Sujet 44 - Exercice 1

20 min
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Un exercice quelque peu différent.
Question 1
Soit nn un nombre entier naturel supérieur ou égal à deux.
Soient PP et QQ deux matrices carrées de l'ensemble Mn(C)\mathcal{M}_n(\mathbb{C}).
On désigne la matrice unité par InI_n.
On fait l'hypothèse que la matrice In−PQI_n - PQ est inversible.

Développer l'expression EE suivante : E=(In−QP)(In−Q(In−PQ)−1P)E = (I_n - QP) \big( I_n - Q(I_n - PQ)^{-1}P\big).

Correction
On a :
E=(In−QP)(In−Q(In−PQ)−1P)E = (I_n - QP) \big( I_n - Q(I_n - PQ)^{-1}P\big)
Soit :
E=(In−QP)In−(In−QP)Q(In−PQ)−1PE = (I_n - QP)I_n - (I_n - QP)Q(I_n - PQ)^{-1}P
Soit encore :
E=In−QP−InQ(In−PQ)−1P−QPQ(In−PQ)−1PE = I_n - QP - I_nQ(I_n - PQ)^{-1}P - QPQ(I_n - PQ)^{-1}P
D'où :
E=In−QP−Q(In−PQ)−1P−QPQ(In−PQ)−1PE = I_n - QP - Q(I_n - PQ)^{-1}P - Q{\color{red}{PQ}}(I_n - PQ)^{-1}P
Ce que nous allons écrire comme :
E=In−QP−Q(In−PQ)−1P+Q(−PQ)(In−PQ)−1PE = I_n - QP - Q(I_n - PQ)^{-1}P + Q({\color{red}{-PQ}})(I_n - PQ)^{-1}P
Les deux dernier terme diffèrent par la présence du terme PQ{\color{red}{PQ}}. Afin de pouvoir l'exploiter, on va simplement écrire que :
−PQ=I3−PQ+I3=(I3−PQ)+I3{\color{red}{-PQ}} = {\color{blue}{I_3}}{\color{red}{-PQ}}+{\color{blue}{I_3}} = ({\color{blue}{I_3}}{\color{red}{-PQ}})+{\color{blue}{I_3}}
Ceci a l'avantage de faire apparaitre le terme I3−PQ{\color{blue}{I_3}}{\color{red}{-PQ}} qui lui est déjà présent par son inverse juste après. Ce qui nous donne donc :
E=In−QP−Q(In−PQ)−1P+Q((I3−PQ)+I3)(In−PQ)−1PE = I_n - QP - Q(I_n - PQ)^{-1}P + Q(({\color{blue}{I_3}}{\color{red}{-PQ}})+{\color{blue}{I_3}})(I_n - PQ)^{-1}P
Ce qui va nous permettre d'obtenir :
E=In−QP−Q(In−PQ)−1P+(Q(I3−PQ)+QI3)(In−PQ)−1PE = I_n - QP - Q(I_n - PQ)^{-1}P + (Q({\color{blue}{I_3}}{\color{red}{-PQ}})+Q{\color{blue}{I_3}})(I_n - PQ)^{-1}P
Mais QI3=QQ{\color{blue}{I_3}} = Q. Donc :
E=In−QP−Q(In−PQ)−1P+(Q(I3−PQ)+Q)(In−PQ)−1PE = I_n - QP - Q(I_n - PQ)^{-1}P + (Q({\color{blue}{I_3}}{\color{red}{-PQ}})+Q)(I_n - PQ)^{-1}P
Et aussi :
E=In−QP−Q(In−PQ)−1P+Q(I3−PQ)(In−PQ)−1P+Q(In−PQ)−1PE = I_n - QP - Q(I_n - PQ)^{-1}P + Q({\color{blue}{I_3}}{\color{red}{-PQ}})(I_n - PQ)^{-1}P +Q(I_n - PQ)^{-1}P
Or, on a (I3−PQ)(In−PQ)−1=I3({\color{blue}{I_3}}{\color{red}{-PQ}})(I_n - PQ)^{-1} = I_3. Ainsi :
E=In−QP−Q(In−PQ)−1P+QI3P+Q(In−PQ)−1PE = I_n - QP - Q(I_n - PQ)^{-1}P + QI_3P + Q(I_n - PQ)^{-1}P
Mais QI3P=QPQI_3P = QP, d'où :
E=In−QP−Q(In−PQ)−1P+QP+Q(In−PQ)−1PE = I_n - QP - Q(I_n - PQ)^{-1}P + QP + Q(I_n - PQ)^{-1}P
En simplifiant les termes QPQP on arrive à :
E=In−Q(In−PQ)−1P+Q(In−PQ)−1PE = I_n - Q(I_n - PQ)^{-1}P + Q(I_n - PQ)^{-1}P
En simplifiant les termes Q(In−PQ)−1PQ(I_n - PQ)^{-1}P on trouve finalement que :
E=InE = I_n
Question 2

Que pouvez-vous conclure ?

Correction
On a donc montrer que :
E=InE = I_n
A savoir :
(In−QP)(In−Q(In−PQ)−1P)=In(I_n - QP) \big( I_n - Q(I_n - PQ)^{-1}P\big) = I_n
De façon équivalente :
(In−QP)×(In−Q(In−PQ)−1P)=In(I_n - QP) \times \big( I_n - Q(I_n - PQ)^{-1}P\big) = I_n
Mais on sait que (In−QP)×(In−QP)−1=In(I_n - QP) \times (I_n - QP)^{-1} = I_n
Par identification, on en déduit que (In−QP)(I_n - QP) est inversible et l'expression de (In−QP)−1(I_n - QP)^{-1} est :
(In−QP)−1=In−Q(In−PQ)−1P(I_n - QP)^{-1} = I_n - Q(I_n - PQ)^{-1}P

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