos^2(x)}{\cos^3(3x)}\right)$$
Finalement, on obtient :
$${\color{red}{\boxed{f'(x) = \left(6x + \dfrac{6\sin(3x)\cos^2(x)-\sin(2x)\cos(3x)}{\cos^3(3x)}\right) \dfrac{\cos\left( \tan\left( 3x^2 + \left(\dfrac{\cos(x)}{\cos(3x)}\right)^2\right) \right)}{\cos^2\left( 3x^2 + \left(\dfrac{\cos(x)}{\cos(3x)}\right)^2\right)}}}}$$
On a alors :
$$f'(x) = \dfrac{df}{dx}(x)$$
En faisant usage de l'écriture de $$Leibniz$$, on peut donc écrire que :
$$df(x) = f'(x) \, dx$$
Ainsi, la différentielle de $$f$$ est donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{df(x) = \left(6x + \dfrac{6\sin(3x)\cos^2(x)-\sin(2x)\cos(3x)}{\cos^3(3x)}\right) \dfrac{\cos\left( \tan\left( 3x^2 + \left(\dfrac{\cos(x)}{\cos(3x)}\right)^2\right) \right)}{\cos^2\left( 3x^2 + \left(\dfrac{\cos(x)}{\cos(3x)}\right)^2\right)} \, dx}}}$$