Autour du théorème de Rolle - Exercice 2

Notons par $$r_1$$, $$r_2$$, $$\cdots$$, $$r_n$$ les $$n$$ zéros de $$f$$, tel que $$r_1 < r_2 < \cdots < r_n$$.
Soit $$k \in [\![ 1 \,;\, n-1 ]\!]$$. On note par $$I_k$$ l'intervalle $$[r_k \,;\, r_{k+1}]$$.
La fonction $$f$$ est dérivable sur $$I_k$$ avec $$f(r_k) = f(r_{k+1}) = 0$$ ainsi le théorème de $$Rolle$$ assure l'existence d'un nombre réel $$c_k$$, avec $$c_k \in ]r_k \,;\, r_{k+1}[$$, tel que $$f'(c_k) = 0$$.
On a donc trouvé, au moins, $$n-1$$ zéros à la dérivée $$f'$$, à savoir, les nombres réels $$c_k$$, avec $$k \in [\![ 1 \,;\, n-1 ]\!]$$.

Soit $$\phi$$ la fonction suivante : $$\phi : x \longmapsto e^x - P(x)$$.
Donc $$e^x = P(x)$$ est équivalent à $$\phi(x) = 0$$.
On constate que $$\phi$$ est de classe $$C^\infty$$ sur $$\mathbb{R}$$.
Nous cherchons à démontrer que l'équation $$P(x) = e^x$$ n'admet qu'un nombre fini de racines, cela revient à démontrer que $$\phi$$ admet un nombre fini de zéros. Nous allons effectuer $${\color{blue}{\bf{un \,\, raisonnement \,\, par \,\, l'absurde}}}$$. Pour cela, nous allons donc supposer que $${\color{blue}{\bf{la \,\, fonction }}}$$ $${\color{blue}{\phi}}$$ $${\color{blue}{\bf{admet \,\, une \,\, infinité \,\, de \,\, zéros}}}$$. Dans ce cas, le résultat de la question précédente nous permet d'affirmer (puisque $$\phi$$ est de classe $$C^\infty$$ sur $$\mathbb{R}$$) que toutes les dérivées successives de $$\phi$$ admettent une infinité de zéros. Si on dérive plus de fois que le degré de $$P$$ alors sa dérivée devient nulle. Donc, soit $$N = \deg(P)$$ et $$n_0 > N$$. Dans ce cas, la dérivée $$P^{(n_0)}$$ est nulle. De fait, $$\phi^{(n_0)}(x) = e^x > 0$$. Autrement dit $$\phi^{(n_0)}$$ ne s'annule jamais sur $$\mathbb{R}$$. Ceci est en contradiction avec la supposition initiale, donc absurde. Ainsi la supposition initiale est fausse. Finalement, on peut dire que la fonction $$\phi$$ admet un nombre fini de zéros. Et donc, de façon équivalente, l'équation $$e^x = P(x)$$ admet un nombre fini de solution.

Soit $$u$$ la fonction suivante : $$u : x \longmapsto x^p + ax + b$$.
On constate que $$u$$ est de classe $$C^\infty$$ sur $$\mathbb{R}$$.
Soit $$n$$ le nombre de zéros de $$u$$.
Dans ce cas, le résultat de la première question nous permet d'affirmer que la fonction dérivée $$u'$$ admet au moins $$n-1$$ zéros et que la fonction dérivée seconde $$u''$$ admet au moins $$n-2$$ zéros.
Or, $$u'(x) = px^{p-1} + a$$ et $$u''(x) = p(p-1)x^{p-2}$$. On constate alors que $$u''$$ n'admet qu'un seul zéro. D'où l'inégalité (en vertu du terme "au moins") :
$$1 \geqslant n-2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 1 + 2 \geqslant n \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, 3 \geqslant n$$.
On a donc montré que l'équation $$x^p + ax + b = 0$$ admet, au plus, trois racines réelles.