Autour de l'inégalité du théorème des accroissements finis - Exercice 1

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Question 1

Soit ff une fonction dérivable sur [7;11]\left[7;11\right] et vérifiant l'inégalité 2≤f′(x)≤82\le f'\left(x\right) \le 8. Montrer alors que 8≤f(11)−f(7)≤328\le f\left(11\right)-f\left(7\right)\le 32 .

Correction
Inégalité des accroissements finis
    Soit ff une fonction vérifiant les conditions suivantes :
  • ff est continue sur un intervalle [a;b]\left[a;b\right]
  • ff est dérivable sur un intervalle ]a;b[\left]a;b\right[
    • S'il existe des réels mm et MM tels que : ∀t∈]a;b[\forall t \in \left]a;b\right[ , m≤f′(t)≤Mm\le f'\left(t\right)\le M alors pour tout réel (x;y)∈([a;b])2\left(x;y\right)\in \left(\left[a;b\right]\right)^2 et x≠yx\ne y, on a :
    m≤f(y)−f(x)y−x≤Mm\le \frac{f\left(y\right)-f\left(x\right)}{y-x}\le M
D'après les hypothèses, ff est dérivable sur [7;11]\left[7;11\right] et nous savons également que 2≤f′(x)≤82\le f'\left(x\right) \le 8.
D'après l'inégalité des accroissements finis, on a :
2≤f(11)−f(7)11−7≤82\le \frac{f\left(11\right)-f\left(7\right)}{11-7}\le 8
2≤f(11)−f(7)4≤82\le \frac{f\left(11\right)-f\left(7\right)}{4}\le 8
2×4≤f(11)−f(7)≤8×42\times4\le f\left(11\right)-f\left(7\right)\le 8\times4
Ainsi :
8≤f(11)−f(7)≤328\le f\left(11\right)-f\left(7\right)\le32

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